第12讲 反比例函数（讲义） 2大考点10大题型（举一反三）-2025年中考数学一轮复习（全国版）

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考点一
反比例函数的图象与性质
1、反比例函数的概念
一般的，形如 (是常数，k≠0)的函数叫做反比例函数。其它表示形式：或。
因为x≠0，k≠0，相应地y值也不能为0，所以反比例函数的图象无限接近x轴和y轴，但与x轴、y轴．
2、反比例函数的图象与性质
反比例函数y＝eq \f(k,x)(k为常数，k≠0)的图象总是关于原点成中心对称的，它的位置和性质受k的符号的影响.
3、反比例函数的k的几何意义
由y＝eq \f(k,x)(k≠0)的图象上任意一点向两坐标轴作垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形的面积为.
如图①和②，S矩形PAOB＝PA·PB＝|y|·|x|＝|xy|＝|k|；
同理可得S△OPA＝S△OPB＝eq \f(1,2)|xy|＝eq \f(1,2)|k|.

4、反比例函数解析式的确定
（1）待定系数法。由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。
（2）利用反比例函数中反比例系数的几何意义
若已知某点到坐标轴的垂线与坐标轴所围成的面积，根据函数图象所在象限判断k的正负，从而确定k值，再将k值代入反比例函数解析式即可。
【题型1 反比例函数的图象与性质】
【例1】（2024·山西·中考真题）已知点Ax1,y1，Bx2,y2，Cx3,y3都在反比例函数y=kx ky1C．y1>y2>y3D．y3>y1>y2
【变式1-1】（2024·广东深圳·中考真题）反比例函数y=2x的图象在（ ）
A．第一、二象限B．第一、三象限
C．第二、三象限D．第二、四象限
【变式1-2】（2024·河北·中考真题）如图，函数y=1xx>0−1xx0的图象上一点，过点A作AC⊥x轴，垂足为点C，延长AC至点B，使BC=2AC，点D是y轴上任意一点，连接AD，BD，若△ABD的面积是6，则k= ．
【题型2 反比例函数图象的对称性】
【例2】（2024·广西河池·中考真题）在平面直角坐标系中，一次函数y=2x与反比例函数y=kxk≠0的图象交于Ax1,y1，Bx2,y2两点，则y1+y2的值是 ．
【变式2-1】（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，直线y=2x与双曲线y=kx的图象的一个交点坐标为2，4．则它们的另一个交点坐标是
A．−2,−4B．−2,4C．−4,−2D．2,−4
【变式2-2】（2024·江苏南通·中考真题）如图，直线y ＝kx(k＞0)与双曲线y=4x交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则2x1y2－7x2y1＝ ．
【变式2-3】（2024·山东聊城·中考真题）如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O，且正方形的一组对边与x轴平行，点P（3a，a）是反比例函数y=kx（k＞0）的图象上与正方形的一个交点．若图中阴影部分的面积等于9，则这个反比例函数的解析式为 ．
【题型3 反比例函数中比例系数k的几何意义】
【例3】（2024·湖南湘西·中考真题）如图，点A在函数y=2x(x>0)的图象上，点B在函数y=3x(x>0)的图象上，且AB∥x轴，BC⊥x轴于点C，则四边形ABCO的面积为（ ）

A．1B．2C．3D．4
【变式3-1】（2024·吉林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A，B在函数y=kx x>0的图象上（点B的横坐标大于点A的横坐标），点A的坐示为2,4，过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BC⊥x轴于点C，连接OA，AB．
（1）求k的值．
（2）若D为OC中点，求四边形OABC的面积．
【变式3-2】（2024·浙江衢州·中考真题）如图，点A、B在x轴上，分别以OA，AB为边，在x轴上方作正方形OACD，ABEF．反比例函数y=kxk>0的图象分别交边CD，BE于点P，Q．作PM⊥x轴于点M，QN⊥y轴于点N．若OA=2AB，Q为BE的中点，且阴影部分面积等于6，则k的值为 ．

【变式3-3】（2024·黑龙江·中考真题）如图，△ABC是等腰三角形，AB过原点O，底边BC∥x轴，双曲线y=kx过A,B两点，过点C作CD∥y轴交双曲线于点D，若S△BCD=12，则k的值是（ ）

A．−6B．−12C．−92D．−9
【题型4 反比例函数解析式的确定】
【例4】（2024·云南昆明·中考真题）如图，直线y=x−1与y轴交于点A，与反比例函数y=kx的图象交于点B，过点B作BC⊥y轴于点C，ΔABC的面积为2，则反比例函数的解析式为( )
A．y=2xB．y=4xC．y=6xD．y=9x
【变式4-1】（2024·上海·中考真题）已知反比例函数的图象经过点(2，﹣4)，那么这个反比例函数的解析式是( )
A．y=2xB．y=﹣2xC．y=8xD．y=﹣8x
【变式4-2】（2024·西藏·中考真题）已知点A是直线y＝2x与双曲线y=m+1x（m为常数）一支的交点，过点A作x轴的垂线，垂足为B，且OB＝2，则m的值为（ ）
A．−7B．−8C．8D．7
【变式4-3】（2024·山东潍坊·中考真题）如图，正比例函数y=−33x的图象与反比例函数y=kx的图象的一个交点是Am,3．点P23,n在直线y=−33x上，过点P作y轴的平行线，交y=kx的图象于点Q．
(1)求这个反比例函数的表达式；
(2)求△OPQ的面积．
【题型5 与反比例函数有关的面积问题】
【例5】（2024·山东烟台·中考真题）如图，正比例函数y=x与反比例函数y=kx的图象交于点A6,a，将正比例函数图象向下平移nn>0个单位后，与反比例函数图象在第一、三象限交于点B，C，与x轴，y轴交于点D，E，且满足BE:CE=3:2．过点B作BF⊥x轴，垂足为点F，G为x轴上一点，直线BC与BG关于直线BF成轴对称，连接CG．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)求n的值及△BCG的面积．
【变式5-1】（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，反比例函数y=kx(x>0)与一次函数y=mx+1的图象交于点A2,3，点B是反比例函数图象上一点，BC⊥x轴于点C，交一次函数的图象于点D，连接AB．
(1)求反比例函数y=kx与一次函数y=mx+1的表达式；
(2)当OC=4时，求△ABD的面积．
【变式5-2】（2024·山东泰安·中考真题）直线y1=kx+bk≠0与反比例函数y2=−8x的图象相交于点A−2,m，Bn,−1，与y轴交于点C．
(1)求直线y1的表达式；
(2)若y1>y2，请直接写出满足条件的x的取值范围；
(3)过C点作x轴的平行线交反比例函数的图象于点D，求△ACD的面积．
【变式5-3】（2024·辽宁鞍山·中考真题）如图，直线AB与反比例函数y=kxx0的图象为L．

（1）若L经过点A，则k= ；
（2）若L与线段AB有交点（包括端点），则满足条件的整数k的个数是 ．
【变式6-2】（2024·河南·二模）如图，矩形OABC的顶点均在格点（网格线的交点）上，双曲线y=kxx>0经过格点B．
(1)求双曲线y=kxx>0的解析式；
(2)经过点B的直线y=ax+b将矩形OABC分为面积比为1:2的两部分，求该直线的解析式．
【变式6-3】（2024·河南·中考真题）如图，矩形ABCD的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线AC，BD相交于点E，反比例函数y=kxx>0的图象经过点A．
(1)求这个反比例函数的表达式．
(2)请先描出这个反比例函数图象上不同于点A的三个格点，再画出反比例函数的图象．
(3)将矩形ABCD向左平移，当点E落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为________．
考点二
反比例函数的应用
【题型7 反比例函数的实际应用】
【例7】（2024·吉林·中考真题）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．
(1)求这个反比例函数的解析式（不要求写出自变量R的取值范围）．
(2)当电阻R为3Ω时，求此时的电流I．
【变式7-1】（2024·宁夏·中考真题）给某气球充满一定质量的气体，在温度不变时，气球内气体的气压p （KPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示．

(1)当气球内的气压超过150KPa时，气球会爆炸．若将气球近似看成一个球体，试估计气球的半径至少为多少时气球不会爆炸（球体的体积公式V=43πr3，π取3）；
(2)请你利用p与V的关系试解释为什么超载的车辆容易爆胎．
【变式7-2】（2024·浙江·中考真题）小明同学训练某种运算技能，每次训练完成相同数量的题目，各次训练题目难度相当．当训练次数不超过15次时，完成一次训练所需要的时间y（单位：秒）与训练次数x（单位：次）之间满足如图所示的反比例函数关系．完成第3次训练所需时间为400秒．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当x的值为6，8，10时，对应的函数值分别为y1，y2，y3，比较（y1-y2）与（y2-y3）的大小： y1-y2 y2-y3．
【变式7-3】（2024·浙江台州·中考真题）科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（单位：cm）是液体的密度ρ（单位：gcm3）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为1g/cm3的水中时，ℎ=20cm．

(1)求h关于ρ的函数解析式．
(2)当密度计悬浮在另一种液体中时，ℎ=25cm，求该液体的密度ρ．
【题型8 反比例函数与一次函数的实际应用】
【例8】（2024·四川乐山·中考真题）通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示，当0≤x−1B．n>2C．−10的图象上，边AB在x轴上，点F在y轴上，已知AB=23．

(1)判断点E是否在该反比例函数的图象上，请说明理由；
(2)求出直线EP：y2=ax+ba≠0的解析式，并根据图象直接写出当x>0时，不等式ax+b>kx的解集．
【变式10-2】（2024·广东广州·中考真题）已知点Pm,n在函数y=−2xx