2023年中考数学一轮复习 学案讲义 专题3函数 第16课时 反比例函数（知识梳理+经典练习）

第16课时反比例函数

知识梳理：

1.反比例函数的概念

定义:形如为常数)的函数叫做反比例函数,其中是自变量,是的函数.

变式:或.

2.反比例函数的图象与性质

图象:反比例函数的图象是双曲线，且关于直线和成轴对称,关于原点成中心对称.

性质:

当时,图象的两个分支在第一、三象限,在每一个象限内,随增大而减小；

当时,图象的两个分支在第二、四象限,在每一个象限内,随增大而增大；

的意义:在反比例函数的图象上任取一点,过这点分别作轴、轴的平行线,两平行线与坐标轴围成的矩形的面积等于

3.求反比例函数的解析式

待定系数法:设,由已知条件求出的值,从而确定解析式.

注意:因为反比例函数只有一个待定的末知数,所以只需要一个条件即可确定反比例函数,这个条件可以是图象上的一个点的坐标,也可以是x、y的一组对应的值.

第16课时反比例函数

姓名：___________学号：___________

一、单选题

1．若是反比例函数，则a的取值为

A．1 B．﹣l C．±l D．任意实数

2．反比例函数经过点，则下列说法错误的是（    ）

A． B．函数图象分布在第一、三象限

C．当时，随的增大而增大 D．当时，随的增大而减小

3．若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

4．如图，在同一平面直角坐标系中，直线y＝t（t为常数）与反比例函数y1，y2的图象分别交于点A，B，连接OA，OB，则△OAB的面积为（　　）

A．5t B． C． D．5

5．如图，A，B是双曲线上的两个点，过点A作AC⊥x轴，交OB于点D，垂足为C，若△ODC的面积为1，D为OB的中点，则k的值为（   ）

A． B．2 C．4 D．8

6．如图，在同一平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数y=kx−1(k为常数，且k≠0)的图象可能是（   ）

A．B．

C．D．

7．反比例函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，则一次函数的图象大致是（    ）

A．B．

C．D．

8．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，点B的横坐标为2，当时，x的取值范围是（    ）

A．或 B．或

C．或 D．或

9．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．则这个反比例函数的解析式为（    ）

A． B． C． D．

10．在平面直角坐标系中，对于横、纵坐标相等的点称为“好点”．下列函数的图象中不存在“好点”的是（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

11．已知反比例函数的图像经过点，则的值是____________________．

12．在反比例函数的图象的每一支曲线上，函数值随自变量的增大而增大，则的取值范围是________．

13．在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象经过点和点，则的值为______________．

14．如图，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝图象相交于A、B两点，若点A的坐标是（3，2），则点B的坐标是___．

15．在对物体做功一定的情况下，力F(牛)与此物体在力的方向上移动的距离s(米)成反比例函数关系，其图象如图所示，P(5，1)在图象上，则当力达到10牛时，物体在力的方向上移动的距离是______米．

16．如图，点A是反比例函数图象上一点，轴于点C且与反比例函数的图象交于点B， ，连接OA，OB，若的面积为6，则_________．

17．如图，、两点在反比例函数（）的图象上，的延长线交轴于点，且，则的面积是______．

18．如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A，C两点，过点A作轴于点B，过点C作轴于点D，则的面积为_________．

19．如图，若反比例函数的图像经过等边三角形POQ的顶点P，则△POQ的边长为____________．

20．请写出一个函数表达式，使其图象在第二、四象限且关于原点对称：________．

三、解答题

21．如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（－3，m＋8），B（n，－6）两点．

（1）求一次函数与反比例函数的解析式；

（2）求△AOB的面积．

22．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，A、C分别在坐标轴上，点B的坐标为（4，2），直线交AB，BC分别于点M，N，反比例函数的图象经过点M，N．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）若点P在y轴上，且△OPM的面积与四边形BMON的面积相等，求点P的坐标．

23．如图，一次函数的图象与反比例函数的图像相交于、两点．

（1）求一次函数和反比例函数的解析式；

（2）根据图象，直接写出满足的的取值范围；

（3）若点在线段上，且，求点的坐标．

24．定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点是函数的图象的“等值点”．

（1）分别判断函数的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；

（2）设函数的图象的“等值点”分别为点A，B，过点B作轴，垂足为C．当的面积为3时，求b的值；

（3）若函数的图象记为，将其沿直线翻折后的图象记为．当两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，直接写出m的取值范围．

25．某山村经过脱贫攻坚和乡村振兴，经济收入持续增长．经统计，近五年该村甲农户年度纯收入如表所示：

若记2016年度为第1年，在直角坐标系中用点（1，15），（2，2.5），（3，4.5），（4，7.5），（5，11.3）表示近五年甲农户纯收入的年度变化情况．如图所示（m＞0），y＝x+b（k＞0），y＝ax2﹣0.5x+c（a＞0），以便估算甲农户2021年度的纯收入．

（1）能否选用函数（m＞0）进行模拟，请说明理由；

（2）你认为选用哪个函数模拟最合理，请说明理由；

（3）甲农户准备在2021年底购买一台价值16万元的农机设备，根据（2）中你选择的函数表达式，预测甲农户2021年度的纯收入能否满足购买农机设备的资金需求.

26．通过构造恰当的图形，可以对线段长度、图形面积大小等进行比较，直观地得到一些不等关系或最值，这是“数形结合”思想的典型应用．

（理解）

（1）如图1，，垂足分别为C、D，E是的中点，连接．已知，．

①分别求线段、的长（用含a、b的代数式表示）；

②比较大小：__________（填“＜”、“＝”或“＞”），并用含a、b的代数式表示该大小关系．

（应用）

（2）如图2，在平面直角坐标系中，点M、N在反比例函数的图像上，横坐标分别为m、n．设，记．

①当时，__________；当时，________；

②通过归纳猜想，可得l的最小值是__________．请利用图2构造恰当的图形，并说明你的猜想成立．

参考答案

1．A

【详解】

解：∵是反比例函数，

∴．

故选A．

2．C

【分析】

将点（2,1）代入中求出k值，再根据反比例函数的性质对四个选项逐一分析即可．

【详解】

将点（2,1）代入中，解得：k=2，

A．k=2，此说法正确，不符合题意；

B．k=2﹥0,反比例函数图象分布在第一、三象限，此书说法正确，不符合题意；

C．k=2﹥0且x﹥0，函数图象位于第一象限，且y随x的增大而减小，此说法错误，符合题意；

D．k=2﹥0且x﹥0，函数图象位于第一象限，且y随x的增大而减小，此说法正确，不符合题意；

故选：C．

【点睛】

本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质，理解函数图象上的点与解析式的关系是解答的关键．

3．C

【分析】

因为A，B，C三点均在反比例函数上，故可将点代入函数，求解，然后直接比较大小即可．

【详解】

将A，B，C三点分别代入，可求得，比较其大小可得：．

故选：C．

【点睛】

本题考查反比例函数比较大小，解答本类型题可利用画图并结合图像单调性判别，或者直接代入对应数值求解即可．

4．C

【分析】

由反比例函数中的的几何意义直接可得特定的三角形的面积，从而可得答案.

【详解】

解：如图，记直线y＝t与轴交于点

由反比例函数的系数的几何意义可得：

故选：

【点睛】

本题考查的是反比例函数的系数的几何意义，掌握反比例函数的系数与特定的图形的面积之间的关系是解题的关键.

5．D

【分析】

过点B作轴，易得，得到，即可求解k的值．

【详解】

解：如图，过点B作轴，设，则，

∵轴，轴，

∴，

∴，

∵D为OB的中点，

∴，

∴，

即，解得，

∴k的值为8，

故选：D．

【点睛】

本题考查相似三角形的判定与性质、反比例函数图象上点的坐标，解题的关键是作出辅助线，得到两个相似的三角形．

6．B

【分析】

分k＞0和k＜0两种情况，分别判断反比例函数的图象所在象限及一次函数y=-kx-1的图象经过的象限．再对照四个选项即可得出结论．

【详解】

当k＞0时， -k＜0，
∴反比例函数的图象在第一、三象限，一次函数y=kx-1的图象经过第一、三、四象限；
当k＜0时， -k＞0，
∴反比例函数的图象在第二、四象限，一次函数y=kx-1的图象经过第二、三、四象限．
故选：B．

【点睛】

本题考查了反比例函数的图象与性质以及一次函数图象与性质，熟练掌握两种函数的性质并分情况讨论是解题的关键．

7．D

【分析】

根据题意可得，进而根据一次函数图像的性质可得的图象的大致情况．

【详解】

反比例函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，

∴一次函数的图象与y轴交于负半轴，且经过第一、三、四象限．

观察选项只有D选项符合．

故选D

【点睛】

本题考查了反比例函数的性质，一次函数图像的性质，根据已知求得是解题的关键．

8．C

【分析】

根据轴对称的性质得到点A的横坐标为-2，利用函数图象即可确定答案．

【详解】

解：∵正比例函数与反比例函数都关于原点对称，

∴点A与点B关于原点对称，

∵点B的横坐标为2，

∴点A的横坐标为-2，

由图象可知，当或时，正比例函数的图象在反比例函数的图象的上方，

∴当或时，，

故选：C．

【点睛】

此题考查正比例函数与反比例函数的性质及相交问题，函数值的大小比较，正确理解图象是解题的关键．

9．C

【分析】

根据题意，电流与电阻是反比例函数关系，根据图中给出的坐标即可求出该反比例函数解析式．

【详解】

根据题意，电流与电阻是反比例函数关系，在该函数图象上有一点(6,8)，

故设反比例函数解析式为I=，

将(6,8)代入函数解析式中，

解得k=48，

故I=

故选C．

【点睛】

本题主要考查反比例函数解析式的求解方法，掌握求解反比例函数解析式的方法是解答本题的关键．

10．B

【分析】

根据“好点”的定义判断出“好点”即是直线y=x上的点，再各函数中令y=x，对应方程无解即不存在“好点”.

【详解】

解：根据“好点”的定义，好点即为直线y=x上的点，令各函数中y=x，

A、x=-x，解得：x=0，即“好点”为（0，0），故选项不符合；

B、，无解，即该函数图像中不存在“好点”，故选项符合；

C、，解得：，经检验是原方程的解，即“好点”为（，）和（-，-），故选项不符合；

D、，解得：x=0或3，即“好点”为（0，0）和（3，3），故选项不符合；

故选B.

【点睛】

本题考查了函数图像上的点的坐标，涉及到解分式方程，一元二次方程，以及一元一次方程，解题的关键是理解“好点”的定义.

11．﹣12

【分析】

直接将点代入反比例函数解析式中，解之即可．

【详解】

依题意，将点代入，得：，

解得：=﹣12，

故答案为：﹣12．

【点睛】

本题主要考查反比例函数图象上的点的坐标特征，熟练掌握图象上的坐标与解析式的关系是解答的关键．

12．m＜3

【分析】

根据反比例函数的增减性，列出关于m的不等式，进而即可求解．

【详解】

解：∵在反比例函数的图象的每一支曲线上，函数值随自变量的增大而增大，

∴m-3＜0，即：m＜3．

故答案是：m＜3．

【点睛】

本题主要考查反比例函数的性质，掌握反比例函数，在反比例函数的图象的每一支曲线上，函数值随自变量的增大而增大，则k＜0，是解题的关键．

13．

【分析】

由题意易得，然后再利用反比例函数的意义可进行求解问题．

【详解】

解：把点代入反比例函数得：，

∴，解得：，

故答案为-2．

【点睛】

本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．

14．（﹣3，﹣2）

【分析】

由于正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，所以A、B两点关于原点对称，由关于原点对称的点的坐标特点求出B点坐标即可．

【详解】

解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，

∴A、B两点关于原点对称，

∵A的坐标为（3，2），

∴B的坐标为（﹣3，﹣2）．

故答案为：（﹣3，﹣2）．

【点睛】

本题主要考查了关于原点对称点的坐标关系，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.

15．0.5

【详解】

由于力F(牛)与此物体在力的方向上移动的距离s(米)成反比例函数关系，则设

由于P(5，1)在图象上，则，当时，故

16．

【分析】

利用反比例函数比例系数k的几何意义得到S△AOC=||=-，S△BOC=||=-，利用AB=3BC得到S△ABO=3S△OBC=6，所以-=2，解得=-4，再利用-=6+2得=-16，然后计算+的值．

【详解】

解：∵AC⊥x轴于点C，与反比例函数y=（x＜0）图象交于点B，

而＜0，＜0，

∴S△AOC=||=-，S△BOC=||=-，

∵AB=3BC，

∴S△ABO=3S△OBC=6，

即-=2，解得=-4，

∵-=6+2，解得=-16，

∴+=-16-4=-20．

故答案为：-20．

【点睛】

本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．

17．

【分析】

过A、B两点作x轴的垂线，交x轴分别于E、F两点，得到△CBF∽△CAE，设，进而得到，即可求出△AOC的面积．

【详解】

解：过A、B两点作x轴的垂线，交x轴分别于E、F两点，如下图所示：

∵，

∴，

∵EF∥BF，

∴△CBF∽△CAE，

∴，

设，则，

∴ ，

∴，

∴，

∴，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了反比例函数的图形及性质，相似三角形的判定及性质，熟练掌握各图形的性质及判定方法是解决本题的关键．

18．6

【分析】

根据函数解析式算出A、D的坐标,再根据三角形面积公式求出即可．

【详解】

令,解得,

∴A(),C()．

∴B(),D()．

则BD=,AB=,

∴S△ABD=．

故答案为:6．

【点睛】

本题考查一次函数与反比例函数的结合,关键在于利用联立解析式求解交点．

19．2

【分析】

如图，过点P作x轴的垂线于M，设P（a，），则OM=a，PM=，根据等边三角形三线合一的性质得：OQ=OP=2a，在Rt△OPM中，根据勾股定理求得PM=a，从而得到方程=a，解得a=1，所以△POQ的边长为OQ=2a=2．

【详解】

解：如图，过点P作x轴的垂线于M，

∵△POQ为等边三角形，

∴OP=OQ，OM=QM=OQ，

设P（a，），

则OM=a，OQ=OP=2a，PM=，

在Rt△OPM中，

，

∴=a，

∴a=1（负值舍去），

∴OQ=2a=2，

故答案为：2．

【点睛】

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，在反比例函数的题中，经常设出反比例函数图象上点的坐标，从而得到线段的长度，根据几何性质列出方程求解．

20．（答案不唯一）

【分析】

根据反比例函数图像和性质，直接写出答案即可．

【详解】

解：∵函数图象在第二、四象限且关于原点对称，

∴函数可以是反比例函数且比例系数小于0，

∴函数表达式可以是：（答案不唯一）．

故答案是：（答案不唯一）．

【点睛】

本题主要考查反比例函数的图像和性质，掌握反比例函数图像是中心对称图形，是解题的关键．

21．（1）y=-，y=-2x-4（2）8

【分析】

（1）将点A坐标代入反比例函数求出m的值，从而得到点A的坐标以及反比例函数解析式，再将点B坐标代入反比例函数求出n的值，从而得到点B的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式求解；

（2）设AB与x轴相交于点C，根据一次函数解析式求出点C的坐标，从而得到点OC的长度，再根据S△AOB=S△AOC+S△BOC列式计算即可得解．

【详解】

（1）将A（﹣3，m+8）代入反比例函数y=得，

=m+8，

解得m=﹣6，

m+8=﹣6+8=2，

所以，点A的坐标为（﹣3，2），

反比例函数解析式为y=﹣，

将点B（n，﹣6）代入y=﹣得，﹣=﹣6，

解得n=1，

所以，点B的坐标为（1，﹣6），

将点A（﹣3，2），B（1，﹣6）代入y=kx+b得，

，

解得，

所以，一次函数解析式为y=﹣2x﹣4；

（2）设AB与x轴相交于点C，

令﹣2x﹣4=0解得x=﹣2，

所以，点C的坐标为（﹣2，0），

所以，OC=2，

S△AOB=S△AOC+S△BOC，

=×2×2+×2×6，

=2+6，

=8．

考点：反比例函数与一次函数的交点问题．

22．（1）；（2）点P的坐标是（0，4）或（0，－4）.

【分析】

（1）求出OA=BC=2，将y=2代入求出x=2，得出M的坐标，把M的坐标代入反比例函数的解析式即可求出答案.

（2）求出四边形BMON的面积，求出OP的值，即可求出P的坐标.

【详解】

（1）∵B（4，2），四边形OABC是矩形，

∴OA=BC=2.

将y=2代入3得：x=2，∴M（2，2）.

把M的坐标代入得：k=4，

∴反比例函数的解析式是；

（2）.

∵△OPM的面积与四边形BMON的面积相等，

∴.

∵AM=2，

∴OP=4.

∴点P的坐标是（0，4）或（0，－4）.

23．（1）一次函数的解析式为；反比例函数为；（2）或；（3），．

【分析】

(1) 将A点坐标代入反比例函数求得，再将B点代入反比例函数求得n，再把A 、B两点坐标代入一次函数求得从而得出两函数解析式；
(2)观察图案结合（1）题求得A、B两点坐标即可求出所求x的范围；
(3)连接BO、AO，则△AOP和△BOP高相同，面积之比就是底边长度之比，因此BP：AP=4：1，再用AB之间横坐标差值按比例分配求得P点横坐标，再把横坐标代入一次函数求得纵坐标从而求出P点坐标.

【详解】

解：（1）反比例函数经过，

，

反比例函数为，

在比例函数的图象上，

，

，

直线经过，，

，解得，

一次函数的解析式为；

（2）观察图象，的的取值范围是或；

（3）设，

，

，

即，

，

解得，（舍去），

点坐标为(，)．

【点睛】

本题考查了一次函数与反比例函数的综合题，涉及了待定系数法，函数与不等式，三角形的面积等，熟练掌握相关知识是解题的关键.注意数形结合思想的应用.

24．（1）函数y=x+2没有“等值点”； 函数的“等值点”为(0，0)，(2，2)；（2）或；（3）或．．

【分析】

（1）根据定义分别求解即可求得答案；

（2）根据定义分别求A(，)，B(，)，利用三角形面积公式列出方程求解即可；

（3）由记函数y=x2-2（x≥m）的图象为W1，将W1沿x=m翻折后得到的函数图象记为W2，可得W1与W2的图象关于x=m对称，然后根据定义分类讨论即可求得答案．

【详解】

解：（1）∵函数y=x+2，令y=x，则x+2=x，无解，

∴函数y=x+2没有“等值点”；

∵函数，令y=x，则，即，

解得：，

∴函数的“等值点”为(0，0)，(2，2)；

（2）∵函数，令y=x，则，

解得：(负值已舍)，

∴函数的“等值点”为A(，)；

∵函数，令y=x，则，

解得：，

∴函数的“等值点”为B(，)；

的面积为，

即，

解得：或；

（3）将W1沿x=m翻折后得到的函数图象记为W2．

∴W1与W2两部分组成的函数W的图象关于对称，

∴函数W的解析式为，

令y=x，则，即，

解得：，

∴函数的“等值点”为(-1，-1)，(2，2)；

令y=x，则，即，

当时，函数W的图象不存在恰有2个“等值点”的情况；

当时，观察图象，恰有2个“等值点”；

当时，

∵W1的图象上恰有2个“等值点”(-1，-1)，(2，2)，

∴函数W2没有“等值点”，

∴，

整理得：，

解得：．

综上，m的取值范围为或．

【点睛】

本题属于二次函数的综合题，考查了二次函数、反比例函数、一次函数的性质以及函数的对称性．解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．

25．（1）不能选用函数（m＞0）进行模拟，理由见解析；（2）选用y=ax2-0.5x+c（a>0）满足模拟，理由见解析；（3）满足，理由见解析.

【分析】

（1）根据m=xy是否为定值即可判断和说明理由；

（2）通过点的变化可知不是一次函数，由（1）可知不是反比例，则可判断选用二次函数模拟最合理；

（3）利用已知点坐标用待定系数法求出解析式，然后计算出2021年即第6年度的纯收入y，然后比较结果即可．

【详解】

解：（1）不能选用函数（m＞0）进行模拟，理由如下：

∵1×1.5=1.5，2×2.5=5，…

∴1.5≠5

∴不能选用函数（m＞0）进行模拟；

（2）选用y=ax2-0.5x+c（a>0），理由如下：

由（1）可知不能选用函数（m＞0），由（1，1.5），（2，2.5），（3，4.5），（4，7.5），（5，11.3）可知x每增大1个单位，y的变化不均匀，则不能选用函数y=x+b（k>0），

故只能选用函数y=ax2-0.5x+c（a>0）进行模拟；

（3）由点（1，1.5），（2，2.5）在y=ax2-0.5x+c（a>0）上

则 ，解得：

∴y=0.5x2-0.5x+1.5

当x=6时，y=0.5×36-0.5×6+1.5=16.5，

∵16.5 > 16，

∴甲农户2021年度的纯收入满足购买农机设备的资金需求．

【点睛】

本题主要考查了二次函数的图象特征、反比例函数的图象特征、待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的函数值等知识点，根据图象特征、正确判断函数的种类成为解答本题的关键．

26．（1）①，=；②＞，＞；（2）①，1；②l的最小值是1，理由见详解

【分析】

（1）①先证明，从而得，进而得CD的值，根据直角三角形的性质，直接得CE的值；②根据点到线之间，垂线段最短，即可得到结论；

（2）①把m，n的值直接代入=进行计算，即可；②过点M作x，y轴的平行线，过点N作x，y轴的平行线，如图所示，则A(n，)，B(m，)，画出图形，用矩形的面积表示，进而即可得到结论．

【详解】

解：（1）①∵，

∴∠ACD+∠A=∠ACD+∠BCD=90°，即：∠A=∠BCD，

又∵∠ADC=∠CDB=90°，

∴，

∴，即：，

∴，即：（负值舍去），

∵E是的中点，

∴==；

②∵，，

∴＞，即：＞．

故答案是：＞；

（2）①当时，==，

当时，==，

故答案是：，1；

②l的最小值是：1，理由如下：

由题意得：M(m，)，N(n，)，过点M作x，y轴的平行线，过点N作x，y轴的平行线，如图所示，则A(n，)，B(m，)，

==

=[（①的面积+②的面积）+②的面积+（②的面积+④的面积）+（①的面积+②的面积+③的面积 +④的面积）]

= [（①的面积+②的面积）+（②的面积+④的面积）+（①的面积+②的面积）+（②的面积+④的面积）+③的面积]

=(1+1+1+1+③的面积)≥1，

∴l的最小值是1．

【点睛】

本题主要考查直角三角形的性质，反比例函数的图像和性质以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，反比例函数图像上点的坐标特征，是解题的关键．