2026届高三数学二轮复习讲义：专题突破　专题六　第三讲　导数与单调性、极值和最值（含解析）

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1.(2023·新课标Ⅱ卷，T6)已知函数f(x)=aex-ln x在区间(1，2)上单调递增，则a的最小值为( )
A.e2B.eC.e-1D.e-2
2.(2022·全国乙卷，文T11)函数f(x)=cs x+(x+1)sin x+1在区间[0，2π]的最小值、最大值分别为( )
A.-π2，π2B.-3π2，π2C.-π2，π2+2D.-3π2，π2+2
3.(多选)(2025·全国Ⅱ卷，T10)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=(x2-3)ex+2，则( )
A.f(0)=0B.当x0，
所以g(x)在(1，2)上单调递增，
g(x)>g(1)=e，故e≥1a，
即a≥1e=e-1，即a的最小值为e-1.
2.答案 D
解析 f(x)=cs x+(x+1)sin x+1，x∈[0，2π]，则f'(x)=-sin x+sin x+(x+1)·cs x=(x+1)cs x，x∈[0，2π].
令f'(x)=0，解得x=-1(舍去)，x=π2或x=3π2.
因为f π2=cs π2+π2+1sin π2+1
=2+π2，
f 3π2=cs 3π2+3π2+1sin 3π2+1=-3π2，
又f(0)=cs 0+(0+1)sin 0+1=2，
f(2π)=cs 2π+(2π+1)sin 2π+1=2，
所以f(x)max=f π2=2+π2，
f(x)min=f 3π2=-3π2.故选D.
3.答案 ABD
解析 对于A，因为f(x)是定义在R上的奇函数，则f(0)=0，故A正确；
对于B，当x0，则f(x)=-f(-x)=-{[(-x)2-3]e-x+2}=-(x2-3)e-x-2，故B正确；
对于C，f(-1)=-(1-3)e-2=2(e-1)>2，故C错误；
对于D，当x0对任意x∈R恒成立，
可知f(x)在R上单调递增，
无极值，不符合题意；
若a>0，令f'(x)>0，解得x>ln a，
令f'(x)0，
令f'(x)>0，解得x>ln a；
令f'(x)0等价于g(a)>g(1)，
解得a>1，
所以a的取值范围为(1，+∞).
考点一 利用导数研究函数的单调性
考向1 利用导数求函数的单调区间
例1 已知函数f(x)=(x-2)ex+a2x2-ax，讨论函数f(x)的单调性.
解 由题意得函数f(x)的定义域为R，
f'(x)=(x-1)ex+a(x-1)=(x-1)(ex+a).
①当a≥0时，
若x∈(-∞，1)，则f'(x)0，
所以f(x)在(-∞，ln(-a))，(1，+∞)上单调递增；
若x∈(ln(-a)，1)，则f'(x)0，
所以f(x)在(-∞，1)，(ln(-a)，+∞)上单调递增；
若x∈(1，ln(-a))，则f'(x)0，此时x-a≥0对x∈R不恒成立，不满足题意；
当b>0时，等价于(x-a)(x-ln b)≥0对x∈R恒成立，则a=ln b.
(2)(2025·张掖模拟)已知a=9eln 2，b=18，c=4eln 3，则a，b，c的大小关系为( )
A.b>a>cB.a>c>b
C.a>b>cD.b>c>a
答案 A
解析 令f(x)=lnxx，x∈(1，e)，
则f'(x)=1-lnxx2>0对任意的x∈(1，e)恒成立，
所以函数f(x)在(1，e)上单调递增，
所以f(e)>f(2)>f(1)=0，
即1e>ln22>0，故2>eln 2>0，
所以9eln 2c，因此b>a>c.
考点二 利用导数研究函数的极值
例3 (2025·郑州模拟)已知函数f(x)=xln(ax)(a≠0).
(1)若直线y=-1e与曲线y=f(x)相切，求a的值；
(2)若f(x)有极大值，且极大值大于1，求a的取值范围.
解 (1)设直线y=-1e与曲线y=f(x)的切点为x0，-1e，则x0ln(ax0)=-1e.①
f'(x)=ln(ax)+1，则ln(ax0)+1=0.②
由①②解得x0=1e，a=1.
(2)当a>0时，f(x)的定义域为(0，+∞)，f'(x)=ln(ax)+1是增函数.
令ln(ax)+1=0，解得x=1ae.
当x∈0，1ae时，f'(x)0，
当x∈1ae，0时，f'(x)1，解得-1e0，
令f'(x)=0，得x=1，
所以当x∈(0，1)时，f'(x)0，
所以f(x)在x=1-a处取得极小值f(1-a)=e1-a=e，所以1-a=12，得a=12.
3.若函数f(x)=alnx+1x-2的单调递减区间为(1，+∞)，则a等于( )
A.1eB.1C.eD.e2
答案 B
解析 f'(x)=a-(alnx+1)x2=a-1-alnxx2，
因为f(x)的单调递减区间为(1，+∞)，而f(x)的定义域为(0，+∞)，
所以f(x)的一个极值点为1，
所以f'(1)=a-112=0，解得a=1.
所以f(x)=lnx+1x-2，f'(x)=-lnxx2，
令f'(x)0的解集为( )
A.(-∞，0)∪(1，3)B.(1，3)
C.(0，1)∪(3，+∞)D.(-∞，0)∪(3，+∞)
答案 C
解析 由函数f(x)的图象可知，
当x∈(-∞，0)∪(3，+∞)时，f(x)0；
又由图可知，当x∈(-∞，1)时，函数f(x)单调递增，则f'(x)>0；
当x∈(1，+∞)时，函数f(x)单调递减，则f'(x)0，h(a)单调递增；
当a>1时，h'(a)0)，
g'(a)=-1a·a-(-1-lna)a2=lnaa2，
令g'(a)0，则f(x)=xx=eln xx=exln x，x∈(0，+∞)，
令g(x)=xln x，x>0，则g'(x)=1+ln x，
令g'(x)=0，解得x=1e，
当00，g(x)在1e，+∞上单调递增；
显然f(x)由函数y=eu与u=g(x)复合而成，而y=eu在R上单调递增；
故f(x)在0，1e上单调递减，在1e，+∞上单调递增；
所以f(x)在x=1e处取得极小值f 1e=e-1e=1e1e，且无极大值，
又f(x)min=f 1e=e-1e>e-1=1e，
故不存在实数a∈(0，+∞)，使得f(a)=1e.
故A，B，C错误，D正确.
14.(2025·武汉模拟)罗尔中值定理是微分学中的一个重要定理，与拉格朗日中值定理和柯西中值定理一起并称微分学三大中值定理.罗尔中值定理：若定义域为R的函数f(x)的导函数记为f'(x)，且函数f(x)满足条件①在闭区间[a，b]上连续；②在开区间(a，b)内可导；③f(a)=f(b).那么至少存在一个ξ∈(a，b)使得f'(ξ)=0.已知函数f(x)=ex-ax2-(e-a-1)x-1，a∈R在区间(0，1)内有零点，其中，e=2.718…是自然对数的底数，则实数a的取值范围为( )
A.12，1B.12，e2
C.12，e-2D.(e-2，1)
答案 D
解析 依题意设f(x)在区间(0，1)内的零点为x1，则有f(x1)=f(0)=0，
由罗尔中值定理可知，存在x2∈(0，x1)，使f'(x2)=0，
同理，由f(x1)=f(1)=0及罗尔中值定理可知，存在x3∈(x1，1)，使f'(x3)=0，
故f'(x)=0在(0，1)上至少有两个不等实根，
令g(x)=f'(x)=ex-2ax-(e-a-1)，
则g'(x)=ex-2a，显然g'(x)=ex-2a在(0，1)上单调递增，
当a≤12，x∈(0，1)时，g'(x)>0，此时g(x)在(0，1)上单调递增，
故f'(x)=0在(0，1)上至多只有一个实根；
同理可知，当a≥e2，x∈(0，1)时，g'(x)