2026年广东省初中学业水平考试（数学）模拟含答案（一）

这是一份2026年广东省初中学业水平考试（数学）模拟含答案（一）试卷主要包含了下列各数中，最小的数是，下列运算正确的是等内容，欢迎下载使用。
1．下列各数中，最小的数是（ ）
A．﹣1B．−12C．0D．1
2．不透明盒子中有6张卡片，除所标注文字可能不同外无其他差别．其中，写有“马”的卡片有3张，写有“到”的卡片有1张，写有“成”的卡片有1张，写有“功”的卡片有1张．随机摸出一张写有“马”的卡片的概率为（ ）
A．15B．14C．13D．12
3．下列是某校数学社团成员用AI软件设计的四幅图案，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
4．习近平总书记在2026年新年贺词中提到，中国2025年全年经济总量预计到达1400000亿元人民币，数字1400000用科学记数法可表示为（ ）
A．0.14×108B．1.4×107C．1.4×106D．14×105
5．下列运算正确的是（ ）
A．2+8=10B．12−3=3C．2×22=4D．6÷3=2
6．如图，在△ABC中，AD⊥BC，那么AD是高的三角形共有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
7．某中学在“全民阅读活动”中，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆250人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆910人次．若进馆人次的月平均增长率x相同，可列方程为（ ）
A．250+250（1+x）+250（1+x）2＝910
B．250（1+x）2＝910
C．250（1+x2）＝910
D．250+250（1+x）+250（1+x2）＝910
8．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转40°得到△ADE，点B的对应点D恰好落在边BC上，则∠B为（ ）
A．75°B．55°C．40°D．70°
9．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝6，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交BC于点M，交AB的延长线于点N，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．6π−923B．6π−93C．6πD．2π
10．如图，一束太阳光从天花板和落地窗交界处的点P射入，经过地板MN反射到天花板上形成光斑．中午和下午某时刻光线与地板的夹角分别为α，β．已知天花板与地面是平行的，且它们之间的距离为3m，当α＝45°，β＝30°时，光斑移动的距离AB为（ ）
A．3mB．(63−6)mC．(33−3)mD．6m
二．填空题:本大题共5小题，每小题3分，共15分.
11．把多项式2ax2﹣2a分解因式的结果是 ．
12．计算：(13)−1−2cs30°+|−3|−(4−π)0= ．
13．如图：矩形ABCD的对角线AC＝10，BC＝8，则图中五个小矩形的周长之和为 ．
14．已知关于x的一元二次方程x2+（m+n）x+mn＝0，其中m、n在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，A（m，3a）、B（n，2a）为反比例函数y=kx(k＞0)图象上两点，AH⊥x轴于点H，BG⊥x轴于点G，连接OB交AH于点C，连接BH，若△CBH的面积为23，则k＝ ．
三．解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分.
16．下面是某同学解不等式1−5x+46＞x−22的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
根据以上材料，解答下列问题：
（1）去分母的依据是不等式基本性质 ；（填“1”或“2”或“3”）
（2）在解答过程中，共出现 处错误，其中最后一处错误在第 步，错误的原因是 ；
（3）请写出解不等式1−5x+46＞x−22的正确解答过程．
17．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的三个顶点均在格点上，请用无刻度直尺按下列要求画图．（保留作图痕迹，体现作图过程）
（1）在图1中，画出△ABC的中线BE；
（2）在图2中，确定线段BC上一点F，使得∠FAC＝∠ABC，直接写出线段AF的长．
18．材料阅读：
问题解答：
如图，矩形ABCD为某种玻璃、一束光线从点P射向玻璃上的点O，折射后照到玻璃底部的点Q．测得∠NOQ＝30°，NQ＝10cm，若P，O，C三点在同一条直线上，请依据相关材料回答以下问题：
（1）求∠POM的大小；
（2）求CQ的长．
四．解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分.
19．学校科技节中，“编程挑战赛”引来众多编程爱好者参与，比赛分初赛和决赛，初赛成绩优秀的选手进入决赛．统计小组从八年级和九年级参与“编程挑战赛”初赛的选手中各随机选出20名选手的比赛成绩进行分析，并将选手成绩分为A、B、C、D四个等级（单位：分），分别是：
A．x＜70B.70≤x＜80C.80≤x＜90D.90≤x≤100
下面给出了部分信息：
其中，八年级C等级的成绩为：81，82，83，86，87，88，89
九年级选手的成绩为：
66，75，76，78，79，81，82，83，84，86，86，88，88，88，91，92，94，95，96，96
八年级选手成绩扇形统计图
八、九年级选手成绩平均数、中位数、众数、方差：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ ，b＝ ，m＝ ；
（2）根据以上数据，你认为在此次初赛中，哪个年级选手的成绩更好？说明理由（一条理由即可）；
（3）若初赛时八年级有80名选手参赛，九年级有100名选手参赛，请估计两个年级初赛选手中进入决赛的选手共有多少人？
20．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E为斜边AB的中点，将线段AC平移至ED交BC于点M，连接CD，CE，BD，AD，线段AD交CE于点N，连接MN．
（1）求证：CD＝BE；
（2）求证：四边形BECD是菱形；
（3）若AC＝10，cs∠EDC=513，求MN的长．
21．综合与实践：社区垃圾桶采购最优方案设计
一、问题的背景
为了建设美好家园，提高垃圾分类意识，朝阳社区决定购买A、B两种型号的新型垃圾桶，社区工作人员需要通过数学方法解决单价核算、方案设计和费用优化的问题．
二、材料与任务
材料一：单价信息
社区志愿者调查发现：
1．购买2个A型号的新型垃圾桶和购买3个B型号的新型垃圾桶共370元；
2．购买4个A型号的新型垃圾桶和购买5个B型号的新型垃圾桶共650元．
材料二：采购约束
社区需满足以下采购的要求：
1．A、B两种型号的新型垃圾桶共采购200个；
2．采购总费用不超过14000元；
3．B型号的新型垃圾桶数量不少于A型号的新型垃圾桶数量的23．
请你根据上面提供的材料，帮助社区完成以下的任务．
任务一：计算A、B两种型号的新型垃圾桶的单价；
任务二：提供有多少种购买的方案；
任务三：设计最省钱的方案，并给出最低费用．
五．解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分.
22．我们已经学过完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2，将它适当变形可以解决很多数学问题．
（1）填空：已知a+b＝5，ab＝3，则a2+b2＝ ；
（2）“幻方”起源于中国，是我国古代数学的杰作之一，在数学活动课上，小彬和小华同学探究类似填幻方的数字游戏，将数字1，2，3，4，5，6填入如图所示的“□”中，使每个圆圈上的三个数字之和都相等．
①如图1所示，两个空白“□”中，从左到右依次应填 ， ；每个圆圈上的三个数字之和为 ．
②如图2所示，三个“□”中的数字分别记为：a，b，a+b﹣3，请根据如表的对话内容，求a+b的值．
③在②的结论下，若12+22+32+42+52+62+a2+b2+（a+b﹣3）2＝126，求ab的值．
23．我们不妨约定：如图①，若点D在△ABC的边AB上，且满足∠ACD＝∠B（或∠BCD＝∠A），则称满足这样条件的点为△ABC边AB上的“完美点”．
（1）如图①，若点D是△ABC的边AB的中点，AC=32，AB=6，试判断点D是不是△ABC边AB上的“完美点”，并说明理由；
（2）如图②，在⊙O中，AB为直径，且AB＝5，AC＝4，若点D是△ABC边AB上的“完美点”，求CD的长；
（3）如图③，平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，0），B（2，0），C为y轴正半轴上一点，且满足∠ACB＝45°，D点为过A、B、C三点的抛物线上一点，且横坐标为3，试问在x轴上是否存在一点E，使点A，B，E中的某一点是以其余两点及点C构成的三角形中剩余两点所在边上的“完美点”．若存在，请求出点E的坐标及直线DE的解析式；若不存在，请说明理由．
2026年广东省初中学业水平考试（数学）模拟（一）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
一．选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．下列各数中，最小的数是（ ）
A．﹣1B．−12C．0D．1
【分析】根据正实数大于一切负实数，0大于负实数，两个负数绝对值大的反而小解答即可
【解答】解：∵﹣1＜−12＜0＜1，
∴最小的数为﹣1，
故选：A．
【点评】本题考查的是实数的大小比较，任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
2．不透明盒子中有6张卡片，除所标注文字可能不同外无其他差别．其中，写有“马”的卡片有3张，写有“到”的卡片有1张，写有“成”的卡片有1张，写有“功”的卡片有1张．随机摸出一张写有“马”的卡片的概率为（ ）
A．15B．14C．13D．12
【分析】根据概率公式：随机事件发生的概率＝符合条件的结果数÷所有可能的总结果数，直接代入数据计算即可．
【解答】解：∵不透明盒子中共有6张卡片，其中写有“马”的卡片有3张，
∴概率为 36=12．
故选：D．
【点评】本题考查简单随机事件的概率计算，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
3．下列是某校数学社团成员用AI软件设计的四幅图案，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就是轴对称图形，对四个选项逐一分析，即可解答．
【解答】解：A、两个黑点分别位于右上和左下，找不到一条直线使折叠后两侧完全重合，不是轴对称图形；
B、图形上下、左右的文字/符号都不相同，无法找到对称轴使两侧重合，不是轴对称图形；
C、左侧是π，右侧是无穷大符号∞，二者不同，折叠后无法重合，不是轴对称图形；
D、沿竖直中线（或水平中线）折叠后，直线两侧部分可以完全重合，是轴对称图形，
故选：D．
【点评】本题主要考查了利用轴对称设计图案，掌握其相关知识点是解题的关键．
4．习近平总书记在2026年新年贺词中提到，中国2025年全年经济总量预计到达1400000亿元人民币，数字1400000用科学记数法可表示为（ ）
A．0.14×108B．1.4×107C．1.4×106D．14×105
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：1400000＝1.4×106．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5．下列运算正确的是（ ）
A．2+8=10B．12−3=3C．2×22=4D．6÷3=2
【分析】根据二次根式相关的运算法则逐项判断即可．
【解答】解：2+8=2+22=32，故A错误，不符合题意；
12−3=23−3=3，故B错误，不符合题意；
2×22=4，故C正确，符合题意；
6÷3=2，故D错误，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查二次根式混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关的运算法则．
6．如图，在△ABC中，AD⊥BC，那么AD是高的三角形共有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【分析】由于AD⊥BC于D，找出所有一边在直线CB上且以A为顶点的三角形即可解答．
【解答】解：根据题意可知，AD⊥BC于D，
∴图中有一边在直线CB上，且以A为顶点的三角形有△ABC，△ABE，△ABD，△AED，△AEC，△ADC，共6个，
综上所述，以AD为高的三角形有6个，所以只有选项D正确，符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了三角形的角平分线、中线和高，理解三角形的高定义是解题的关键．
7．某中学在“全民阅读活动”中，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆250人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆910人次．若进馆人次的月平均增长率x相同，可列方程为（ ）
A．250+250（1+x）+250（1+x）2＝910
B．250（1+x）2＝910
C．250（1+x2）＝910
D．250+250（1+x）+250（1+x2）＝910
【分析】第二个月进馆人次为250（1+x），第三个月进馆人次为250（1+x）2，再根据题意列式即可．
【解答】解：由题意得：第二个月进馆人次为250（1+x），第三个月进馆人次为250（1+x）2，
∴250+250（1+x）+250（1+x）2＝910，
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，掌握一元二次方程的应用是解题的关键．
8．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转40°得到△ADE，点B的对应点D恰好落在边BC上，则∠B为（ ）
A．75°B．55°C．40°D．70°
【分析】先根据旋转性质得到AB＝AD和∠BAD＝40°，从而判定△ABD为等腰三角形；再利用等腰三角形“等边对等角”和三角形内角和定理，直接计算出∠B的度数．
【解答】解：由旋转可知：AB＝AD，∠BAD＝40°．
∴△ABD为等腰三角形．
在等腰△ABD中，∠B＝∠ADB．
∴∠B=180°−∠BAD2=180°−40°2=70°，
故选：D．
【点评】考查旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理；核心技巧是利用旋转得到的等线段和旋转角，构造等腰三角形求解；易错点是误将旋转角当作三角形的内角，或忽略等腰三角形两底角相等的性质．
9．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝6，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交BC于点M，交AB的延长线于点N，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．6π−923B．6π−93C．6πD．2π
【分析】连接AM，根据矩形的性质得出∠DAB＝∠ABC＝90°，AD＝BC＝6，解直角三角形得出cs∠BAM=ABAM=36=12，根据勾股定理求出BM=AM2−AB2=62−32=33，得出∠BAM＝60°，根据S阴影＝S扇形CAN﹣S△ABM求出结果即可．
【解答】解：连接AM，如图所示：
由条件可知∠DAB＝∠ABC＝90°，AD＝BC＝6，
∴cs∠BAM=ABAM=36=12，BM=AM2−AB2=62−32=33，
∴∠BAM＝60°，
∴S阴影＝S扇形CAN﹣S△ABM
=60π×62360−12×3×33
=6π−923．
故选：A．
【点评】本题主要考查了矩形的性质，解直角三角形的相关计算，扇形面积计算，勾股定理，解题的关键是熟练掌握扇形面积公式，
10．如图，一束太阳光从天花板和落地窗交界处的点P射入，经过地板MN反射到天花板上形成光斑．中午和下午某时刻光线与地板的夹角分别为α，β．已知天花板与地面是平行的，且它们之间的距离为3m，当α＝45°，β＝30°时，光斑移动的距离AB为（ ）
A．3mB．(63−6)mC．(33−3)mD．6m
【分析】过点A作AE⊥MN，垂足为E，过点B作BF⊥MN，垂足为F，根据题意可得：CE＝DF＝3m，△ACP和△BDP都是等腰三角形，BP∥MN，从而可得∠APC＝∠PCM＝45°，∠BPD＝∠PDM＝30°，然后在Rt△PCE中，利用锐角三角函数的定义求出PE的长，从而求出AP的长，再在Rt△PDF中，利用锐角三角函数的定义求出PF的长，从而求出BP的长，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答．
【解答】解：如图：过点A作AE⊥MN，垂足为E，过点B作BF⊥MN，垂足为F，
由题意得：CE＝DF＝3m，△ACP和△BDP都是等腰三角形，BP∥MN，
∴∠APC＝∠PCM＝45°，∠BPD＝∠PDM＝30°，
在Rt△PCE中，PE=CEtan45°=3（m），
∴AP＝2PE＝6（m），
在Rt△PDF中，PF=DFtan30°=333=33（m），
∴BP＝2PF＝63（m），
∴AB＝BP﹣AP＝（63−6）m，
∴光斑移动的距离AB为（63−6）m，
故选：B．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
二．填空题:本大题共5小题，每小题3分，共15分.
11．把多项式2ax2﹣2a分解因式的结果是 2a（x+1）（x﹣1） ．
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可．
【解答】解：原式＝2a（x2﹣1）
＝2a（x+1）（x﹣1）．
故答案为：2a（x+1）（x﹣1）．
【点评】本题主要考查提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
12．计算：(13)−1−2cs30°+|−3|−(4−π)0= 2 ．
【分析】分别化简(13)−1=3，2cs30°=2×32=3，|−3|=3，（4﹣π）0＝1，然后再合并即可得出答案
【解答】解：原式=3−2×32+3−1
=3−3+3−1
＝2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查零指数幂、实数的运算等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
13．如图：矩形ABCD的对角线AC＝10，BC＝8，则图中五个小矩形的周长之和为 28 ．
【分析】运用平移的观点，五个小矩形的上边之和等于AD，下边之和等于BC，同理，它们的左边之和等于AB，右边之和等于CD，可知五个小矩形的周长之和为矩形ABCD的周长．
【解答】解：由勾股定理，得AB=AC2−BC2=6，
将五个小矩形的所有上边平移至AD，所有下边平移至BC，所有左边平移至AB，所有右边平移至CD，
∴五个小矩形的周长之和＝2（AB+BC）＝2×（6+8）＝28．
故答案为：28．
【点评】本题考查了平移的性质的运用．关键是运用平移的观点，将小矩形的四边平移，与大矩形的周长进行比较．
14．已知关于x的一元二次方程x2+（m+n）x+mn＝0，其中m、n在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是 有两个不相等的实数根 ．
【分析】先由数轴得出m+n和mn与0的关系，再计算判别式的值即可判断．
【解答】解：由数轴得m＞0，n＜0，m+n＞0，
∴mn＜0，
∴Δ＝（m+n）2﹣4mn＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故答案为：有两个不相等的实数根．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
15．如图，在平面直角坐标系中，A（m，3a）、B（n，2a）为反比例函数y=kx(k＞0)图象上两点，AH⊥x轴于点H，BG⊥x轴于点G，连接OB交AH于点C，连接BH，若△CBH的面积为23，则k＝ 6 ．
【分析】由反比例函数性质得m=23n，GH=n−m=n3，OB所在直线的解析式为y=2anx，求出C(23n，43a)，由△CBH的面积为23，列式计算出an＝3即可解答．
【解答】解：由条件可得：3am＝2an，即m=23n，
∴GH=n−m=n3，
设OB所在直线的解析式为y=2anx，
当x=m=23n时y=2an×23n=43a，
∴C(23n，43a)，
∵△CBH的面积为23，
∴12CH⋅GH=12×43a×n3=29an=23，
∴an＝3，
∴k＝2an＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了反比例函数k值的几何意义，熟练掌握该知识点是关键．
三．解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分.
16．下面是某同学解不等式1−5x+46＞x−22的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
根据以上材料，解答下列问题：
（1）去分母的依据是不等式基本性质 2 ；（填“1”或“2”或“3”）
（2）在解答过程中，共出现 三 处错误，其中最后一处错误在第 四 步，错误的原因是 不等式的两边同除以﹣8时，不等号方向没有改变 ；
（3）请写出解不等式1−5x+46＞x−22的正确解答过程．
【分析】（1）根据不等式的性质，进行作答即可；
（2）根据解不等式的步骤，进行判断即可；
（3）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1即可．
【解答】解：（1）去分母的依据是不等式基本性质2，
故答案为：2．
（2）在解答过程中，共出现三处错误，其中最后一处错误在第四步，错误的原因是不等式的两边同除以﹣8时，不等号方向没有改变；
故答案为：三，四，不等式的两边同除以﹣8时，不等号方向没有改变．
（3）去分母，得6﹣5x﹣4＞3x﹣6．
移项，得﹣5x﹣3x＞﹣6+4﹣6．
合并同类项，得﹣8x＞﹣8．
x系数化成1，得x＜1．
【点评】本题考查解不等式，熟练掌握不等式的性质是解题的关键；
17．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的三个顶点均在格点上，请用无刻度直尺按下列要求画图．（保留作图痕迹，体现作图过程）
（1）在图1中，画出△ABC的中线BE；
（2）在图2中，确定线段BC上一点F，使得∠FAC＝∠ABC，直接写出线段AF的长．
【分析】（1）利用网格特征作出AC的中点E，连接BE即可；
（2）由∠FAC＝∠ABC，推出△ACF∽△BCA，推出AC2＝CF•CB，可得CF=94，取格点J，K，L，连接JK交网格线于点H，连接LH交BC于点F（这里CF=94），连接AF即可．
【解答】解：（1）如图1中，线段BE即为所求；
（2）如图2中，点F即为所求．AF=32+(94)2=154．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
18．材料阅读：
问题解答：
如图，矩形ABCD为某种玻璃、一束光线从点P射向玻璃上的点O，折射后照到玻璃底部的点Q．测得∠NOQ＝30°，NQ＝10cm，若P，O，C三点在同一条直线上，请依据相关材料回答以下问题：
（1）求∠POM的大小；
（2）求CQ的长．
【分析】（1）利用折射率定义求解；
（2）解直角三角形求出CN，可得结论．
【解答】解：（1）∵光线从空气进入水中时的折射率为3，
∴sin∠POMsin∠NOQ=3，
∴sin∠POM=32
∴∠POM＝60°；
（2）在Rt△ONQ中，∠NOQ＝30°，NQ＝10cm，
∴ON=NQtan30°=1033=103（cm），
∵∠POM＝∠CON，
∴sin∠POM＝sin∠CON=32=CNCO，
∴设CN=3xcm，则OC＝2xcm，
∴ON=OC2−CN2=x（cm），
∴x＝103，
∴CN＝30cm，
∴CQ＝CN﹣NQ＝30﹣10＝20（cm）
答：CQ的长约为20cm．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
四．解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分.
19．学校科技节中，“编程挑战赛”引来众多编程爱好者参与，比赛分初赛和决赛，初赛成绩优秀的选手进入决赛．统计小组从八年级和九年级参与“编程挑战赛”初赛的选手中各随机选出20名选手的比赛成绩进行分析，并将选手成绩分为A、B、C、D四个等级（单位：分），分别是：
A．x＜70B.70≤x＜80C.80≤x＜90D.90≤x≤100
下面给出了部分信息：
其中，八年级C等级的成绩为：81，82，83，86，87，88，89
九年级选手的成绩为：
66，75，76，78，79，81，82，83，84，86，86，88，88，88，91，92，94，95，96，96
八年级选手成绩扇形统计图
八、九年级选手成绩平均数、中位数、众数、方差：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ 87.5 ，b＝ 88 ，m＝ 40 ；
（2）根据以上数据，你认为在此次初赛中，哪个年级选手的成绩更好？说明理由（一条理由即可）；
（3）若初赛时八年级有80名选手参赛，九年级有100名选手参赛，请估计两个年级初赛选手中进入决赛的选手共有多少人？
【分析】（1）分别根据中位数和众数的定义可得a和b的值，用1分别减去其它三个等级所占百分比即可得出m的值；
（2）依据表格中平均数、中位数、众数作出判断即可；
（3）用样本估计总体即可．
【解答】解：（1）八年级20名同学的成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别为87、88，
故中位数a=87+882=87.5；
九年级20名同学的成绩出现次数最多的是88，
故众数b＝88；
由题意可得m%=1−10%−15%−720×100%=40%，
故m＝40，
故答案为：87.5；88；40；
（2）八年级的成绩更好，理由：两个年级的平均数相同，而八年级的成绩的中位数和众数均大于九年级；
（3）估计两个年级初赛选手中进入决赛的选手共有80×40%+100×620=32+30=62（人），
答：估计两个年级初赛选手中进入决赛的选手共有62人．
【点评】本题考查中位数、众数、平均数以及样本估计总体，理解中位数、众数的定义，掌握中位数、众数、平均数的计算方法是正确解答的关键．
20．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E为斜边AB的中点，将线段AC平移至ED交BC于点M，连接CD，CE，BD，AD，线段AD交CE于点N，连接MN．
（1）求证：CD＝BE；
（2）求证：四边形BECD是菱形；
（3）若AC＝10，cs∠EDC=513，求MN的长．
【分析】（1）证得四边形ACDE为平行四边形，得到AE＝CD，在Rt△ABC中，点E为斜边AB的中点，
AE＝CE＝BE，从而得到CD＝BE；
（2）证四边形ACDE是平行四边形，得CD＝AE，CD∥AE，再证四边形BECD是平行四边形，然后由直角三角形斜边上的中线性质得CE=12AB＝BE，即可得出结论；
（3）由平行线的性质得∠CEM＝∠ACE，由平行四边形和菱形的性质得CD＝CE，CN＝EN，DM＝EM=12DE＝5，BC⊥DE，证MN是△CDE的中位线，得MN=12CD，由锐角三角函数定义求出CD＝CE＝13，进一步解答即可．
【解答】（1）证明：∵ED为AC平移所得，
∴AC∥ED，AC＝ED，
∴四边形ACDE为平行四边形，
∴AE＝CD，
在Rt△ABC中，点E为斜边AB的中点，
∴AE＝CE＝BE，
∴CD＝BE．
（2）证明：∵四边形ACDE为平行四边形，
∴AE∥CD，即 CD∥BE，
又∵CD＝BE，
∴四边形BECD为平行四边形，
又∵CE＝BE，
∴四边形BECD为菱形．
（3）解：∵四边形BECD为菱形，
∴BC⊥DE，DM＝EM，
∵AC＝DE＝10，
∴DM＝EM＝5，
在Rt△CDM中，cs∠EDC=DMCD=513，
∴CD＝13，
由（1）得：四边形ACDE是平行四边形，
∴CN＝EN，
∵DM＝EM，
∴MN是△CDE的中位线，
∴MN=12CD=132．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、三角形中位线定理以及锐角三角函数的定义等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型．
21．综合与实践：社区垃圾桶采购最优方案设计
一、问题的背景
为了建设美好家园，提高垃圾分类意识，朝阳社区决定购买A、B两种型号的新型垃圾桶，社区工作人员需要通过数学方法解决单价核算、方案设计和费用优化的问题．
二、材料与任务
材料一：单价信息
社区志愿者调查发现：
1．购买2个A型号的新型垃圾桶和购买3个B型号的新型垃圾桶共370元；
2．购买4个A型号的新型垃圾桶和购买5个B型号的新型垃圾桶共650元．
材料二：采购约束
社区需满足以下采购的要求：
1．A、B两种型号的新型垃圾桶共采购200个；
2．采购总费用不超过14000元；
3．B型号的新型垃圾桶数量不少于A型号的新型垃圾桶数量的23．
请你根据上面提供的材料，帮助社区完成以下的任务．
任务一：计算A、B两种型号的新型垃圾桶的单价；
任务二：提供有多少种购买的方案；
任务三：设计最省钱的方案，并给出最低费用．
【分析】（1）先设A、B两种型号的新型垃圾桶的单价分别为x元和y元，再根据材料一列出二元一次方程组求解即可；
（2）先设A、B两种型号的新型垃圾桶分别采购a个和（200﹣a）个，再根据材料二列出一元一次不等式组求解即可；
（3）根据材料设购买A、B两种型号的新型垃圾桶总费用为y，据题意得y＝﹣40a+18000，根据一次函数的性质结合（2）中a的取值范围即可求解．
【解答】解：（1）设A、B两种型号的新型垃圾桶的单价分别为x元和y元，
据材料一得：2x+3y=370①4x+5y=650②，
将①×2﹣②解得：y＝90，
将y＝90代入①中解得：x＝50，
∴x=50y=90，
答：A型号新型垃圾桶单价为50元，B型号新型垃圾桶单价为90元；
（2）设A、B两种型号的新型垃圾桶分别采购a个和（200﹣a）个，
据材料二得：50a+(200−a)×90≤14000①23a≤200−a②
由①解得：a≥100，
由②解得：a≤120，
综上，100≤a≤120，
∴120﹣100+1＝21，
答：可提供21种购买的方案；
（3）设购买A、B两种型号的新型垃圾桶总费用为y，
据题意得：y＝50a+（200﹣a）×90＝﹣40a+18000，
∴y随a的增大而减小，
由条件可知当a＝120，y有最小值，ymin＝﹣40×120+18000＝13200，
∴B型号垃圾桶：200﹣120＝80（个），
答：最省钱的方案为购买A型号垃圾桶120个，B型号垃圾桶80个，最低费用为13200元．
【点评】本题考查了一次函数的应用，理解题意，熟练掌握一次函数的性质是关键．
五．解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分.
22．我们已经学过完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2，将它适当变形可以解决很多数学问题．
（1）填空：已知a+b＝5，ab＝3，则a2+b2＝ 19 ；
（2）“幻方”起源于中国，是我国古代数学的杰作之一，在数学活动课上，小彬和小华同学探究类似填幻方的数字游戏，将数字1，2，3，4，5，6填入如图所示的“□”中，使每个圆圈上的三个数字之和都相等．
①如图1所示，两个空白“□”中，从左到右依次应填 4 ， 5 ；每个圆圈上的三个数字之和为 12 ．
②如图2所示，三个“□”中的数字分别记为：a，b，a+b﹣3，请根据如表的对话内容，求a+b的值．
③在②的结论下，若12+22+32+42+52+62+a2+b2+（a+b﹣3）2＝126，求ab的值．
【分析】（1）由（a+b）2＝a2+b2+2ab可知，a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，代入已知条件，从而求得a2+b2的值；
（2）①设两个空白方格中，左边空白方格应填的数为x，右边空白方格应填的数为y，根据每个圆圈上的三个数字之和相等，建立方程，解方程，即可求得从左到右依次应填4，5，以及每个圆圈上的三个数字之和为12；
②设上方的圆圈上空白方格应填的数为m，左侧的圆圈上空白方格应填的数为x，右侧的圆圈上空白方格应填的数为y，根据每个圆圈上的三个数字之和相等，建立方程，再根据所有填入的数字之和建立等量关系，从而求得S=6+23(a+b)，最后由S为整数，以及4≤a+b≤9，求出a+b的值；
③先求出a2+b2＝26，运用a2+b2＝（a+b）2﹣2ab将已知条件化简，根据②中结果分两种情况分析求解即可．
【解答】解：（1）∵a+b＝5，ab＝3，
又∵a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，
∴a2+b2＝52﹣2×3＝25﹣6＝19，
故答案为：19；
（2）①设左边空白方格应填的数为x，右边空白方格应填的数为y，
根据每个圆圈上的三个数字之和相等，可得：
3+x+y=2+x+62+x+6=6+y+1，
解得：x=4y=5，
∴两个空白方格中，从左到右依次应填4，5，
每个圆圈上的三个数字之和为：3+x+y＝3+4+5＝12；
故答案为：3，4，12；
②设上方的圆圈上空白方格应填的数为m，左侧的圆圈上空白方格应填的数为x，右侧的圆圈上空白“口”应填的数为y，
∵每个圆圈上的三个数字之和为S，
∴a+b+m=S①a+(a+b−3)+x=S②b+(a+b−3)+y=S③，
∴①+②+③得：4a+4b﹣6+（m+x+y）＝3S，
即x+y+m＝3S﹣4（a+b）+6，
整理得x+y＝2S+6﹣3（a+b），
∵所有填入的数字之和为：1+2+3+4+5+6＝x+y+m+a+b+（a+b﹣3），
∴x+y+m+2（a+b）＝24，
∵x+y+m＝3S﹣4（a+b）+6，
∴24﹣2（a+b）＝3S﹣4（a+b）+6，
∴S=6+23(a+b)，
∵4≤a+b≤9，S为整数，
∴a+b＝6或9；
③∵a+b＝6，12+22+32+42+52+62+a2+b2+（a+b﹣3）2＝126，
∴1+4+9+16+25+36+a2+b2+9＝126，
∴a2+b2＝26，
∴（a+b）2﹣2ab＝26，
由②得a+b＝6或9，
当a+b＝6时，62﹣2ab＝26，
∴2ab＝10，
∴ab＝5；
当a+b＝9时，92﹣2ab＝26，
∴2ab＝55，
∴ab=552，
∵a2+b2＝26，
∴a2﹣2ab+b2＝26﹣55＝﹣29，即（a﹣b）2＝﹣29（不符合题意，舍去），
∴ab＝5．
【点评】本题主要考查了完全平方公式、规律探究等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
23．我们不妨约定：如图①，若点D在△ABC的边AB上，且满足∠ACD＝∠B（或∠BCD＝∠A），则称满足这样条件的点为△ABC边AB上的“完美点”．
（1）如图①，若点D是△ABC的边AB的中点，AC=32，AB=6，试判断点D是不是△ABC边AB上的“完美点”，并说明理由；
（2）如图②，在⊙O中，AB为直径，且AB＝5，AC＝4，若点D是△ABC边AB上的“完美点”，求CD的长；
（3）如图③，平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，0），B（2，0），C为y轴正半轴上一点，且满足∠ACB＝45°，D点为过A、B、C三点的抛物线上一点，且横坐标为3，试问在x轴上是否存在一点E，使点A，B，E中的某一点是以其余两点及点C构成的三角形中剩余两点所在边上的“完美点”．若存在，请求出点E的坐标及直线DE的解析式；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据“完美点”的定义及相似三角形的性质判断即可；
（2）根据完美点的定义可知有两种情况：∠ACD＝∠B或∠BCD＝∠A，分情况讨论，利用勾股定理及等面积法即可得出答案；
（3）过点B作MB⊥BC交CA的延长线于M，作MN⊥x轴于点N，用AAS证明△BNM≌△COB，从而有MN＝OB，OC＝BN，利用△AMN∽△ACO，得出MNOC=ANOA，求出点C的坐标，用待定系数法求出抛物线的解析式，从而找到D的坐标，然后分①当A是“完美点”时，②当E是“完美点”时，③当B是“完美点”时三种情况，分别找到点E的坐标，再利用待定系数法即可求直线DE的解析式．
【解答】解：（1）点D是△ABC边AB上的“完美点”；理由如下：
∵点D是△ABC的边AB的中点，AC=32，AB=6，
∴AD＝DB＝3，
∴AC2=(32)2=18，AD⋅AB=18，
∴AC2＝AD•AB，
∴ACAB=ADAC．
又∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴∠ACD＝∠B，
∴点D是△ABC边AB上的“完美点”；
（2）如图②，AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，点D是△ABC边AB上的“完美点”，
∴∠ACD＝∠B或∠BCD＝∠A，
①当∠ACD＝∠B时，
∵∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠BCD+∠B＝90°，
∴∠CDB＝90°，
∴CD⊥AB；
②当∠BCD＝∠A时，同理得：CD⊥AB，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，
由勾股定理得：BC=AB2−AC2=3，
∵12⋅AB⋅CD=12⋅AC⋅BC，即12×5⋅CD=12×4×3，
解得：CD=125；
（3）在x轴上存在一点E，使点A，B，E中的某一点是以其余两点及点C构成的三角形中剩余两点所在边上的“完美点”．理由如下：
如图③，过点B作MB⊥BC交CA的延长线于M，作MN⊥x轴于点N，则∠MBC＝∠BOC＝∠BNM＝90°，∠BCM＝45°，
∴∠BMC＝∠BCM＝45°，
∴BM＝BC，
∵∠MBN+∠CBO＝90°，∠CBO+∠BCO＝90°，
∴∠MBN＝∠BCO，
在△BNM和△COB中，
∠MBN=∠BCO∠MNB=∠BOCMB=BC，
∴△BNM≌△COB（AAS），
∴OC＝BN，MN＝OB，
设C（0，a）（a＞0），
∵A（﹣3，0），B（2，0），
∴MN＝OB＝2，OA＝3，OC＝BN＝a，AB＝5，AN＝a﹣5，
∵MN∥OC，
∴△AMN∽△ACO，
∴MNOC=ANOA，
∴2a=a−53，
整理得：a2﹣5a﹣6＝0，
解得a＝6或﹣1 （经检验，都是分式方程的根，此解不合题意，舍去），
∴OC＝6，
∴C（0，6），
∵A（﹣3，0），B（2，0），C（0，6），
设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，将点A，点B，点C的坐标分别代入得：
9a−3b+c=04a+2b+c=0c=6，
解得：a=−1b=−1c=6，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+6，
∴D（3，﹣6）；
①当A是“完美点”时，
Ⅰ）当∠ACE＝∠ABC时，
∵A（﹣3，0），B（2，0），∠ACE+∠ACO＝∠ECO＜90°，∠OCB+∠OBC＝90°，
∴∠ACO＞∠OCB，
∴∠ECO＝∠ACE+∠ACO＝∠ABC+∠ACO＞∠ABC+∠OCB＝90°，与∠ECO＜90°矛盾，
∴此种情形不存在；
Ⅱ）如图④，当∠AEC＝∠ACB＝45°时，OE1＝OC＝6，
∴E1（﹣6，0），
设直线DE1的解析式为y＝kx+b，将点D，点E1的坐标分别代入得：
3k+b=−6−6k+b=0，
解得：k=−23b=−4，
∴此时，直线DE1的解析式为y=−23x−4；
②当E是“完美点”时，
Ⅰ）如图⑤，当∠ACE＝∠ABC时，
在Rt△OBC中，∠COB＝90°，OB＜OC，
∴∠ABC＞45°，
∵OB＜OA＜OC，
∴∠OBC＞∠OAC＞45°＞∠ACE，与∠ACE＝∠ABC＞45°矛盾，
∴此种情形不存在；
Ⅱ）当∠CAE＝∠BCE时，同理可得，此种情形不存在．
③当B是“完美点”时，
Ⅰ）当∠AEC＝∠ACB＝45°时，如图⑥，
∴OE2＝OC＝6，
∴E2（6，0），
设直线DE2的解析式为y＝mx+n，将点D，点E2的坐标分别代入得：
3m+n=−66m+n=0，
解得：m=2n=−12，
∴此时，直线DE2的解析式为y＝2x﹣12；
Ⅱ）当∠BAC＝∠BCE时，如图⑦，
设E3（m，0），
∵∠BAC＝∠BCE，∠CE3A＝∠CE3B，
∴ΔAE3C∽ΔCE3B，
∴CE3BE3=AE3CE3，
∴CE32=BE3⋅AE3，
∴m2+62＝（m﹣2）（m+3），
解得：m＝42，
∴E3（42，0），
设直线DE3的解析式为y＝px+q，将点D，点E3的坐标分别代入得：
3p+q=−642p+q=0，
解得：p=213q=−8413，
∴此时，直线DE3的解析式为y=213x−8413．
综上所述，点E坐标为（﹣6，0）时，DE解析式为y=−23x−4；点E坐标为（6，0）时，DE解析式为y＝2x﹣12；点E坐标为（42，0）时，DE解析式为y=213x−8413．
【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查相似三角形的判定及性质，待定系数法求一次函数的解析式，掌握“完美点”的意义及分情况讨论是解题的关键．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/4/12 21:26:38；用户：15813317155；邮箱：15813317155；学号：21661045解：去分母，得6﹣5x+4＞3x﹣6．第一步
移项，得﹣5x﹣3x＞﹣6+4﹣6．第二步
合并同类项，得﹣8x＞﹣8．第三步
x系数化成1，得x＞1．第四步
光从空气斜射入某种玻璃中时，传播方向发生了偏折，这种现象叫作光的折射，我们把入射角α的正弦值和折射角β的正弦值之比称为折射率（n），即n=sinαsinβ，已知光线从空气进入某种玻璃时的折射率为3．
学生
平均数
中位数
众数
方差
八年级
85.2
a
91
91.76
九年级
85.2
86
b
59.66
小彬：由填数规则得1≤a+b﹣3≤6，所以4≤a+b≤9．
小华：我发现，若记每个圆圈上的三个数字之和为S，则a+b的值可以用含S的式子表示．
小彬：对！根据你的发现，可以求出a+b的值．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
D
D
C．
C
D
A
D
A
B
解：去分母，得6﹣5x+4＞3x﹣6．第一步
移项，得﹣5x﹣3x＞﹣6+4﹣6．第二步
合并同类项，得﹣8x＞﹣8．第三步
x系数化成1，得x＞1．第四步
光从空气斜射入某种玻璃中时，传播方向发生了偏折，这种现象叫作光的折射，我们把入射角α的正弦值和折射角β的正弦值之比称为折射率（n），即n=sinαsinβ，已知光线从空气进入某种玻璃时的折射率为3．
学生
平均数
中位数
众数
方差
八年级
85.2
a
91
91.76
九年级
85.2
86
b
59.66
小彬：由填数规则得1≤a+b﹣3≤6，所以4≤a+b≤9．
小华：我发现，若记每个圆圈上的三个数字之和为S，则a+b的值可以用含S的式子表示．
小彬：对！根据你的发现，可以求出a+b的值．