查漏补缺03 集合、常用逻辑语、不等式与复数（专项训练）-2026年高考数学二轮复习培优讲义（含答案）

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考点01 集合
知识点一：集合与元素
1.集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．
2.元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．
3.集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
4.常见数集的记法．
知识点二：集合间的基本关系
1.子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A．
2.真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)．
3.相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B．
4.空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
知识点三：集合的基本运算
题型一：集合的含义与表示
1．（25-26高三上·云南昆明·月考）已知，则的值为（ ）
A．或B．或C．或D．
【答案】B
【分析】根据元素与集合、集合元素的互异性可得出关于实数的等式或不等式，即可解得实数的值.
【详解】因为，则或或，
解得或.
故选：B.
2．（2026·重庆·一模）已知集合，则下列集合与相等的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据分式的性质，结合一元二次不等式的解法、集合相等的定义进行求解即可.
【详解】由，
所以.
故选：A
3．（25-26高三上·山东济南·期中）下列集合中，与集合表示同一个集合的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】结合相等集合的定义、集合元素特征逐一判断即可
【详解】对于A，由集合元素的互异性知，集合表示错误，A错误；
对于B，解得，此时与集合表示同一个集合，B正确；
对于C，且，故两集合不表示同一集合，C错误；
对于D，集合表示点集，只有一个元素，D错误.
故选：B.
4．（2026高三上·广东湛江·专题练习）已知集合，若且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据元素与集合的关系求得的取值范围.
【详解】因为，
又且，则.
故选：D
5．（2026·新疆·二模）已知等差数列的公差为，集合，若，则的值为（ ）
A．B．0C．D．1
【答案】B
【分析】根据给定的等差数列，写出通项公式，再结合余弦型函数的周期性，判断集合只有两个元素，化简后计算即得.
【详解】已知等差数列的公差为，则，
所以，则，
即.
故选：B.
题型二：集合的基本关系
1．（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先计算集合，根据元素与集合、集合与集合之间的关系判断各个选项.
【详解】因为，所以，可知
对于A，是集合不是集合的元素，故错误，A错误；
对于B，，B错误；
对于C，，C正确；
对于D，因为，不满足，D错误；
故选：C.
2．（2025·贵州遵义·模拟预测）设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】集合A为所有奇数组成的集合，集合B为所有整数组成的集合，故A是B的子集.
【详解】，
，
集合A为所有奇数组成的集合，集合B为所有整数组成的集合，故A是B的子集.
故选：A
3．（2026·广东·模拟预测）已知集合不为正有理数为无理数，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】首先理解集合中的元素，从而可判定集合的关系.
【详解】由条件得，即集合由无理数、负有理数和0构成，
所以是集合的真子集.
故选：B.
4．（2026高三·上海·专题练习）已知集合，，，则M、N、P的关系满足（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，将集合中元素化为统一形式，进而判断各选项.
【详解】依题意，，
，
所以对任意，存在使，
令，则且，所以.
同理，对任意，存在使，
令，则且，所以，综上，.
，则，
所以的关系满足.
故选：A
题型三：根据集合的关系求参数取值
1．（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知集合，，若，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据集合的包含关系列式求值即可.
【详解】因为，所以.
故选：D
2．（2026·云南·模拟预测）设集合，若是的子集，则实数（ ）
A．-1B．0C．1D．
【答案】B
【分析】由，得到或，再结合集合元素互异性即可求解.
【详解】因为，，，，
所以或，且，
解得或0，
当时，，不符合集合中元素的互异性，
当时，，，，满足题意，
故选：B.
3．（2026·上海·高考真题）已知集合，，若，则 .
【答案】
【分析】利用子集的定义求解.
【详解】，，，
集合中所有的元素都在集合中，
集合中的元素在集合中，
.
故答案为：.
4．（25-26高三上·安徽·月考）已知集合，，若，则（ ）
A．－2B．－1C．0D．1
【答案】B
【分析】根据集合相等可知关于的方程只有一个实数根，从而可得的值，即可得所求.
【详解】因为集合，，若，
所以关于的方程只有一个实数根，则，故，
所以，
则，故，所以，
故.
故选：B.
5．（2026高三·全国·专题练习）已知集合，若，则实数的取值集合为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【知识点】根据两个集合相等求参数
【分析】根据，可得，再分和两种情况讨论即可.
【详解】因为，所以，
当时，则，所以，得，
此时；
当时，则，所以，所以，所以，则，
此时，
综上所述，实数的取值集合为.
故选：B.
题型四：集合的基本运算
1．（2026高三·北京·专题练习）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先化简集合，再根据交集的概念运算.
【详解】由，
则，
故选：C
2．（25-26高三上·河南南阳·期末）已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．或
【答案】C
【分析】解分式不等式化简集合A，解绝对值不等式化简集合B，然后利用补集运算和交集运算的概念求解即可.
【详解】由得，解得，即；
由得或，则或，所以，
所以.
故选：C.
3．（25-26高三上·河北衡水·期末）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】化简集合，根据集合的补集运算求解.
【详解】因为，，
所以.
故选：C
4．（2026高三·北京·专题练习）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】应用并集的定义计算求解.
【详解】集合，则.
故选：D.
5．（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知集合，则集合（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据题设结合并集、补集、交集的定义分析求解即可.
【详解】由，
而，则中不含，
若，则，，此时，不满足题意，故，
同理可得，则.
故选：C.
6．（2026·重庆九龙坡·一模）已知集合，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据补集和交集的运算求解.
【详解】，，，
，，，故选项A正确.
故选：A.
7．（2026·四川宜宾·一模）已知集合，集合，则集合的元素之和等于 .
【答案】80
【分析】根据题意利用列举法表示集合，进而求集合的元素之和.
【详解】因为集合，
集合，
可得，所以集合的元素之和为.
故答案为：80.
8．（2026·四川遂宁·一模）已知集合，，，且，则集合中元素个数有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【答案】D
【分析】根据交集和并集的定义求解即可.
【详解】，则，
所以集合中元素个数有个.
故选：D.
题型五：根据集合的运算结果求参数
1．（2025·内蒙古赤峰·模拟预测）已知集合，若，则（ ）
A．0B．1C．2D．0或1
【答案】A
【分析】由知集合中必有元素1，分两种情况讨论即可．
【详解】∵，∴集合中必有元素1．
①当时，．
集合，，满足条件．
②当时：，集合，那么，不满足，∴舍去．
综上，，
故选：A．
2．（25-26高三上·天津红桥·期末）已知全集，集合，，则（ ）
A．2B．4C．6D．10
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用补集的定义求解.
【详解】全集，由，得，而，
所以.
故选：C
3．（25-26高三上·福建龙岩·月考）已知集合，若，则实数的值为（ ）
A．B．0C．2D．2或
【答案】C
【分析】由题意，进而有或求参数，注意验证元素的互异性.
【详解】由，即，则或，可得或，
当，在集合中，不满足集合元素的互异性，
当，则，满足题设.
故选：C
4．（2026·重庆·模拟预测）集合，则 .
【答案】
【分析】先化简集合，再根据交集结果确定和即可得出结果.
【详解】因为集合，解不等式，可得：.
所以集合
又因为，
所以，且，，，
故答案为： .
5．（2026·河北沧州·一模）设全集，集合，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先由一元二次不等式的解法结合补集的运算求出，再由集合间的包含关系列不等式组可得.
【详解】由题得，
因为，所以，所以，解得．
故选：B．
6．（2026·湖北荆州·一模）集合，，若，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】分析可知，结合包含关系即可得结果.
【详解】因为，则，
又集合，，可得，
所以实数a的取值范围是.
故选：C.
7．（25-26高三上·贵州·月考）已知集合或，.
(1)若，求，；
(2)若，求的取值范围.
【答案】(1)或，或
(2)
【分析】（1）利用交集、并集与补集定义计算即可得；
（2）由，可得，解出即可得.
【详解】（1）若，则，则或，
，则或；
（2）由，则，解得.
8．（2026高三·全国·专题练习）全集，集合，若，求实数的取值范围．
【答案】
【分析】解法一：由德・摩根定律知，先分别求出：，再计算交集，从而可确定参数范围；
解法二：直接根据题意可得，从而先计算，再计算，从而确定参数范围.
【详解】解法一：
∵，
∴，
∵，
∴
因为要使得，则满足，
即只需；
解法二：
∵，
∴，
因为要使得，所以满足，则，
即只需；
故答案为：.
题型六：子集个数问题
1．（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知集合，则集合的真子集有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【答案】A
【分析】根据集合的元素个数计算真子集的个数并列出所有真子集.
【详解】集合，包含2个元素，
故真子集个数为.
故选：A.
2．（25-26高三上·贵州·月考）集合的真子集个数为（ ）
A．2B．3C．7D．15
【答案】C
【分析】解一元二次不等式求解集合A，然后利用真子集个数结论求解即可.
【详解】不等式，即，所以，
由知，故其真子集个数为.
故选：C.
3．（2026高三上·山西临汾·专题练习）已知集合，则集合且的子集的个数为（ ）
A．16B．8C．4D．2
【答案】B
【分析】结合题意求出集合，再求解子集个数即可.
【详解】因为，且集合且，
所以，则集合有个子集，故B正确.
故选：B
4．（25-26高三上·广东深圳·期末）已知集合，则的非空子集个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】解不等式化简集合，求交集进而可得结果.
【详解】因为集合，
集合，
则，有2个元素，
所以的非空子集个数为.
故选：C.
5．（2026·河北邢台·一模）已知集合 ，则的子集个数为（ ）
A．4B．7C．8D．32
【答案】C
【分析】解一元二次不等式即可化简集合，根据集合交集的概念计算即可得，从而可得子集个数.
【详解】解不等式可得，所以，
因为，所以，
故的子集为，故子集个数为.
故选：C.
6．（25-26高三上·江苏·月考）已知集合，若集合，， ，是集合M的k个不同子集，且，则k的最大值是（ ）
A．15B．16C．31D．32
【答案】B
【分析】根据题目条件结合集合的子集与并集运算判断选项.
【详解】集合共有个子集，
条件等价于并集缺少中至少一个元素，
设缺少元素，则所有子集均不含，即，
集合的子集个数为，且这些子集的并集必不含，满足条件，
假设，因为要满足这些子集的并集不等于，必须至少有一个中的元素不在任何一个子集中，
否则并集就会等于，设这个缺失的元素是，那么所有这个子集都不含，即每个子集都是的子集，
而只有个不同的子集，我们却要从中取出至少17个不同的子集，
这是不可能的，因此假设不成立，不可能大于16，因此的最大值为16.
故选：B
7．（2025高三上·安徽合肥·专题练习）如图所示的Venn图中，是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合．若的子集个数为（ ）

A．7B．8C．15D．16
【答案】B
【分析】先求出集合的元素，根据Venn图求，进而求得子集个数.
【详解】，，
则，，
所以，其子集个数为个.
故选：B.
8．（2025高三上·江苏·专题练习）已知，集合有8个子集，则的一个值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】A
【分析】根据已知条件得出集合中元素的个数，从而得出的因数个数，即可求出的值．
【详解】由题意得集合中有8个子集，
又，集合中有三个元素，即有三个正因数，
而在正整数中，恰有3个正因数的数是质数的平方，
设为质数，则，此时正因数为，
，，则或3，
的值可以为4或9，故A正确．
故选：A．
题型七：与集合有关的新定义问题
1．（25-26高三上·山东菏泽·期中）已知集合，，若且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求出集合，结合题中定义可得结合.
【详解】因为集合，，
所以且.
故选：A.
2．（25-26高三上·北京·月考）已知函数，集合是和定义域的交集，集合，集合，
① 如果是单调递增的函数，则 ；
② 如果都是有限集合，两者元素个数之差一定是偶数；
③ 存在函数，使得是空集，不是空集；
④ 存在函数，使得不是空集，是空集
以上4个选项中，正确的是: .
【答案】①②③
【分析】根据题意，得到，得出，结合选项，利用题设中的新定义，逐项分析判断，即可求解.
【详解】由，
则若 ，则，可得 ，故 .
对于①，假设，若，因为为单调递增函数，所以，
与矛盾；
若，可得，与矛盾，
所以只能是，即，所以，所以，所以①正确；
对于②，由，设，对于集合，令，则，且，
所以且，即集合中元素成对出现，个数为偶数，
所以两者元素个数之差一定是偶数，所以②正确；
对于③，取定义，定义，
则，所以，
又因为对任意，所以，此时满足题意，所以③正确；
对于④，对任意，有且，所以，
即，所以恒成立，
若，则，所以不存在这样的函数符合条件，所以④错误.
故答案为：①②③.
3．（25-26高三上·上海·期中）已知集合，，若，则满足条件的集合个数为（ ）
A．408B．409C．410D．411
【答案】C
【知识点】组合数的计算、集合新定义、判断集合的子集（真子集）的个数
【分析】由题意得除以3的余数相同，按照除以3所得余数进行分类讨论，结合组合数求解即可.
【详解】，且
能被3整除， ∴除以3的余数相同，
集合的元素中，
能被3整除的整数有，
被3除余1的整数有，
被3除余2的整数有，
当都被3整除时，则从被3整除的5个数中选取3个，
或可从被3整除的5个数中选取2个，从其余11个数中选择，
∴的个数为，
当被3除余1时，则从被3除余1的6个数中选取3个，
或可从被3除余1的6个数中选取2个，从其余10个数中选择，
∴的个数为，
当被3除余2时，则从被3除余2的5个数中选取3个，或可从被3除余2的5个数中选取2个，从其余11个数中选择，
∴的个数为，
∴满足条件的集合共有个．
故选：C.
4．（2026高三·全国·专题练习）（多选）当一个非空数集G满足“如果a、，则、、，且时，”时，我们称G是一个数域．以下四个关于数域的命题中真命题的是（ ）
A．0是任何数域中的元素；B．若数域G中有非零元素，则；
C．集合是一个数域；D．有理数集Q是一个数域．
【答案】ABD
【知识点】集合新定义、判断元素与集合的关系
【分析】依据数域的定义逐项分析即可.
【详解】由题可设a是数域G中的一个元素，则由数域定义可知，即0是任何数域中的元素，A正确；
若域G中有非零元素a，则，所以，，…，，B正确；
记则，但，所以集合不是一个数域，故C错误；
因为任意两个有理数的和差积仍是有理数，当分母不为0时，两个有理数的商仍为有理数，所以有理数集Q是一个数域，故D正确．
故选：ABD
考点02 常用逻辑语
知识点一．命题的概念及结构
（1）一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题。
（2）当命题表示为“若，则”时，是命题的条件，是命题的结论。
知识点二．充分条件、必要条件与充要条件的概念
知识点三．全称量词与存在量词
（1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．
（2）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．
知识点四．全称量词命题和存在量词命题
题型一：命题真假性的判断
1．（2026高三·全国·专题练习）下列命题为假命题的是（ ）
A．有些实数是无限不循环小数
B．每一个末位是0的整数都是5的倍数
C．至少有一个整数，使是4的倍数
D．对任意负数，的平方是正数
【答案】C
【分析】对于A，根据实数的定义分析判断即可；对于B，根据5的倍数的特点判断即可；对于C，利用反证法判断即可；对于D，根据负数的平方的特点判断即可.
【详解】对于A，比如是实数，而且是无限不循环小数，故A正确；
对于B，每一个末位是0的整数都是5的倍数，故B正确；
对于C，假设有一个整数，使是4的倍数，则为偶数，
所以为奇数，可设，
则，
所以除以4余2，则不是4的倍数，与是4的倍数矛盾，
所以假设不成立，则不存在整数，使是4的倍数，故C错误；
对于D，对任意负数，的平方是正数，故D正确.
故选：C
2．（24-25高三上·江苏盐城·月考）已知命题，命题，，则（ ）
A．和都是真命题 B．和都是真命题
C．和都是真命题 D．和都是真命题
【答案】B
【分析】本题先判断命题和命题的真假，再判断、的真假，从而得出结果.
【详解】对于命题，因为，所以是真命题；
对于命题，由可得或，所以为假命题，则是真命题；
故选：B.
3．（25-26高三上·广东肇庆·月考）（多选）以下四个命题中，是真命题的有（ ）
A．∀x∈R，x2－x＋1>0
B．“”是“”的充分不必要条件
C．若命题：，，则的否定为：，
D．若，则
【答案】AC
【分析】A配方即可；B根据集合的包含关系判断；C根据特称命题的否定的定义判断；D作差法判断.
【详解】对于选项A：，故A选项为真命题；
对于选项B：因为是的真子集，
所以“”是“”的必要不充分条件，故B选项为假命题；
对于C：由特称命题的否定可知，C选项为真命题；
对于选项D：若，则，即，故D选项为假命题.
故选：AC
4．（2025·广东·模拟预测）（多选）已知，则下列命题一定为真命题的有（ ）
A． B．若，则
C． D．若，则
【答案】ACD
【分析】利用对数函数的性质可判定A，利用反例可判定B，利用不等式的性质可判定出，根据基本不等式可判定D.
【详解】对于A，因为函数单调递增，又，所以，故A正确；
对于B，当时，，故B错误；
对于C，由不等式的传递性可知，故C正确；
对于D，由得，又，所以，即.
又，即，则，即，又，故，故D正确.
故选：ACD.
5．（2026·四川巴中·一模）下列命题中为真命题的是（ ）．
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】对四个选项进行一一分析，即可求得答案.
【详解】对于A：,都有，所以，故不存在使得成立，所以是假命题，故A错误.
对于B：当时，，所以是假命题，故B错误.
对于C：，为非负整数，且自然数集包含所有非负整数，故该命题是真命题，故C正确.
对于D：，，故不存在，所以是假命题，故D错误.
故选：C
6．（2026高三·全国·专题练习）给出下列三个命题：
①；
②；
③；
其中真命题的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．0
【答案】B
【分析】根据存在量词命题及全称量词命题的性质，结合对数、指数函数的性质及运算规则，利用导数等方法分析命题是否成立，从而判断命题真假．
【详解】对于，，，
根据对数函数的性质，对数函数在上单调递增，
，故命题①为真命题.；
若，则，和都是无理数，不存在有理数使得，故命题②为假命题；
令，，对求导，可得，
令，即，解得，
当时，，，，单调递增；
当时，，，，故单调递减．
则在处取得极大值，也是最大值，，
，即，故命题③为真命题．
综上，真命题有①③，共个．
故选：B．
题型二：充分条件与必要条件的判断
1．（2025-2026学年高三上学期1月期末数学试题）已知向量，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据平面向量共线的坐标表示公式、平面向量模的坐标表示公式，结合充分性和必要性的定义进行运算判断即可.
【详解】当时，，
当时，因为，所以不成立，
当时，因为，所以成立，
因此由不一定能推出.
当时，则有，此时，
所以由能推出，
因此“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
2．（25-26高三上·天津南开·期末）已知向量， ，则“”是“与夹角为锐角”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据数量积的坐标运算以及向量共线可得且，结合充分、必要条件分析判断.
【详解】因为向量， ，
若与夹角为锐角，等价于，解得且，
因为集合是集合的真子集，
所以“”是“与夹角为锐角”的必要不充分条件.
故选：B.
3．（25-26高三上·天津和平·期末）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】化简条件，根据充分、必要条件的概念判断“”是“”的关系.
【详解】因为.
由“”能推出“”，但“”不能推出“”.
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
4．（2026·陕西西安·一模）设甲：，乙：，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据同角三角函数的基本关系，分析充分性与必要性，即可得解.
【详解】若，又，故，即，
则或，故甲无法推出乙，充分性不成立；
若，则，两边平方得，
所以，故乙可以推出甲，必要性成立.
综上，甲是乙的必要不充分条件，
故选：B.
5．（2026·山东枣庄·一模）已知集合，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据必要不充分条件的判定方法进行判断.
【详解】充分性：因为，但，所以“”不是“”的充分条件；
必要性：因为，，所以 “”是“”的必要条件；
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
6．（25-26高三上·北京丰台·期末）已知、，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用充分条件、必要条件的定义结合诱导公式判断即可得出结论.
【详解】若，则，
所以，
则，
所以“”“”，
另一方面，若，则或，
即或，
所以“”“”，
故“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
题型三：根据充分性和必要性求参数
1．（25-26高三上·河北邯郸·月考）已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】依题意，是的子集，利用子集思想求解即可.
【详解】是的必要不充分条件，则是的子集，
又因为，或，所以.
故选：C.
2．（25-26高三上·河北唐山·期中）若“”是“”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据充分不必要条件的性质，结合一元二次不等式的解法进行求解即可.
【详解】，
若“”是“”的充分不必要条件，
所以有，
故答案为：
3．（25-26高三上·上海长宁·期中）已知集合，
(1)当时，求，；
(2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围.
【答案】(1)，或；(2)
【分析】（1）先求出集合A，B，再利用集合的基本运算求解；
（2）若“”是“”的必要不充分条件，则，进而求出不等式，求出a的取值范围．
【小题1】解：不等式可化为：，
即，等价于，解得，
所以集合，所以或，
当时，，
所以，又因为或，
所以或；
【小题2】由题意可知，或，，
若“”是“”的必要不充分条件，则，
则或，解得或，
所以实数a的取值范围为
4．（25-26高三上·新疆·月考）已知函数（且）的图象过点，．
(1)求的值；
(2)记，在区间上的值域分别为集合，，若是的必要条件，求实数的取值范围．
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）将点代入，计算得解；
（2）利用单调性求出，在区间上的值域分别为集合A，B，由是的必要条件得到，利用子集的定义列不等式计算求解.
【详解】（1）因为（且）的图象过点，所以，解得.
（2）由（1），得，当时，单调递增.
因为，，所以在上的值域．
当时，单调递减.
因为，，所以在上的值域．
因为是的必要条件，所以，所以，解得，
所以实数的取值范围为．
题型四：命题的否定形式
1．（25-26高三上·江苏苏州·月考）若命题，，则p的否定是（ ）
A．,B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】含有一个全称量词的否定，将全称量词改为存在量词再把结论否定即可.
【详解】命题，，则p的否定是，
故选：D
2．（25-26高三上·贵州贵阳·月考）命题“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题作出命题的否定，即可得解.
【详解】命题“”的否定是.
故选：D
3．（25-26高三上·新疆·月考）已知p：，；q：，，则（ ）
A．p是真命题，q是真命题B．p是真命题，是真命题
C．是真命题，q是真命题D．是真命题，是真命题
【答案】C
【分析】举例说明命题p，q的真假，进而判断其否定的真假.
【详解】对于命题p：当时，，
可知p是假命题，即是真命题；
对于命题q：当时，，
可知q是真命题，即是假命题.
故选：C.
4．（25-26高三上·河北·月考）命题“”的否定为 .
【答案】
【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题求解即可.
【详解】根据存在量词命题的否定为全称量词命题可知：
命题“，”的否定为“”.
故答案为：
题型五：根据命题的真假求参数取值
1．（25-26高三上·山东威海·期中）已知命题“”是假命题，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】利用命题与其否命题真假性关系，将问题转化为一元二次不等式恒成立问题，再通过判别式求解.
【详解】因为命题“”是假命题，
所以其否定形式“”是真命题，即有实数根，
所以，即，解得或.
故答案为：
2．（25-26高三上·北京·月考）已知命题“” 是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，转化为是真命题，结合二次函数的性质，列出不等式，即可求解.
【详解】由命题是假命题，可得命题是真命题，
则满足，解得或，
所以实数的取值范围为.
故选：B.
3．（2025高三上·吉林长春·专题练习）命题：“，”为假命题，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用“命题与命题真假性相反”，可以把原问题转化成恒成立问题，然后分类讨论可得答案.
【详解】“，”为假命题，
等价于“，”为真命题.
当时，，成立；
当时，需满足，
解得；
综上：.
故选：A
4．（25-26高三上·河南商丘·月考）已知命题p：“，”为假命题，记实数t的所有取值组成集合A．
(1)求集合A；
(2)设集合，若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
【答案】(1)或．(2)
【分析】（1）为假命题时，既可转化为关于的一元二次方程无解，然后利用判别式即可；
（2）若是的必要不充分条件可得，然后分为空集和非空集两种情况讨论即可.
【详解】（1）由题意可知为假命题时，关于x的方程无解，
则，即，解得或，故集合或．
（2）因为是的必要不充分条件，所以，
易知，所以或，
解得或，
故实数m的取值范围为．
5．（25-26高三上·河北邯郸·期中）已知命题；命题，方程有两个不相等的正实数根．
(1)若为假命题，求实数的取值范围；
(2)若，中一真一假，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)或
【知识点】根据或且非的真假求参数、已知命题的真假求参数
【分析】（1）由题意可知是真命题，解不等式即可求解；
（2）先求出是真命题时，实数的取值范围，再分为真命题且为假命题，为真命题且为假命题两种情况求解.
【详解】（1）根据为假命题，可得是真命题.
所以，解得，
所以实数的取值范围；
（2）若是真命题，设方程有两个不相等的正实数根，，
所以，，，解得，
若为真命题且为假命题，则，
解得或；
若为真命题且为假命题，则，此时无解；
综上，实数的取值范围是或．
考点03 不等式
知识点一：不等式的性质
（1）对称性：a>b⇔bb，b>c⇒a>c．
（3）可加性：a>b⇔a＋c>b＋c．
（4）可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，cd⇒a＋c>b＋d．
（6）同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd．
（7）同正可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)．
知识点二：两个实数比较大小的方法
作差法eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－b>0⇔a>b，,a－b＝0⇔a＝b，,a－b0．
（3）等号成立的条件：当且仅当a＝b时，等号成立．
（4）其中eq \f(a＋b,2)叫做正数a，b的算术平均数，eq \r(ab)叫做正数a，b的几何平均数．
知识点四：几个重要的不等式
（1）a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
（2）eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2(a，b同号)．
（3）ab≤ (a，b∈R)．
（4）eq \f(a2＋b2,2)≥(a，b∈R)．
知识点五：三个“二次”的关系
5．三个“二次”的关系
知识点六：分式不等式与绝对值不等式
（1）eq \f(fx,gx)>0(0(a(a>0)的解集为(－∞,－a)∪(a,＋∞)，|x|0)的解集为(－a,a)．
题型一：不等式的性质应用
1．（2026高三·全国·专题练习）已知，求的取值范围．
【答案】
【分析】令，，用含和的表达式表示出和，并将其代入中，即可得解．
【详解】令，，则.
解方程组可得
所以.
因为，所以，所以.
所以的取值范围为．
故答案为：
2．（2026高三·全国·专题练习）（1）设，为实数，比较与的值的大小．
（2）已知，，，求证：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】（1）利用作差法比较大小.（2）利用不等式的性质比较大小.
【详解】（1）因为，
所以.
（2）证明：因为，，所以，
所以，又，所以.
3．（2025高三·全国·专题练习）已知且，求的取值范围．
【答案】
【分析】根据且得，，同时除以，解出的取值范围.
【详解】由，得，则，
得.
题型二：求解一元二次不等式
1．（25-26高三上·北京·月考）关于的不等式的解集不可能是 （ ）
A．或B．
C．D．
【答案】A
【分析】分、、三种情况讨论，结合一元二次函数图象解不等式.
【详解】若，则等价于，
若，则不等式的解集为，故B不符合题意；
若，则不等式的解集为，故D不符合题意；
若，则不等式的解集为，故C不符合题意；
若，则等价于，
则不等式的解集为或；
若，则不等式的解集为，
综上可知，A选项符合题意.
故选：A
2．（25-26高三上·陕西商洛·月考）若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】含参分类讨论解不等式，再结合解集中恰有3个整数即可求出答案.
【详解】不等式可化为，
当时，不等式的解集为，不符合题意，
当时，不等式的解集为，若解集中恰有个整数，则这三个整数为，所以，
当时，不等式的解集为，若解集中恰有个整数，则这三个整数为，所以，
综上，实数的取值范围为.
故选：A.
3．（2025·云南昆明·模拟预测）（多选）已知关于x的不等式的解集为，则下列说法正确的有（ ）．
A．B．不等式的解集为
C．D．
【答案】AB
【分析】由不等式的解集为两根之间可判断A；由不等式的解集可知对应方程的根，从而得到之间的关系，可判断BCD.
【详解】关于x的不等式的解集为，
由不等式的解集为两根之间，得，故A正确；
由题意可知和4是方程的两根，
可得，解得，
对于B，，所以，
所以不等式的解集为，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，当时，，故D错误.
故选：AB．
4.（25-26高三上·宁夏中卫·月考）（1）关于的不等式：；
①当时，解不等式；
②当时，解不等式.
（2）已知函数，求函数的值域.
【答案】（1）①；②答案见详解；（2）答案见详解
【分析】（1）①代入可得，解不等式即可；②整理可得，分类讨论二次项系数以及两根大小解不等式即可；
（2）讨论对称轴与区间的关系，结合二次函数对称性求最值，即可得值域.
【详解】（1）①当时，，即，解得，
所以原不等式的解集为；
②当时，原不等式可化为，
若，不等式为，解得；
若，令，解得或，
当时，则，解得或；
当时，则，
若，则，解得；
若，原不等式为，解得；
若，则，解得；
综上所述：若，不等式解集为；
若时，不等式解集为；
若，不等式解集为；
若，不等式解集为；
若，不等式解集为.
（2）因为函数的图象开口向下，对称轴为，
设函数的最大值为，最小值为，
当，即时，则，，
所以函数的值域为；
当，即时，则，，
所以函数的值域为；
当，即时，则，，
所以函数的值域为；
当，即时，则，，
所以函数的值域为；
综上所述：当时，函数的值域为；
当时，函数的值域为；
当时，函数的值域为；
当时，所以函数的值域为.
题型三：求解其他类型的不等式
1．（25-26高三上·辽宁·期末） 的解集为
【答案】
【分析】分类讨论绝对值内的数后即可求解.
【详解】原不等式等价于
当时，原不等式等价于，即得不成立，不等式无解；
当时，原不等式等价于，解得，不等式的解集为；
当时，原不等式等价于，即得，不等式的解集为；
综上所述，原不等式的解集为.
故答案为：
2．（24-25高一上·内蒙古包头·期中）求下列不等式的解集：
(1)；(2)；(3)
【答案】(1)；(2)；(3)答案见解析
【分析】（1）解一元二次不等式即可得答案；
（2）将分式不等式转化为整式不等式求解，即得答案；
（3）不等式可化为，分类讨论a的取值，即可求得答案.
【详解】（1）由得，
即，解得，
故不等式的解集为.
（2）由得，
即，也即为，
故，解得，
故不等式的解集为.
（3）不等式可化为，
当时，解得；
当时，原不等式即为，
当时，，.
当时，，此时不等式解集为；
当时，，
当时，原不等式即为，
因为，所以，所以或.
综上所述，原不等式的解集为：
当时，解集为或；
当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为.
3．（2025高三·全国·专题练习）解不等式：．
【答案】
【分析】将原不等式化为，然后根据绝对值的意义和一元二次不等式的解法求解即可.
【详解】原不等式化为，
所以，
由，得，解得，
因为方程的解为，
所以不等式的解集为或，
所以原不等式的解集为.
4．（2025高三·全国·专题练习）求不等式的解集．
【答案】或
【分析】解法一：根据符号法则列出式子计算；解法二：将式子因式分解然后利用穿针引线计算即可.
【详解】解法一：原不等式同解于下列两个不等式组：
①或者②
解①得；解②得．
综上所述，原不等式的解集是或．
解法二：原不等式可化为．
借助数轴，讨论各个因式之积的符号，如图1所示（数轴标根法）．

由此得到原不等式的解集是或．
5．（2025高三·全国·专题练习）求不等式的解集．
【答案】或或.
【分析】将给定不等式移项通分，再转化为不等式组，结合数轴标根法求解.
【详解】不等式，
，
借助数轴，讨论各个因式之积的符号，如图所示（数轴标根法）：

由此得到原不等式的解集是：或或．
6．（25-26高三上·山东淄博·期末）已知函数，若，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】分类讨论，结合指数函数和对数函数的单调性解不等式即可求解．
【详解】当时，令，所以，
当时，令，所以，
综上所述，时，的取值范围是
故答案为：．
题型四：利用基本不等式求最值
1．（2026高三·全国·专题练习）已知正数、满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】将代入所求代数式，结合基本不等式可求解即可.
【详解】因为正数、满足，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
故的最小值为．
故选：B.
2．（2026·湖北孝感·一模）已知正实数x，y满足，则的最小值是（ ）
A．6B．8C．12D．16
【答案】B
【分析】根据指数运算性质得，然后利用基本不等式的常数代换技巧求解最小值即可.
【详解】因为，所以，所以，即，
所以，
当且仅当时取等．
故选：B
3．（25-26高三上·江苏盐城·月考）已知，，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】C
【分析】先将已知等式进行变形得到，然后将目标式变形为，然后根据基本不等式的性质进行求解即可.
【详解】因为，所以，所以.
那么.
因为，所以.
所以根据基本不等式的性质得，
当且仅当，即时等号成立.
此时取最小值为1.
故选：C.
4．（25-26高三上·贵州贵阳·月考）（多选）下列结论正确的是（ ）
A．最小值是4
B．当时，的最小值是3
C．已知，且的取值范围是
D．设，且，则的最小值是9
【答案】BD
【分析】结合正弦函数的值域，利用对勾函数性质求解最值判断A；利用基本不等式可判断BD选项；利用基本不等式和二次不等式的解法可判断C选项.
【详解】对于A，令，，则函数即函数，
由对勾函数的性质，知函数在上单调递减，
所以当时，函数取得最小值，即函数的最小值是，错误；
对于B，时，，则 ，
当，即时取等，所以的最小值是3，故B正确；
对于C，已知，则，当且仅当时等号成立，
令，所以，解得，即，所以，故C错误；
对于D， ，且，
则，
当，，即时取等，
所以的最小值是9，故D正确．
故选：BD．
5．（25-26高三上·安徽马鞍山·月考）若，且，则的最大值（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，化简，结合基本不等式，求得，进而得到答案.
【详解】由且，则，
当且仅当时，即时，等号成立，即，
所以，即的最大值为.
故选：A.
6．（25-26高三上·河南·月考）设a，b为正数，且，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】通过基本不等式“1”妙用求得最小值.
【详解】因为，所以，
所以，
当且仅当，即，时，等号成立，
故的最小值为．
故答案为：.
7．（25-26高三上·海南·月考）已知，，完成下列问题：
(1)若，求取得最小值时m，n的值；
(2)若，求的最小值．
【答案】(1)，；(2)6.
【分析】（1）由条件得，再代入所求式子用基本不等式可解得；
（2）由条件用基本不等式构造一个关于的一元二次不等式，解不等式可得.
【详解】（1）由，可得且，
所以，
当且仅当，即，时等号成立，
故当取得最小值时，，．
（2）由，得，
即，解得或.
因，，故舍去，所以.
当且仅当时等号成立，故的最小值为6．
再由，解得，.
故，时的最小值为6．
8．（25-26高三上·江西·月考）已知正数，满足．
(1)求的最大值；
(2)求的最小值．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）利用均值不等式可得积的最大值；
（2）利用均值不等式的代换，可得最值.
【详解】（1）由，，可知，
即，解得，
当且仅当时，等号成立，
即的最大值为；
（2）由，得，
则，
当且仅当，时，等号成立，
故的最小值为．
题型五：不等式的成立性问题
1．（24-25高三上·内蒙古包头·期中）正数满足，，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用基本不等式求出的最小值，将问题转化为对任意实数x恒有求解.
【详解】正数满足，，故，
当且仅当，即时等号成立，
不等式对任意实数x恒成立，
则对任意实数x恒有，
对任意实数x恒成立，
对任意实数x恒成立，
又，
，即实数的取值范围是，
故选：A
2．（25-26高三上·天津和平·期末）已知，若对于任意的，不等式恒成立，则的最小值为 .
【答案】
【分析】本题为含参数不等式恒成立问题，通过对函数符号的分析，从而得到的等量关系，再利用均值不等式求出最小值．
【详解】若，当时，，，而，
乘积为负，不满足恒成立，故；
当时，乘积，解得，
则时，，故，不等式恒成立等价于，
对恒成立．由于二次函数开口向上，判别式，
故有两个实根，且根的乘积为，即一正一负．设正根为，则：
当时，；当时，．
当时，；当时，．
要使恒成立，需要二次函数的正根；
将代入，得，解得；
将代入，得；
由均值不等式，当且仅当时，即时等号成立；
又因为，满足，所以的最小值为．
故答案为：．
3．（25-26高三上·天津滨海新·月考）已知函数，不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】分类讨论先去绝对值符号，根据二次函数的对称性，依次讨论对称轴与端点的大小关系，结合最值计算一元二次不等式即可.
【详解】令，即，
由题意可知在R上恒成立，
①若，即时，
要满足题意需，
整理得,解得或（舍去）；
②若，即时，
要满足题意需，
整理得，
解得或，与前提矛盾舍去；
③若，即时，
要满足题意需，
整理得，解得或（，舍去）；
综上所述.
故答案为：
4．（25-26高三上·福建龙岩·月考）设为有穷正项等差数列的前n项和，若，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】先根据等差数列的前n项和公式得到，再转化为，进一步利用基本不等式求解.
【详解】因为为有穷正项等差数列的前n项和，，
所以均为正数，且，解得.
由等差数列的性质知.
所以，
当且仅当，即，亦即时等号成立，
故答案为：
5．（2025·海南儋州·模拟预测）已知关于的不等式的解集为.
(1)求a，b的值并求解不等式的解集；
(2)当，且满足时，有恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)，；解集为.(2)
【分析】（1）根据一元二次不等式与一元二次方程的关系，结合韦达定理即可求出，的值，进而求解不等式.
（2）根据基本不等式求出的最值，结合不等式恒成立即可求出范围.
【详解】（1）由题意知，1和2是的两个根，且，
所以，，解得，.
将，代入可得，，即，
解得或.
所以解集为.
（2）由（1）知，（，），
所以，
当且仅当，即时，等号成立.
所以的最小值为8.
又恒成立，故恒成立，即，解得.
的取值范围为.
题型六：基本不等式的综合应用问题
1．（25-26高三上·广东潮州·期末）过抛物线焦点的直线与抛物线交于A，B两点，过点作的切线，交轴于点，过点作的平行线交轴于点，则的最小值是（ ）
A．8B．6C．5D．4
【答案】D
【分析】先设直线，再联立得出韦达定理，再得出导函数进而得出切线斜率，进而得出，最后应用基本不等式计算求解.
【详解】设过拋物线焦点的直线方程为，设
由得，所以，从而，故，
由得，则点处的切线的斜率为，所以切线的方程为，
则点，过点作直线的平行线BN的方程为，则，
所以，当且仅当时等号成立．
故选：D.
2．（25-26高三上·辽宁沈阳·期末）在中，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先利用向量数量积的概念，结合余弦定理，探索三角形边的关系，再利用余弦定理结合基本不等式，可求的最小值.
【详解】由，可得，
根据余弦定理，可得，
所以，即.
由，当且仅当，即时取等号.
故选：B
3．（25-26高三上·安徽·期末）在平面直角坐标系xOy中，设抛物线的焦点为F，点A，B在C上，若，则的最小值为（ ）
A．4B．9C．16D．25
【答案】D
【分析】结合抛物线的定义与向量垂直的条件，通过代数变形求最值.
【详解】设，且，
由可得，，又，解得，
由抛物线的定义知，
因为，当且仅当或时取等号，
所以.
故选：D．
4．（25-26高三上·安徽·期末）在中，内角所对的边长分别是，且．
(1)求角；
(2)若，求的面积的最大值．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）利用正弦定理边化角，利用正弦两角和公式化简，即可求出角；
（2）利用余弦定理，结合基本不等式求最大值，即可求解.
【详解】（1）由
，
由于，所以，
又因为，所以，即，
因为，所以，即,
故；
（2）因为，，所以由余弦定理可得：
，
由基本不等式可得：，所以，
当且仅当取等号，
则的面积，
故的面积的最大值为.
考点04 复数
知识点一：复数的有关概念
1.复数的相关概念
（1）复数的定义：形如（）的数叫做复数，其中叫做虚数单位，实部是，虚部是。
（2）虚数单位：把平方等于的数用符号表示，规定，我们把叫作虚数单位。
（3）表示方法：复数通常用字母表示，代数形式为（）。
（4）复数集：①定义：全体复数所成的集合；②表示：通常用大写字母表示。
2.复数的分类
（1）；
（2）复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系：
3.复数相等的充要条件
在复数集中任取两个数，()，我们规定：当且仅当且时，复数与复数相等。
4.共轭复数
（1）一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。
（2）复数的共轭复数用表示，即如果，那么。
（3）虚部不等于的两个共轭复数也叫做共轭虚数。
■注意：
（1）当复数的虚部时，有，也就是，任一实数的共轭复数是它本身；
（2）复数在复平面内对应的点为，复数在复平面内对应的点为，所以两个互为共轭复数的复数，它们所对应的点关于实轴对称，并且它们的模相等。
知识点二：复数的几何意义
1.复平面
建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴。实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。原点对应的有序实数对为，它所确定的复数是，表示的是实数。
2.复数的两种几何意义
（1）复数eq \(←――→,\s\up7(一一对应))复平面内的点
（2）复数 eq \(←――→,\s\up7(一一对应))平面向量
3.复数的模
（1）定义：向量的模叫做复数的模或绝对值。
（2）记法：复数的模记为或。
（3）公式：。
知识点三：复数的四则运算
1.复数的加法
（1）设，（），
则。
注意：对于复数的加法可以推广到多个复数相加的情形，即，，，，则。
（2）加法运算律：对任意的，都有，
①交换律：；
②结合律：。
2.复数的减法
设，（），
则。
3.复数加法与减法的几何意义
（1）复数可以用向量来表示，已知复数（），（）
其对应的向量，，如图1，且和不共线，
以和为两条邻边作平行四边形，
根据向量的加法法则，对角线所对应的向量，
而所对应的坐标是，这正是两个复数之和
所对应的有序实数对。
（2）复数的减法是加法的逆运算，如图2，复数与向量
等于）对应，这就是复数减法的几何意义。
4.复数的乘法
（1）设，（），
则。
（2）复数乘法的运算律：对于任意，有
（3）复数的乘方：，，，；。
（4）虚数单位的乘方
①有如下性质：，，，，即以4为周期进行循环；
②，，，，。
5.复数的除法
（1）设，，则.
6.求复数标准代数式形式的两种方法
（1）直接法：将复数用已知复数式表示出来，利用复数的四则运算化简为复数的标准代数式；
（2）待定系数法：将复数设为标准式，代入已知的等式中，利用复数相等的条件列出关于复数实部和虚部的方程（组），通过解方程（组）求出复数的实部与虚部。
知识点四：复数的三角表示
1.复数的三角表示式及复数的辐角和辐角的主值
一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(cs θ＋isin θ)的形式，其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量eq \(OZ,\s\up6(→))所在射线(射线eq \(OZ,\s\up6(→)))为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角，我们规定在0≤θy(或aymax(或ay(或aymin(或a0
Δ＝0
Δ