第15讲 几何图形初步（讲义）-【讲通练透】2026中考数学一轮复习讲通练透讲+练+测试卷

这是一份第15讲 几何图形初步（讲义）-【讲通练透】2026中考数学一轮复习讲通练透讲+练+测试卷，共22页。试卷主要包含了直线，同位角，平行线等内容，欢迎下载使用。

考点一
线段与角
1、直线、射线、线段
(1)直线：经过两点有一条直线，并且只有一条直线。简称：两点确定一条直线。
(2)相交线：当两条不同的直线有一个公共点时，我们就称这两条直线相交。这个公共点叫做它们的交点。
(3)两点的所有连线中，线段最短。 简称：两点之间，线段最短。
连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离。
(4)线段的中点：线段上的一个点把线段分成相等的两条线段，这个点叫做线段的中点。
(5)直线没有端点，向两方无限延伸，不可度量；
射线有一个端点，向一方无限延伸，不可度量；
线段有两个端点，不向任何一方延伸，能度量。
2、角
(1)定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。这个公共端点是角的顶点，两条射线是角的两条边。
(2)角的度量
1°=60′， 1′=60″
(3)角的分类
①锐角(0°< α < 90°)
②直角(α = 90°)
③钝角(90°< α < 180°)
④平角(α =180°)
⑤周角(α =360°)
(4)角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。
(5)角平分线的性质与判定：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
(6)余角与补角
余角：一般地，如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角。
补角：如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角。
性质：同角(等角)的余角相等。同角(等角)的补角相等。
【题型1 直线、射线和线段】
【例1】（2024·江苏常州·中考真题）如图，推动水桶，以点O为支点，使其向右倾斜．若在点A处分别施加推力F1、F2，则F1的力臂OA大于F2的力臂OB．这一判断过程体现的数学依据是（ ）
A．垂线段最短
B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．两点确定一条直线
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
【答案】A
【分析】本题考查了力臂，平行公理，垂直的性质，直线特点，垂线段最短，根据图形分析得到过点O有OB⊥AB，进而利用垂线段最短得到OA>OB即可解题．
【详解】解：∵过点O有OB⊥AB，
∴OA>OB，
即得到F1的力臂OA大于F2的力臂OB，
∴其体现的数学依据是垂线段最短，
故选：A．
【变式1-1】（2024·吉林·中考真题）如图，从长春站去往胜利公园，与其它道路相比，走人民大街路程最近，其蕴含的数学道理是 ．

【答案】两点之间，线段最短
【分析】本题考查了两点之间线段最短，熟记相关结论即可．
【详解】从长春站去往胜利公园，走人民大街路程最近，
其蕴含的数学道理是：两点之间，线段最短
故答案为：两点之间，线段最短．
【变式1-2】（2024·浙江温州·中考真题）下面给出的四条线段中，最长的是（ ）
A．aB．bC．cD．d
【答案】D
【分析】本题考查线段的应用，通过观察比较即可得出答案．
【详解】解：通过观察比较：d线段长度最长．
故选：D．
【变式1-3】（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，则20条直线两两相交最多有 个交点
【答案】190
【分析】根据题目中的交点个数，找出n条直线相交最多有的交点个数公式：12n(n−1)．
【详解】解：2条直线相交有1个交点；
3条直线相交最多有1+2=3=12×3×2个交点；
4条直线相交最多有1+2+3=6=12×4×3个交点；
5条直线相交最多有1+2+3+4=10=12×5×4个交点；
…
20条直线相交最多有12×20×19=190．
故答案为：190．
【点睛】本题考查的是多条直线相交的交点问题，解答此题的关键是找出规律，即n条直线相交最多有12n(n−1)．
【题型2 线段长度的相关计算】
【例2】（2024·四川达州·二模）如图，点C在线段AB上，图中三条线段中，若有一条线段长是另一条线段长的两倍，则称点C是线段AB的“巧分点”． 已知AB=6，点C是线段AB的“巧分点”，则BC= .

【答案】2或4或3
【分析】本题考查了线段上两点间的距离，当点C是线段AB的“巧分点”时，可能有BC=2AC、AC=2BC和AB=2AC=2BC三种情况，分类讨论计算即可．分类讨论并根据题意正确列式是解题的关键．
【详解】解：当点C是线段AB的“巧分点”时，可能有BC=2AC、AC=2BC、
AB=2AC=2BC三种情况，
①BC=2AC时，AC=13AB=13×6=2，

②AC=2BC时，AC=23AB=23×6=4，

③AB=2AC=2BC时，AC=12AB=12×6=3．

故答案为：2或4或3．
【变式2-1】（2024·河北秦皇岛·一模）如图，点A，B，C在直线l上，AB=m，BC=nAB，m，n满足m−3+n−22=0．
(1)求线段AC的长．
(2)P为线段BA延长线上一点，若以PA，AB，BC的长为边长的三角形为等腰三角形，求线段PC的长．
【答案】(1)9
(2)15
【分析】（1）由非负数的性质可得m=3，n=2，可得AB=3，BC=2AB=6，再结合线段的和差关系可得答案；
（2）分情况讨论，结合等腰三角形的定义可得PA=6，再结合线段的和差可得答案．
【详解】（1）解：∵m−3+n−22=0，
∴m−3=0，n−2=0，
解得：m=3，n=2，
∵AB=m，BC=nAB，
∴AB=3，BC=2AB=6，
∴AC=AB+BC=3+6=9；
（2）解：∵AB=3，BC=6，以PA，AB，BC的长为边长的三角形为等腰三角形，
当PA=3时，3+3=6，不符合题意，舍去，
当PA=6时，3+6>6，符合题意；
∴PC=PA+AC=6+9=15；
【点睛】本题考查的是非负数的性质，线段的和差运算，等腰三角形的定义，三角形三边关系的应用，掌握相关的基础知识是解本题的关键．
【变式2-2】（2024·山东菏泽·中考真题）已知线段AB=8cm，在直线AB上画线段BC，使它等于3cm，则线段AC= cm．
【答案】5或11
【分析】由于C点的位置不能确定，故要分两种情况考虑AC的长，注意不要漏解．
【详解】由于C点的位置不确定，故要分两种情况讨论：
当C点在B点右侧时，如图所示：
AC=AB+BC=8+3=11cm；
当C点在B点左侧时，如图所示：
AC=AB﹣BC=8﹣3=5cm；
所以线段AC等于11cm或5cm.
【变式2-3】（2024·河南驻马店·一模）有公共端点P的两条线段MP，NP组成一条折线M−P−N，若该折线M−P−N上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”．已知点D是折线A−C−B的“折中点”，点E为线段AC的中点，CD=3,CE=4，则线段BC的长是（ ）
A．2B．4C．2或14D．4或14
【答案】C
【分析】本题考查了线段的中点，线段的和差计算．根据题意运用分类讨论画出两个图形，运用线段中点的定义与线段的和差即可解答．
【详解】分两种情况讨论：
①如图，CD=3,CE=4，
∵点E是线段AC的中点，
∴AC=2CE=2×4=8，
∴AD=AC−CD=8−3=5，
∵点D是折线A−C−B的“折中点”，
∴AD=DC+CB，即5=3+CB
∴BC=2；
②如图，CD=3,CE=4，
∵点E是线段AC的中点，
∴AC=2CE=2×4=8，
∵点D是折线A−C−B的“折中点”，
∴BD=AC+CD=8+3=11，
∴BC=BD+CD=11+3=14；
综上所述，线段BC的长为2或14．
故选：C
【题型3 确定线段之间的关系】
【例3】（2024·浙江杭州·模拟预测）如图，已知M是线段AB的中点，N是AM上一点且满足MN=2AN，P为BN的中点，则AB=（ ）MP．
A．9B．10C．11D．12
【答案】D
【分析】设AN=x，利用MN=2AN求出MN=2x，AM=3AN=3x，根据M是线段AB的中点，求出BN=BM+MN=5x，根据P为BN的中点，求出MP=BM-BP=0.5x，列得ABMP=6x0.5x=12，求出答案．
【详解】设AN=x，
∵MN=2AN，
∴MN=2x，AM=3AN=3x，
∵M是线段AB的中点，
∴BM=AM=3x，AB=6x，
∴BN=BM+MN=5x，
∵P为BN的中点，
∴BP=2.5x，
∴MP=BM-BP=0.5x，
∴ABMP=6x0.5x=12，
即AB=12MP，
故选：D．
【点睛】此题考查线段的和差计算，线段中点的计算，理解图形中各线段之间的关系是解题的关键．
【变式3-1】（2024·江西·中考模拟）如图，C，B是线段AD上的两点，若AB=CD，BC=2AC，则AC与CD的关系为（ ）

A．CD=2ACB．CD=3ACC．CD=4ACD．不能确定
【答案】B
【分析】由AB=CD，可得AC=BD，又BC=2AC，所以BC=2BD，所以CD=3AC.
【详解】∵AB=CD，
∴AC+BC=BC+BD，
即AC=BD，
又∵BC=2AC，
∴BC=2BD，
∴CD=3BD=3AC.
故选B．
【点睛】本题考查了线段长短的比较，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍转化线段之间的数量关系是十分关键的一点．
【变式3-2】（2024·黑龙江哈尔滨·二模）如图，A、B、C、D依次是直线m上的四个点，且线段AB+CD=5，则线段AD−BC=
【答案】5
【分析】根据图形得出AD-BC=AB+CD即可求解．
【详解】解：∵AB+CD=5，
∴AD-BC=AB+CD=5．
故答案为：5．
【点睛】题目主要考查线段的和差，结合图形求解是解题关键．
【变式3-3】（2024·江苏·模拟预测）如图，点C在线段AB上，点M、N分别是AC,BC的中点．
(1)若AC=9cm,CB=6cm，求线段MN的长；
(2)若C为线段AB上任一点，满足AC+CB=acm，其它条件不变，你能猜想MN的长度吗？请直接写出你的答案．
(3)若C在线段AB的延长线上，且满足AC−BC=bcm，M、N分别为AC,BC的中点，你能猜想MN的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由．
【答案】(1)7.5cm
(2)MN=12acm
(3)MN=12b，图形见解析；结论理由见解析
【分析】（1）根据M、N分别是AC,BC的中点，可得MC=12AC,CN=12BC，从而得到MN=MC+CN=12AC+12BC=12AC+BC，即可求解；
（2）根据M、N分别是AC,BC的中点，可得MC=12AC,CN=12BC，从而得到MN=MC+CN=12AC+12BC=12AC+BC，即可求解；
（3）根据M、N分别是AC,BC的中点，可得MC=12AC,CN=12BC，从而得到MN=MC−CN=12AC−12BC=12AC−BC，即可求解．
【详解】（1）解∶ ∵M、N分别是AC,BC的中点，
∴MC=12AC,CN=12BC，
∵AC=9cm,CB=6cm，
∴MN=MC+CN=12AC+12BC=12AC+BC=129+6=7.5cm；
（2）解∶ ∵M、N分别是AC,BC的中点，
∴MC=12AC,CN=12BC，
∵AC+CB=acm，
∴MN=MC+CN=12AC+12BC=12AC+BC=12acm；
（3）解∶ MN=12b，理由如下∶
如图，
∵M、N分别是AC,BC的中点，
∴MC=12AC,CN=12BC，
∵AC−BC=bcm，
∴MN=MC−CN=12AC−12BC=12AC−BC=12bcm．
【点睛】本题主要考查了有关线段中点的计算，明确题意，准确得到线段间的数量关系是解题的关键．
【题型4 与角平分线相关的计算】
【例4】（2024·山东东营·中考真题）如图，直线AB、CD相交于点O,射线OM平分∠BOD,若∠AOC=42°，则∠AOM等于（ ）
A．159∘B．161∘C．169∘D．138∘
【答案】A
【分析】先求出∠AOD=180°-∠AOC，再求出∠BOD=180°-∠AOD，最后根据角平分线平分角即可求解．
【详解】解：由题意可知：∠AOD=180°-∠AOC=180°-42°=138°，
∴∠BOD=180°-∠AOD=42°，
又∵OM是∠BOD的角平分线，
∴∠DOM=12∠BOD=21°，
∴∠AOM=∠DOM+∠AOD=21°+138°=159°．
故选：A．
【点睛】本题考查了角平分线的性质及平角的定义，熟练掌握角平分线的性质和平角的定义是解决此类题的关键．
【变式4-1】（2024·山东日照·中考真题）如图，AD是∠CAE的平分线，∠B=35°，∠DAC=60°，则∠ACD等于（ ）
A．25°B．85°C．60°D．95°
【答案】D
【分析】本题考查求角度，涉及角平分线定义、平角定义及三角形外角性质等知识，先由角平分线定义得到∠DAE=∠DAC=60°，进而由平角定义得到∠BAC=60°，再由外角性质即可得到答案，熟练掌握三角形外角性质求角度是解决问题的关键．
【详解】解：∵ AD是∠CAE的平分线，∠DAC=60°，
∴∠DAE=∠DAC=60°，
∴∠BAC=180°−2∠DAC=180°−60°×2=60°，
∵∠ACD是△ABC的一个外角，∠B=35°，
∴∠ACD=∠B+∠BAC=35°+60°=95°，
故选：D．
【变式4-2】（2024·四川乐山·中考真题）如图，E是直线CA上一点，∠FEA=40°，射线EB平分∠CEF，GE⊥EF．则∠GEB=（ ）
A．10°B．20°C．30°D．40°
【答案】B
【分析】先根据射线EB平分∠CEF，得出∠CEB=∠BEF=70°，再根据GE⊥EF，可得∠GEB=∠GEF-∠BEF即可得出答案．
【详解】∵∠FEA=40°，
∴∠CEF=140°，
∵射线EB平分∠CEF，
∴∠CEB=∠BEF=70°，
∵GE⊥EF，
∴∠GEB=∠GEF-∠BEF=90°-70°=20°，
故选：B．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，补角，掌握知识点灵活运用是解题关键．
【变式4-3】9．（2024·湖南益阳·中考真题）如图，AB与CD相交于点O，OE是∠AOC的平分线，且OC恰好平分∠EOB，则∠AOD= 度．
【答案】60
【分析】先根据角平分线的定义、平角的定义可得∠COB=60°，再根据对顶角相等即可得．
【详解】解：设∠AOC=2x，
∵OE是∠AOC的平分线，
∴∠AOE=∠EOC=12∠AOC=x，
∵OC平分∠EOB，
∴∠COB=∠EOC=x，
又∵∠AOE+∠EOC+∠COB=180°，
∴x+x+x=180°，
解得x=60°，即∠COB=60°，
由对顶角相等得：∠AOD=∠COB=60°，
故答案为：60．
【点睛】本题考查了角平分线的定义、平角的定义、对顶角相等，熟练掌握角平分线的定义是解题关键．
考点二
相交线与平行线
1、邻补角与对顶角
邻补角：有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角，叫做互为邻补角。
对顶角：有一个公共顶点，一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角。
对顶角相等。
2、垂线
(1)定义：两直线相交所构成的四个角中有一个角是直角时，我们就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另外一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
(2)性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
(3)点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
3、同位角、内错角、同旁内角
如图，∠1和∠4是同位角，∠3和∠4是内错角，∠2和∠4是同旁内角。
4、平行线
(1)定义：在平面内不相交的两条直线叫做平行线。
(2)平行公理
经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
(3)平行线的性质
两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；
两条平行线被第三条直线所截，内错角相等；
两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。
(4)平行线的判定
两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；
两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行；
两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。
【题型5 与对顶角、邻补角相关的计算】
【例5】（2024·广东深圳·中考真题）如图为商场某品牌椅子的侧面图，∠DEF=120°，DE与地面平行，∠ABD=50°，则∠ACB=（ ）

A．70°B．65°C．60°D．50°
【答案】A
【分析】根据平行得到∠ABD=∠EDC=50°，再利用外角的性质和对顶角相等，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：DE∥AB，
∴∠ABD=∠EDC=50°，
∵∠DEF=∠EDC+∠DCE=120°，
∴∠DCE=70°，
∴∠ACB=∠DCE=70°；
故选A．
【点睛】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角．熟练掌握相关性质，是解题的关键．
【变式5-1】（2024·北京·中考真题）如图，点O在直线AB上，OC⊥OD．若∠AOC=120°，则∠BOD的大小为（ ）

A．30°B．40°C．50°D．60°
【答案】A
【分析】由题意易得∠COB=60°，∠COD=90°，进而问题可求解．
【详解】解：∵点O在直线AB上，OC⊥OD，
∴∠AOC+∠COB=180°，∠COD=90°，
∵∠AOC=120°，
∴∠COB=60°，
∴∠BOD=90°−∠COB=30°；
故选A．
【点睛】本题主要考查垂直的定义及邻补角的定义，熟练掌握垂直的定义及邻补角的定义是解题的关键．
【变式5-2】（2024·福建莆田·中考真题）将一副三角尺按如图所示放置，则∠1= 度．
【答案】105
【分析】本题考查了三角尺的性质，三角形外角的性质，邻补角，找出角度之间的数量关系是解题关键．由三角尺的性质可知，∠BAE=30°，∠ABE=45°，先利用三角形外角的性质，求出∠BEC的度数，再利用邻补角，即可求出∠1的度数．
【详解】解：如图，由三角尺的性质可知，∠BAE=30°，∠ABE=45°，
∵∠BEC是△ABE的外角，
∴∠BEC=∠BAE+∠ABE=75°，
∴∠1=180°−∠AEB=105°，
故答案为：105．
【变式5-3】（2024·河北·中考真题）下图是可调躺椅示意图（数据如图），AE与BD的交点为C，且∠A，∠B，∠E保持不变．为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD=110°，则图中∠D应 （填“增加”或“减少”） 度．
【答案】 减少 10
【分析】先通过作辅助线利用三角形外角的性质得到∠EDF与∠D、∠E、∠DCE之间的关系，进行计算即可判断．
【详解】解：∵∠A+∠B=50°+60°=110°，
∴∠ACB=180°-110°=70°，
∴∠DCE=70°，
如图，连接CF并延长，
∴∠DFM=∠D+∠DCF=20°+∠DCF，
∠EFM=∠E+∠ECF=30°+∠ECF，
∴∠EFD=∠DFM+∠EFM=20°+∠DCF+30°+∠ECF=50°+∠DCE=50°+70°=120°，
要使∠EFD=110°，则∠EFD减少了10°，
若只调整∠D的大小，
由∠EFD=∠DFM+∠EFM=∠D+∠DCF+∠E+∠ECF=∠D+∠E+∠ECD=∠D+30°+70°=∠ D+100°，
因此应将∠D减少10度；
故答案为：①减少；②10．
【点睛】本题考查了三角形外角的性质，同时涉及到了三角形的内角和与对顶角相等的知识；解决本题的关键是理解题意，读懂图形，找出图形中各角之间的关系以及牢记公式建立等式求出所需的角，本题蕴含了数形结合的思想方法．
【题型6 确定角度之间的关系】
【例6】（2024·北京·模拟预测）如图1，AB∥CD，在AB、CD内有一条折线EPF．

(1)求证：∠AEP+∠CFP=∠EPF．
(2)如图2，已知∠BEP的平分线与∠DFP的平分线相交于点Q，试探索∠EPF与∠EQF之间的关系．
(3)已知∠BEQ=1n∠BEP，∠DFQ=1n∠DFP，有∠P与∠Q有什么关系．（直接写结论）
【答案】(1)∠AEP+∠CFP=∠EPF
(2)∠EPF+2∠EQF=360°
(3)∠P+n∠Q=360°
【分析】此题主要考查了平行线的性质的应用，平行公理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是熟记平行线的性质并灵活运用．
（1）首先过点P作PG∥AB，然后根据AB∥CD，PG∥CD，可得∠AEP=∠1，∠CFP=∠2，据此判断出∠AEP+∠CFP=∠EPF即可．
（2）首先由（1），可得∠EPF=∠AEP+CFP，∠EQF=∠BEQ+∠DFQ；然后根据∠BEP的平分线与∠DFP的平分线相交于点Q，推得∠EQF=12×360°−∠EPF，即可判断出∠EPF+2∠EQF=360°．
（3）首先由（1），可得∠P=∠AEP+CFP，∠Q=∠BEQ+∠DFQ；然后根据∠BEQ=1n∠BEP，∠DFQ=1n∠DFP，推得∠Q=1n×360°−∠P，即可判断出∠P+n∠Q=360°．
【详解】（1）证明：如图1，过点P作PG∥AB，

∵AB∥CD，
∴PG∥CD，
∴∠AEP=∠1，∠CFP=∠2，
又∵∠1+∠2=∠EPF，
∴∠AEP+∠CFP=∠EPF．
（2）如图2，

由（1），可得∠EPF=∠AEP+CFP，∠EQF=∠BEQ+∠DFQ，
∵∠BEP的平分线与∠DFP的平分线相交于点Q，
∴∠BEQ=12∠BEP，∠DFQ=12∠DFP，
∴∠EQF=∠BEQ+∠DFQ=12∠BEP+∠DFP，
又∵∠BEP=180°−∠AEP，∠DFP=180°−∠CFP，
∴∠BEP+∠DFP=360°−∠AEP+∠CFP，
∴∠EQF=12×360°−（∠AEP+∠CFP），
即∶2∠EQF+∠AEP+∠CFP=360°，
∴∠EPF+2∠EQF=360°．
（3）由（1），可得∠P=∠AEP+CFP，∠Q=∠BEQ+∠DFQ，
∵∠BEQ=1n∠BEP，∠DFQ=1n∠DFP，
∴∠Q=∠BEQ+∠DFQ=1n∠BEP+∠DFP
=1n[360°−∠AEP+∠CFP]
=1n360°−∠P，
∴∠P+n∠Q=360°．
【变式6-1】（2024·浙江衢州·中考真题）已知：如图，AB⊥CD，垂足为O，则∠1与∠2的关系一定成立的是（ ）
A．相等B．互余C．互补D．互为对顶角
【答案】B
【分析】本题考查了对顶角，互补、互余的概念，根据图示可得∠1=∠AOF，根据AB⊥CD可得∠AOD=90°=∠AOF+∠2，由此即可求解．
【详解】解：根据题意，∠1=∠AOF，
∵AB⊥CD，
∴∠AOD=90°=∠AOF+∠2，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠1与∠2互余，
故选：B ．
【变式6-2】（2024·山西太原·一模）综合与探究：如图，射线OB在OA上方，射线OC在OA下方，∠AOB=α，∠AOC=β（0°