查漏补缺02 直线与圆的方程（专项训练）-2026年高考数学二轮复习培优讲义（含答案）

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考点01 直线的倾斜角与斜率
知识点一：直线的倾斜角
知识点二：直线的斜率
（1）定义与表示
（2）由两点坐标求斜率
如果直线经过两点、，且，则直线的斜率公式为。
注：
1.运用公式的前提是，即直线不与轴垂直。
2.斜率公式与，在直线上的位置无关,在直线上任取两点,得到的斜率是相同的。
3.需注意公式中横、纵坐标之差的顺序,也可以写成，即下标的顺序一致。
（3）由方向向量求斜率
如果直线的方向向量为，且，则直线的斜率公式为。
知识点三：直线的斜率与倾斜角的关系
直线的斜率k与倾斜角α之间的关系
牢记口诀：“斜率变化分两段，90°是分界线；遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”．
题型一：直线的倾斜角与斜率
1．（25-26高三上·海南三亚·期中）下列命题：
①任何一条直线都有唯一的倾斜角：
②任何一条直线都有唯一的斜率：
③倾斜角为90°的直线不存在：
④倾斜角为0°的直线只有一条．
其中正确的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．4个
【答案】B
【分析】逐个分析四个命题，结合倾斜角和斜率的定义判断对错.
【详解】命题①，任何直线都有唯一的倾斜角（范围），故①正确；
命题②，当直线倾斜角为时，斜率不存在，故②错误；
命题③，倾斜角为的直线（垂直于轴的直线）存在，故③错误；
命题④，倾斜角为的直线有无数条（与轴平行或重合的直线），故④错误.
综上，正确的命题有1个.
故选：B
2．（2025·上海嘉定·一模）已知直线经过点、，则的倾斜角为 .
【答案】
【分析】根据斜率公式求斜率，即可得直线的倾斜角.
【详解】设直线的倾斜角为，
因为直线经过点、，则直线的斜率，
则，可得，
所以直线的倾斜角为.
故答案为：.
3．（25-26高三上·河北邢台·月考）已知直线的倾斜角为，则 ．
【答案】
【分析】由一般方程中斜率与倾斜角的关系可得.
【详解】由题意可得直线的斜率为，所以，解得．
故答案为：.
4．（25-26高三上·上海宝山·期末）已知第一象限的点和经过直线，若直线的倾斜角为，则的最小值为 ．
【答案】//1.125
【分析】由题设知，根据目标式，结合基本不等式“1”的代换求最小值即可.
【详解】由题设知，可得，
∴，
当且仅当时，即时，等号成立，的最小值为.
故答案为：.
5．（25-26高三·广东惠州·月考）直线经过两点，，将绕其与轴的交点逆时针旋转得到直线，则的斜率为（ ）
A．B．3C．-3D．
【答案】C
【分析】计算出的斜率，利用倾斜角的定义，建立起的倾斜角与的倾斜角的关系，可得答案.
【详解】直线的斜率，逆时针旋转后，则直线的倾斜角为，
直线的斜率.
故选：C.
6．（25-26高三上·河北保定·期中）如图，设直线，，，的斜率分别为，，，，则下列选项中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据题意得到，即可得到答案.
【详解】由题知：，所以.
故选：C
题型二：三点共线问题
1．（2025春•秦都区校级期中）已知，，，且，，三点共线，则 ．
【分析】利用平面向量的共线性质建立方程，求解参数即可．
【解答】解：，，，
则，，
因为，，三点共线，所以，解得．
故答案为：2．
2.（25-26高三上·河南周口·月考）已知，平面内三点共线，则 ．
【答案】
【分析】由求解即可.
【详解】解：因为三点共线，
所以，
又因为，
所以，
整理得：，
即，
又因为，
解得.
故答案为：
3．（2025高三上·江苏·专题练习）若三点，， (其中)共线，则 .
【答案】
【分析】依题意可得，利用斜率公式得到方程，解得即可.
【详解】由于，，三点共线且、，
显然、的斜率存在，则，
所以，所以，所以.
故答案为：
4．（2025秋•杨浦区校级期中）若、、三点不能构成三角形，则 ．
【分析】由题意可知点在直线上时，三点构不成三角形，求出直线的方程，将点的坐标，可得的值．
【解答】解：、、三点构不成三角形，则点在直线上，
直线的斜率为：，
设直线的方程为，将点的坐标代入直线的方程可得．
故答案为：0．
题型三：过定点的直线与线段的相交问题
1．（2025高三·全国·专题练习）已知点，，若过的直线与线段相交，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．或D．
【答案】D
【详解】解析 过的直线与线段相交，如图所示：
可得，即，即．故选D．
2．（25-26高三上·贵州铜仁·月考）过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有交点，则直线的斜率的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】求出直线的斜率，再数形结合分析即可得解.
【详解】由题得，，
因为直线与连接，两点的线段总有交点，
结合图象可知，.
故选：A.
3．（2025高三·全国·专题练习）设，若点在线段上，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】将问题转化为过点的直线与线段有交点时，直线的斜率的取值范围，即可由两点斜率公式求解.
【详解】直线的倾斜角与斜率 如图，，则原问题可转化为过点的直线与线段有交点时，直线的斜率的取值范围．
连接，则，
当的倾斜角是锐角时，，随着倾斜角的增大，斜率由增大至正无穷；
当的倾斜角是钝角时，，随着倾斜角的增大，斜率由负无穷增大至．所以3或．
故答案为：
考点02 直线方程的五种形式
知识点一：直线的五种方程形式
知识点二：各种方程形式的要求
1．点斜式方程是由直线上一点和斜率确定的，点斜式的前提是直线的斜率存在．点斜式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线；
2.斜截式的几种特例
3．斜截式的前提是直线的斜率存在．斜截式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线．
4．斜截式是点斜式的特殊情况，在方程中，是直线的斜率，是直线在轴上的截距．
5．在应用两点式求直线方程时，往往把分式形式通过交叉相乘转化为整式形式，从而得到的方程中，包含了或的情况，但此转化过程不是一个等价的转化过程，不能因此忽略由、和、是否相等引起的讨论．要避免讨论，可直接假设两点式的整式形式．
6.截距的概念
①横截距：直线与轴交点的横坐标。在直线方程中，令，解出的值即可；
②纵截距：直线与轴交点的横坐标。在直线方程中，令，解出的值即可。
7.截距式方程应用的注意事项
①问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑截距式方程，用待定系数法确定其系数即可；
②选用截距式方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直；
8.一般式方程中系数的几何意义：
当时，（斜率），（轴上的截距）
当时，则（轴上的截距），此时斜率不存在。
题型一：求直线方程
1．（25-26高三上·上海徐汇·月考）直线l的倾斜角为，且，若l过点，则直线l的方程为 ．
【答案】或.
【分析】根据给定条件，求出直线l的斜率，再利用直线的点斜式方程求解即得.
【详解】由于直线l的倾斜角为，且，得，则，
因此直线l的斜率，又l过点，直线方程为或，
即或.
故答案为：或.
2．（2026·四川绵阳·二模）直线过定点，且以为其方向向量，则直线的方程为 .
【答案】
【分析】根据直线的方向向量求斜率，再根据直线的点斜式方程得直线方程.
【详解】因为直线的方向向量为，所以直线的斜率为，
又直线过点，所以直线的点斜式方程为：，
化简得：.
故答案为：
3．（25-26高三上·河北邢台·期中）已知直线的倾斜角为，且过点，则直线的一般式方程为 ．
【答案】
【分析】由倾斜角得到斜率，再结合点斜式即可求解.
【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率．
因为直线过点，所以直线的点斜式方程为，
化为一般式，得．
故答案为：
4．（2025·上海金山·一模）已知的三个顶点，则边上的高所在的直线方程为 ．
【答案】
【分析】根据斜率公式，先求出直线AC的斜率，根据两直线垂直，斜率的关系，可得边上的高的斜率，代入点斜式方程，化简整理，即可得答案.
【详解】由题意直线AC的斜率，
所以边上的高的斜率，
所以边上的高所在的直线方程为，即.
故答案为：
5．（2026高三·全国·专题练习）已知△ABC的三个顶点，，，则经过两边和的中点的直线方程为 ．
【答案】
【分析】先求出，的中点D，E坐标，再求出斜率，由点斜式即可得其方程.
【详解】由题意，中点，中点，
则，
直线：，
即.
故答案为：.
6．（2026高三·全国·专题练习）过点，且在两坐标轴上的截距之和为2的直线方程为 ．
【答案】
【知识点】直线截距式方程及辨析、直线的一般式方程及辨析
【分析】根据题意求出直线在轴上的截距，再利用截距式即可写出答案.
【详解】因为直线在轴上的截距为5，则在轴上的截距为.
则直线为，即.
故答案为：
题型二：直线与坐标轴围成的三角形面积问题
1．（2025高三·全国·专题练习）曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ）
A．B．1C．D．
【答案】A
【分析】首先利用导数求解曲线的切线方程，并求解出切线与坐标轴的交点坐标，最后再根据面积公式进行求解即可.
【详解】已知，得：，所以，又，
所以曲线在点处的切线方程为，整理得.
直线与轴交于点，与轴交于点，
因此所求三角形的面积为.
故选：A
2．（2017·全国·高考真题）过点且斜率小于0的直线与轴，轴围成的封闭图形面积的最小值为（ ）
A．2B．C．4D．
【答案】C
【知识点】直线的斜截式方程及辨析、直线围成图形的面积问题、基本不等式求和的最小值
【分析】设直线为，代入得，表示出所围成封闭图形面积为，进而结合基本不等式求解即可.
【详解】设直线为，代入得，
即，，
设直线与x轴交点，与y轴交点，
则所围成封闭图形面积为
，
当且仅当，即时等号成立，
所以所围成封闭图形面积的最小值为4.
故选：C.
3．（25-26高三上·江苏南通·期末）已知点，直线
（1）若l与线段有交点，直接写出m的取值范围；
（2）若，设l与直线及x轴分别交于两点，求面积的最小值.
【答案】（1）或；（2）4
【分析】（1）首先通过联立直线方程求出交点坐标，然后根据交点在线段上这一条件得到关于的不等式，通过对不等式进行变形求解得出的取值范围.
（2）通过联立直线方程求出交点坐标，进而确定三角形相关顶点坐标，得出三角形面积表达式.再通过换元法将面积表达式转化为关于新变量的式子，利用二次函数性质求最值
【详解】（1）因为直线，联立
所以交点，
因为C在线段AB上，所以，
即，解得
所以或
（2）因为直线，联立
所以交点；
令中，则，所以，
因为，所以C在第一象限且在右侧，D在左侧，
所以的面积为，
设，
所以，
所以当即时，S的最小值为4.
考点03 直线的位置关系
知识点一：两条直线的位置关系
直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(其中l1与l3是同一条直线，l2与l4是同一条直线)的位置关系如下表：
知识点二：直线系方程
1.与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．
2.与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．
3.过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.
题型一：两直线的位置关系
1．（25-26高三上·河北邢台·月考）已知直线，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由两直线平行求得参数,结合充分必要条件可得.
【详解】，且，解得或．
由可得；而还可能得，
由此可知：“”是“”的充分不必要条件.
故选：A．
2．（25-26高三上·辽宁葫芦岛·月考）若直线平行于直线，且垂直于直线，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据条件设，再利用得，即可求解.
【详解】依题意可设，又垂直于直线，
则，解得，
故选：D.
3．（25-26高三·全国·假期作业）已知直线；，：，设甲：；乙：，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】由直线垂直得到，求得，再结合充分条件、必要条件的概念即可判断.
【详解】，解得或1，
故甲不能推出乙，乙能推出甲，
故甲是乙的必要不充分条件．
故选：B
4．（25-26高三上·云南曲靖·月考）若直线：与：互相垂直，则（ ）
A．0B．2C．D．
【答案】C
【分析】根据两直线垂直，斜率之间的关系列出等式求解即可.
【详解】直线的斜率.当时，直线的斜率不存在，不满足.
当时，直线的斜率.
由，得，即，解得.
故选：C
5．（25-26高三上·宁夏银川·月考）已知函数的图象在处的切线与直线垂直，则 .
【答案】
【分析】根据导数的几何意义，结合两条直线垂直的条件即可求出答案.
【详解】对求导得，所以，
因为函数的图象在处的切线与直线垂直且直线斜率为，
所以，解得.
故答案为：.
题型二：平行与垂直的直线系方程的应用
1．（25-26高三上·福建福州·期末）经过点，且与直线平行的直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】设出与已知直线平行的直线方程，代入点A坐标，即可求得答案.
【详解】设与直线平行的直线方程为，
因为点在直线上，所以，
解得，所以所求直线的方程为：.
故选：B.
2．（25-26河南驻马店·月考）经过点且与直线垂直的直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【知识点】已知直线垂直求参数、由两条直线垂直求方程
【分析】利用直线垂直的性质设出直线方程，再代入点求解参数即可.
【详解】设与直线垂直的直线方程为，
将点代入，可得，解得，
可得所求直线方程为，故B正确.
故选：B.
3．（25-26高三上·广东江门·期中）过定点且与直线平行的直线方程为 ．
【答案】
【分析】根据平行直线系的性质即可求解.
【详解】设与直线平行的直线方程为，
将代入可得，解得，
故所求直线方程为，
故答案为：
4．（25-26高二上·天津·月考）求满足下列条件的直线的方程：
(1)经过两条直线和的交点，且平行于直线；
(2)垂直于直线，且到点的距离为1.
【答案】(1)
(2)或.
【分析】（1）首先求两条直线的交点坐标，再根据平行关系设出直线，利用待定系数法，即可求解；
（2）首先根据两直线垂直，设出直线方程，再代入点到直线的距离公式，即可求解.
【详解】（1）联立，得，
设平行于直线的直线方程为，代入点，
得，得，
所以满足条件的直线方程为；
（2）设垂直于直线的直线方程为，
点到直线的距离，解得或，
所以满足条件的直线方程为或.
题型三：两直线的交点问题
1．（2025高三上·江苏宿迁·期末）已知直线l过直线与直线的交点，且与直线平行，则直线l的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先求出直线的交点，再设直线的平行直线，最后代入交点求参.
【详解】联立，可得，所以与的交点为，
又因为与直线平行，所以设直线为，
代入得，所以，
所以直线的方程为，满足题设.
故选：A
2．（25-26高三上·江苏苏州·期中）直线与直线及直线相交于同一点，且为的一个方向向量，则在轴上的截距为（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】A
【分析】根据题意可得交点，再由方向向量可得直线斜率，接着求出直线方程即可．
【详解】联立方程，直线过点，
又为直线的一个方向向量，则直线斜率为1，
直线，当，，即在轴上的截距为．
故选：A
3．（2026高三·全国·专题练习）若三条直线相交于一点，则m的值为 .
【答案】
【分析】先由求得交点坐标，代入即可求解.
【详解】由，解得
所以，点满足方程，
即.
所以.
故答案为：
4．（2025高三·全国·专题练习）直线过两直线和的交点，且与直线平行，则直线的方程是 ．
【答案】
【分析】根据直线系方程的性质，两直线平行的关系求解.
【详解】设过两直线和的交点的直线系方程为，
即．
由于与平行，所以，解得．
当时，直线的方程是，故符合题意.
故答案为：
题型四：两直线的夹角问题
1．（2025高三·上海·专题练习）直线与的夹角为 .
【答案】
【知识点】两条直线的到（夹）角公式
【分析】先得到和的斜率，再结合两条直线的夹角公式即可求解.
【详解】由得，则该直线的斜率，
又由得，则该直线的斜率，
设与的夹角为（），
则，则，.
所以与的夹角为.
故答案为：
2．（25-26高三上·上海浦东新·月考）直线与直线的夹角大小为 .
【答案】/
【知识点】直线的倾斜角、两条直线的到（夹）角公式
【分析】先求出直线的斜率，可得它们的倾斜角，从而求出两条直线的夹角.
【详解】因为直线的斜率为，倾斜角为，
直线的斜率为，倾斜角为，
故直线与直线的夹角大小为.
故答案为：.
3．（2025高三上·上海）若直线过点且与直线，的夹角相等，则直线的方程是 ．
【答案】或
【知识点】两条直线的到（夹）角公式、直线的点斜式方程及辨析
【分析】设直线斜率为，依题意可得，求出的值，再由点斜式写出直线方程即可.
【详解】直线的斜率，直线的斜率，
依题意直线的斜率存在，设斜率为，
所以，整理得，可得或，
又直线过点，则或，
整理得或.
故答案为：或
4．（25-26上海·月考）如果直线与的斜率分别是一元二次方程的两个根，那么两直线的夹角为 .
【答案】/60°
【知识点】两条直线的到（夹）角公式
【分析】设出两直线的斜率，由一元二次方程根与系数关系得到两直线斜率的和与积，代入夹角公式求得与的夹角．
【详解】设直线与的斜率分别为， ，与夹角为.
∵直线的斜率分别为二次方程的两个根
且
∴，
∴
∵
∴，
故答案为：.
题型五：直线过定点问题
1．（2026高三·全国·专题练习）直线过定点 ，倾斜角的最小值是 .
【答案】
【分析】将直线化为，列方程组求解可得第一空答案；根据直线斜率的取值范围可得第二空答案.
【详解】直线可以化为，
则，所以直线过定点.
直线可化为，
.
即直线的斜率满足，
设直线的倾斜角，
则，从而，
则倾斜角的最小值是.
故答案为：，.
2．（25-26高三上·重庆·月考）若，，若直线与线段AB有公共点，则实参数m的取值范围为 ．
【答案】
【分析】确定线段端点与直线的位置关系，先代入端点计算，再解不等式即可.
【详解】将 代入直线方程：
，
将 代入直线方程：
，
因为直线 与线段 有公共点，
所以，所以解集为 ，
即实数 的取值范围为 ，
故答案为：.
3．（2025秋•郯城县校级期中）已知直线经过定点，直线经过点，且的方向向量，则直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【分析】先求出，设上一点为，其中与不重合，根据的方向向量，求出，进而利用两点式，求出直线方程．
【解答】解：对化简得，，得，解得，点，
又直线经过点，且的方向向量，可设上一点为，其中与不重合，
则，解得，故利用两点式，可得的直线方程为：．
故选：．
4．（2025秋•天津校级期中）已知直线的方程是，则对任意的实数，直线一定经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】首先求直线所过定点，再判断选项即可．
【解答】解：，
，得，定点在第一象限，则直线一定经过第一象限．
故选：．
5．（2025秋•河北区期中）已知直线，直线，则下列结论错误的是（ ）
A．在轴上的截距为B．过定点
C．若，则或D．若，则
【分析】由直线的方程得横截距可判断；把方程作为参数的恒等式求解得定点坐标可判断；根据直线垂直或平行的条件求得参数值可判断．
【解答】解：已知直线，直线，
对于，令时，，则在轴上的截距为，故正确；
对于，直线，当时，所以直线恒过，故正确；
对于，若，则且，故，故错误；
对于，等价于，解得，故正确．
故选：．
6．（2025秋•罗平县校级月考）已知直线恒过定点，点也在直线上，其中，均为正数，则的最小值为 ．
【分析】先把直线方程分离参数，再令参数系数等于零，求得、的值，可得它所经过的定点坐标，从而得到，再利用基本不等式求得的最小值．
【解答】解：直线，即，令，求得，，
可得它的图象恒过定点．
点也在直线上，其中，均为正数，，即．
则，当且仅当时，等号成立，
的最小值为8，
故答案为：8．
考点04 距离问题
知识点：三种距离公式
（1）两点间的距离公式
①条件：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．
②结论：|P1P2|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12).
③特例：点P(x，y)到原点O(0,0)的距离|OP|＝eq \r(x2＋y2).
（2）点到直线的距离
点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).
（3）两条平行直线间的距离
两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).
题型一：点到点的距离
1．（25-26高三上·江苏南通·期中）（多选）设，点，，若，则直线AB的斜率可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】由两点间距离公式、斜率公式即可求解.
【详解】设，点，，若，所以，
所以直线AB的斜率可能为或.
故选：AD.
2．（25-26北京延庆·期中）已知平行四边形的三个顶点，，，而且，，，按逆时针方向排列，则线段的长度为 ，点的坐标为 ．
【答案】
【知识点】求平面两点间的距离、向量坐标的线性运算解决几何问题、平面向量线性运算的坐标表示
【分析】利用平行四边形的性质和三个点的坐标即可得出线段的长度，结合向量即可求得点的坐标.
【详解】由题意，在平行四边形中，,,，
所以，，
所以，即，
故答案为：；.
3．（25-26高三上·江西抚州·期末）已知直线与直线（）交于点，点是圆上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先用表示点坐标，再根据求的最小值.
【详解】圆C的标准方程为，所以，．
由得，所以．
（当且仅当即时取等号）.
故选：B
4．（25-26高三上·广东佛山·月考），及是直角坐标平面上的三点．设及分别是的垂心及外心．求的长度．（ ）
A．11B．21C．22D．33
【答案】D
【分析】利用外心和垂心的性质求出点的坐标，进而得到线段长度即可.
【详解】由中点坐标公式得的中点为，的中点为，
则由题意得的中垂线为，而由斜率公式得的斜率为，
可得垂直平分线的方程为，
联立方程组，解得，，故，
由题意得边上的高为，边上的高的斜率为，
则高的方程为，
联立方程组，解得，，故，
可得，故D正确.
故选：D
题型二：点到线的距离
1．（2025秋•芜湖期中）（多选）对于直线，下列选项正确的是
A．直线恒过点
B．当时，直线与轴上的截距为3
C．若直线不经过第二象限，则
D．坐标原点到直线的距离的最大值为
【分析】由直线的方程，结合点到直线的距离公式求解．
【解答】解：已知直线，
则，
由，
可得，
所以直线恒过点，
故正确；
当时，直线在，轴上的截距分别为3，，
故不正确；
当时，直线的方程为，
直线不经过第二象限，
故不正确；
因为直线过定点，
所以坐标原点到直线的距离的最大值为．
故正确．
故选：．
2．（2026高三上·安徽合肥·专题练习）已知的三个顶点分别为，，，则的面积为
【答案】.
【知识点】求平面两点间的距离、求点到直线的距离
【分析】根据点到直线距离公式、两点间距离公式、三角形面积公式进行求解即可.
【详解】直线AB的方程为，即，
顶点C到直线AB的距离为，
又，
∴的面积.
故答案为：
3．（25-26高三上·天津·月考）求满足下列条件的直线的方程：
（1）经过两条直线和的交点，且平行于直线；
（2）垂直于直线，且到点的距离为1.
【答案】（1）；（2）或.
【分析】（1）首先求两条直线的交点坐标，再根据平行关系设出直线，利用待定系数法，即可求解；
（2）首先根据两直线垂直，设出直线方程，再代入点到直线的距离公式，即可求解.
【详解】（1）联立，得，
设平行于直线的直线方程为，代入点，
得，得，
所以满足条件的直线方程为；
（2）设垂直于直线的直线方程为，
点到直线的距离，解得或，
所以满足条件的直线方程为或.
题型三：平行线间距离
1．（2026·吉林白山·一模）直线与直线之间的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据两平行线间的距离公式即可求解.
【详解】将变形为，
故两直线的距离为，
故选：B
2.（25高三上·安徽·期末）若两平行直线与之间的距离是，则（ ）
A．B．C．12D．14
【答案】C
【分析】根据直线平行求出，再利用平行线距离公式即可求出，即可求解.
【详解】因为直线与平行，
所以，即，
因为直线与直线的距离为，
所以，即，解得或（舍去），
故．
故选：C.
3．（25-26高三上·河北·期中）已知，且.若直线与直线平行，且两直线间的距离为，则的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【分析】先根据直线平行计算求参，再应用平行线间距离公式计算求解.
【详解】因为直线与直线平行，所以，且，所以，
所以直线与直线平行，
两直线间的距离为，且，
所以，所以.
故选：C.
考点05 对称性问题
知识点一：点关于点的对称
（1）实质：该点是两对称点连线段的中点
（2）方法：利用中点坐标公式
平面内点关于对称点坐标为，
平面内点，关于点对称
知识点二：直线关于点的对称
（1）实质：两直线平行
（2）①转化为“点关于点”的对称问题（在上找两个特殊点（通常取直线与坐标轴的交点），求出各自关于对称的点，然后求出直线方程）。
②利用平行性质解（求一个对称点，且斜率相等或设平行直线系，利用点到直线距离相等）。
知识点三：点关于直线的对称
（1）实质：轴（直线）是对称点连线段的中垂线
（2）①当直线斜率存在时：方法：利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，一般地：设点关于直线的对称点，则
(直线是线段的垂直平分线，则，的中点在直线上)
②当直线斜率不存在时：点关于的对称点为。
知识点四：直线关于直线的对称
（1）当与相交时：此问题可转化为“点关于直线”的对称问题；
求直线，关于直线（两直线不平行）的对称直线
第一步：联立算出交点
第二步：在上任找一点（非交点），求出关于直线对称的点
第三步：利用两点式写出方程
（2）当与平行时：对称直线与已知直线平行。
两条对称直线到已知直线的距离相等，利用平行线间距离公式建立方程即可解得。

题型一：关于点的对称
1．（2025高三·全国·专题练习）与直线关于坐标原点对称的直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设出所求对称直线上的点的坐标，求出关于原点的对称点坐标，代入已知直线方程，即可.
【详解】设直线上一点关于坐标原点对称的点为，
则，，解得，，
代入，得，
即所求直线的方程为．
故选：D．
2．（2025高三·天津·专题练习）已知直线与直线关于点对称，则实数的值为 .
【答案】2
【分析】根据直线关于点对称即可得两直线平行，进而根据点的对称代入求解即可.
【详解】由于直线与直线关于点对称，
所以两直线平行，故，则，
由于点在直线上，关于点的对称点为，
故在上，代入可得，.
故答案为：.
3.（2025高三·全国·专题练习）已知直线，点.求:
(1)点A关于直线l的对称点的坐标;
(2)直线关于直线l的对称直线m'的方程;
(3)直线l关于点对称的直线l'的方程.
【答案】(1).；(2)；(3)
【知识点】光线反射问题(2)——直线关于直线对称、直线两点式方程及辨析、求点关于直线的对称点、求直线交点坐标
【分析】（1）根据中点和斜率列方程组来求得对称点的坐标.
（2）在直线上取一点，并求其关于直线的对称点，然后结合直线与直线的交点来求得对称直线的方程.
（3）利用相关点代入法来求得对称直线的方程.
【详解】（1）设，由已知条件得，解得所以.
（2）在直线m上取一点，则关于直线l的对称点M'必在直线m'上.设对称点，
则解得故.
设直线m与直线l的交点为N，则由解得即.
又因为m'经过点，所以由两点式得直线m'的方程为.
（3）设为上任意一点，
则关于点的对称点为，
因为在直线上，所以，即.
题型二：关于线的对称
1．（2025高三·全国·专题练习）已知点与关于轴对称，点与点关于轴对称，点与点关于直线对称，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】求点关于直线的对称点
【详解】解析 ，，则．故选B．
2．（2025高三·全国·专题练习）已知:.则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】求平面两点间的距离、定点到圆上点的最值（范围）、用两点间的距离公式求函数最值
【分析】原式表示直线上的动点到定点的距离之和，求出点A关于直线对称的点，结合两点距离公式计算即可求解.
【详解】设，
表示直线上的动点到定点的距离之和，
如图，

设点A关于直线对称的点为，
则，解得，
所以.
故答案为：
3．（25-26高三上·湖南长沙·月考）在平面直角坐标系xOy 中，已知点，P 为直线上一动点，则的最小值是（ ）
A．B．C．2D．4
【答案】D
【知识点】将军饮马问题求最值、求点关于直线的对称点
【分析】求出点关于直线的对称点，利用轴对称性质及两点间线段最短求出最小值.
【详解】设点关于直线的对称点，
则，解得，即点，
因此，当且仅当为线段与直线的交点时取等号，
所以的最小值是4.
故选：D
4.（25-26高三上·河北石家庄·月考）已知直线：与直线：交于点M，点M关于直线对称的点为，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】解方程组求出点的坐标，可得 ，，分、、讨论，代入利用基本不等式求最值可得答案.
【详解】由，解得，可得，
所以，即，，
当时，，，则无意义；
当时，，
当且仅当即时等号成立；
当时，，
当且仅当即时等号成立；
综上，的取值范围是.
故答案为：
5．（25-26高三上·云南怒江·期中）光线从点出发，经过直线反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【知识点】光线反射问题(2)——直线关于直线对称、求点关于直线的对称点
【分析】求出点关于直线的对称点，然后结合点可得直线方程.
【详解】设点关于直线的对称点为，则，
解得，即点，故所求直线的斜率为，
所以，所求直线的方程为，即.
故选：B
考点06 圆的方程
知识点一：圆的定义和圆的方程
知识点二：点与圆的位置关系
平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：
(1)|MC|>r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔M在圆外；
(2)|MC|＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上；
(3)|MC|