2026年广东省初中学业水平考试（数学）模拟含答案（三）

这是一份2026年广东省初中学业水平考试（数学）模拟含答案（三）

一．选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．2026年是农历丙午马年，2026的相反数是（ ）
A．﹣2026B．12026C．2026D．−12026
【分析】根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案．
【解答】解：2026的相反数是﹣2026．
故选：A．
【点评】本题考查了相反数的概念，掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解答此题的关键．
2．“悟空”号全海深AUV是中国哈尔滨工程大学自主研发的无人无缆潜水器．具备在11000米深海自主作业的能力．数据11000用科学记数法表示为（ ）
A．0.11×105B．1.1×104C．1.1×105D．11×103
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：11000＝1.1×104．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．发展新能源汽车是我国汽车强国与绿色发展的核心战略，比亚迪是该战略下技术领先、全球领跑的龙头企业．如图1是其位于深圳坪山的全球总部一六角大楼，该建筑主体是一个正六棱柱（如图2），其示意图的左视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据从侧面看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：根据几何体的特点可得：从几何体的左面可以看到选项B的图形．
故选：B．
【点评】本题考查了简单的几何体的三视图，掌握几何体的空间结构是关键．
4．下列运算正确的是（ ）
A．3m+2n＝5mnB．m2•m3＝m5
C．（m﹣n）2＝m2﹣n2D．（2m2）3＝6m6
【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、完全平方公式、积的乘方法则逐一判断即可．
【解答】解：根据合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、完全平方公式、积的乘方法则逐项分析判断如下：
选项A：3m与2n不是同类项，不能合并，错误，不符合题意；
选项B：m2•m3＝m2+3＝m5，正确，符合题意；
选项C：（m﹣n）2＝m2﹣2mn+n2≠m2﹣n2，错误，不符合题意；
选项D：（2m2）3＝23•（m2）3＝8m6≠6m6，错误，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、完全平方公式、积的乘方，熟练掌握运算法则是关键．
5．下列四幅作品分别代表24节气中的四个节气：“芒种”、“夏至”、“白露”、“大雪”，其中属于中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此分析判断即可．
【解答】解：选项A、B、C中的图形都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项D中的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：D．
【点评】此题主要考查了中心对称图形，掌握好中心对称图形的概念．中心对称是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
6．计算3aa−1+31−a的结果是（ ）
A．3B．aC．aa−1D．3a2−1
【分析】解题思路是先变形统一分母，再根据同分母分式加法法则计算，约分后得到结果
【解答】解：3aa−1+31−a=3aa−1−3a−1=3a−3a−1=3(a−1)a−1=3，
故选：A．
【点评】本题考查分式的加减运算，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
7．如图，在平行四边形纸片上做随机扎针实验，针头扎在阴影区域内的概率为（ ）
A．14B．12C．38D．58
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【解答】解：如图，
∵四边形是平行四边形，
∴对角线把平行四边形分成面积相等的四部分，
∴三角形①与②的面积相等．
∴阴影部分的面积等于平行四边形面积的一半．
∴在平行四边形纸片上做随机扎针实验，针头扎在阴影区域内的概率为12．
故选：B．
【点评】本题考查的是几何概率，平行四边形的性质，熟记概率公式是解题的关键．
8．如图1，这是某校的电动伸缩门，图2是该校电动伸缩门抽象出来的几何平面示意图，已知EB∥DC，AD∥BC，BF平分∠EBC交AD于点G，若∠2＝34°，则∠1的度数为（ ）
A．68°B．70°C．72°D．74°
【分析】先根据两直线平行，同位角相等得∠CBF＝∠2＝34°，根据BF平分∠EBC，得到∠CBE＝2∠CBF＝68°，再根据EB∥DC，即可求解．
【解答】解：∵AD∥BC，∠2＝34°，
∴∠CBF＝∠2＝34°（两直线平行，同位角相等），
∵BF平分∠EBC，
∴∠CBE＝2∠CBF＝2×34°＝68°，
∵EB∥DC，
∴∠1＝∠CBE＝68°，
故选：A．
【点评】本题考查了平行线的性质，关键是平行线性质的熟练掌握．
9．如图①，天窗打开后，天窗边缘AC与窗框AB夹角为23°，它的示意图如图②所示．若AC长为a米，则窗角C到窗框AB的距离CD的长度为（ ）
A．acs23°米B．asin23°米C．αcs23°米D．asin23°米
【分析】在Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答．
【解答】解：在Rt△ACD中，AC＝a米，∠CAD＝23°，
∴CD＝AC•sin23°＝asin23°米，
∴窗角C到窗框AB的距离CD的长度为asin23°米，
故选：D．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键．
10．定义符号min{a，b}的含义为：当a≥b时min{a，b}＝b；当a＜b时min{a，b}＝a．如min{1，﹣3}＝﹣3，min{﹣4，﹣2}＝﹣4．则min（﹣x2+3，﹣2x}的最大值是（ ）
A．3B．2C．1D．0
【分析】先求出两个函数的交点坐标，再根据min的定义解答即可．
【解答】解：联立y=−x2+3y=−2x，
解得x1=−1y1=2，x2=3y2=−6，
①如果x≤﹣1，min{﹣x2+3，﹣2x}＝﹣x2+3，最大值是2；
②如果﹣1＜x≤3，min{﹣x2+3，﹣x}＝﹣2x，最大值小于2；
③如果x＞3，min{﹣x2+3，﹣x}＝﹣x2+3，最大值小于﹣6．
所以min{﹣x2+3，﹣x}的最大值是2．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的最值问题，读懂题目信息，理解定义符号的意义并考虑求两个函数的交点是解题的关键．
二．填空题:本大题共5小题，每小题3分，共15分.
11．已知关于x的一元一次方程3x﹣ax+4a＝0，当方程的解为x＝1时，a的值为 ﹣1 ．
【分析】将x＝1代入方程求解a即可．
【解答】解：将x＝1代入方程3x﹣ax+4a＝0，得3×1﹣a+4a＝0，
解得a＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解的定义是解题的关键．
12．正比例函数y＝mx中，y随x的增大而增大，请写出一个符合条件的m的值 1（答案不唯一） ．
【分析】由y随x的增大而增大，利用正比例函数的性质，可得出m＞0，任取符合题意的一值即可．
【解答】解：∵正比例函数y＝mx中，y随x的增大而增大，
∴m＞0，
∴m可以为1．
故答案为：1（答案不唯一）．
【点评】本题考查了正比例函数的性质，牢记“正比例函数y＝kx，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小”是解题的关键．
13．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝2∠B，AC＝2，则菱形ABCD的周长为 8 ．
【分析】根据菱形的性质得到∠BAC=∠DAC=12∠BAD，AB＝BC，根据等边对等角得到∠BAC＝∠BCA，证明△BAC是等边三角形，得到AB＝AC＝2，即可求出菱形ABCD的周长．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BAC=∠DAC=12∠BAD，AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA，
∵∠BAD＝2∠B，
∴∠BAC＝∠B，
∴∠BAC＝∠BCA＝∠B，
∴△BAC是等边三角形，
∴AB＝AC＝2，
∴菱形ABCD的周长为4AB＝8，
故答案为：8．
【点评】本题主要考查了菱形的性质，掌握其相关知识点是解题的关键．
14．如图，以点O为中心的量角器与直角三角板ABC按如图方式摆放，量角器的直径与直角三角板的斜边AB重合，如果点D在量角器上对应的刻度为110°，连接CD．那么∠BCD＝ 55° ．
【分析】连接OD，则∠BOD＝110°，根据“直径所对的圆周角等于90°”可知C点在⊙O上，根据圆周角定理求解即可．
【解答】解：连接OD，
则∠BOD＝110°，
∵∠ACB＝90°，
∴C点在⊙O上，
∴∠BCD=12∠BOD＝55°．
故答案为：55°．
【点评】本题主要考查了圆周角定理和三角形内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
15．1930年，德国汉堡大学的学生考拉兹，曾经提出过这样一个数学猜想：对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2．如此循环，最终都能够得到1．这一猜想后来成为著名的“考拉兹猜想”，又称“奇偶归一猜想”．虽然这个结论在数学上还没有得到证明，但举例验证都是正确的，例如：取正整数5，最少经过下面5步运算可得1，即：5→×3+116→÷28→÷24→÷22→÷21如果正整数m最少经过6步运算可得到1，则m的值为 10或64 ．
【分析】根据得数为1，可倒推出第5次计算后得数一定是2，第4次计算后得4，依此类推，直至倒退到第1次前的数即可．
【解答】解：如图，利用倒推法可得：
由第6次计算后得1，可得第5次计算后的得数一定是2，
由第5次计算后得2，可得第4次计算后的得数一定是4，
由第4次计算后得4，可得第3次计算后的得数是1或8，其中1不合题意，因此第3次计算后一定得8
由第3次计算后得8，可得第2次计算后的得数一定是16，
由第2次计算后得16，可得第1次计算后的得数是5或32，
由第1次计算后得5，可得原数为10，
由第1次计算后32，可得原数为64，
故答案为：10或64．
【点评】考查有理数的运算，掌握计算法则是正确计算的前提，理解题意是重中之重．
三．解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分.
16．解不等式（组）
（1）解不等式2（x﹣1）≤4，并在给出的数轴上表示其解集；
（2）解不等式2x−13＜x+1，并在给出的数轴上表示其解集；
（3）求不等式组2(x−1)≤42x−13＜x+1的解集．
【分析】（1）先去括号，移项，合并，把未知数的系数化为1，可求出不等式的解集，再在数轴上表示不等式的解集即可；
（2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，再在数轴上表示不等式的解集即可；
（3）先求出每个不等式的解集，再画图，最后求出不等式组的解集即可．
【解答】解：（1）2（x﹣1）≤4，
2x﹣2≤4，
2x≤4+2，
2x≤6，
x≤3，
数轴表示如下所示：
；
（2）2x−13＜x+1，
2x﹣1＜3（x+1），
2x﹣1＜3x+3，
2x﹣3x＜3+1，
﹣x＜4，
x＞﹣4，
数轴表示如下所示：
；
（3）解：2(x−1)≤4①2x−13＜x+1②，
由①得：x≤3，
解不等式②得：x＞﹣4，
在数轴上表示解集如下：
，
∴原不等式组的解集为﹣4＜x≤3．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，解一元一次不等式，在数轴上表示不等式组的解集，熟知以上知识是解题的关键．
17．七年级2班数学兴趣小组制作了如图所示的“角平分线仪”，小明将角平分线仪的各点表上字母，如图所示，并提出了一个问题：如何证明AE是∠QAP的平分线呢？
小丽想，先证明△ABC≌△ADC，即可得出结论，于是她写出了如下证明过程：
回答下列问题：
（1）小丽的证明过程从第 一 步开始出错，第三步的依据是 全等三角形的对应角相等 ；
（2）请你帮助小明写出正确的证明过程．
【分析】（1）根据全等三角形的性质和判定定理求解即可；
（2）首先证明出△ABC≌△ADC（SSS），得到∠BAC＝∠DAC，即可得到AE平分∠PRQ．
【解答】（1）解：小丽的证明过程从第一步开始出错，第三步的依据是全等三角形的对应角相等；
故答案为：一；全等三角形的对应角相等；
（2）证明：在△ABC和△ADC中，
AB=ADBC=DCAC=AC，
∴△ABC≌△ADC（SSS）
∴∠BAC＝∠DAC，
∴AE平分∠PRQ．
【点评】此题考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握全等三角形的性质和判定定理．
18．能量胶是长跑运动员常用的补给品，能快速为身体补充碳水化合物、电解质等，及时缓解疲劳，维持运动表现，助力运动员完成长距离赛事．某长跑团队为运动员准备了A、B两种能量胶，每种能量胶的营养成分如表所示：
（1）教练发现7支A能量胶和9支B能量胶中的碳水化合物含量相同，每支A能量胶的碳水化合物含量比B能量胶多4克，每支A、B能量胶中各含有碳水化合物多少克？
（2）依据运动营养学建议，运动员单次长距离训练前补充碳水化合物总量不低于85克．在某次长距离训练前，运动员可携带5支能量胶，为符合标准，应如何安排携带方案？并求出对应的碳水化合物总量．（注：A，B两种能量胶必须均携带）
【分析】（1）根据7支A能量胶和9支B能量胶中的碳水化合物含量相同，每支A能量胶的碳水化合物含量比B能量胶多4克列方程组求解即可；
（2）根据运动员单次长距离训练前补充碳水化合物总量不低于85克列不等式，再根据运动员可携带5支能量胶且A，B两种能量胶必须均携带求出x的整数值，即可得解．
【解答】解：（1）设每支A、B能量胶中各含有碳水化合物m克、n克，
7m=9nm−4=n，
解得m=18n=14，
答：每支A、B能量胶中各含有碳水化合物18克，14克；
（2）设携带A种能量胶x支，
则18x+14（5﹣x）≥85，
解得：x≥3.75，
又x为整数，
∴x只能取4，
∴A种能量胶携带4支，B种能量胶携带1支；
对应的碳水化合物总量为：18×4+14×1＝86克．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用，正确进行计算是解题关键．
四．解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分.
19．如图1是一块钟表残片，图2是其示意简图．弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D，连接AC．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出残片所在圆的圆心O；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若AB＝12，CD＝3．求残片所在圆的半径．
【分析】（1）作线段AC的垂直平分线，交直线CD于点O，则点O即为所求．
（2）连接OA，由题意得AD＝BD=12AB=6．设残片所在圆的半径为x，则OA＝OC＝x，DO＝OC﹣CD＝x﹣3，在Rt△AOD中，由勾股定理得，AO2＝AD2+DO2，代入求出x的值即可．
【解答】解：（1）如图2，作线段AC的垂直平分线，交直线CD于点O，
则点O即为所求．
（2）连接OA，
∵AB＝12，CD垂直平分线段AB，
∴AD＝BD=12AB=6．
设残片所在圆的半径为x，
则OA＝OC＝x，DO＝OC﹣CD＝x﹣3，
在Rt△AOD中，由勾股定理得，AO2＝AD2+DO2，
即x2＝62+（x﹣3）2，
解得x=152．
∴残片所在圆的半径为152．
【点评】本题考查作图—应用与设计作图、线段垂直平分线的性质、勾股定理、垂径定理的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
20．第十九届届北京国际汽车展览会在中国国际展览中心、首都国际会展中心举办，车展时间为2026年4月24日至5月3．本次车展的一大特点是新能源汽车成为主流．小唯同学利用周末时间对自己家所在小区内不同年龄段的人群对新能源汽车的了解情况做了问卷调查，以下是他的调查报告（不完整）：
请根据以上调查报告，解答下列问题：
（1）统计表中a＝ 40 ，b＝ 70 ，本次抽样调查的总人数是 1000 人；
（2）若该小区有1500名青年人，请估计该小区青年人中有多少人是新能源汽车车主；
（3）随着新能源的发展普及，越来越多的人购买新能源汽车，小唯在两个月后对本次调查中的青年和中年群体再次进行了调查，发现青年和中年群体的新能源汽车车主分别为220人和80人，请问经过两个月后，这两个群体中哪个群体的新能源汽车车主增长率更高（结果精确到0.1%）？
（4）请写出一条关于你对新能源汽车的了解．
【分析】问卷调查：根据实际情况进行作答；
（1）用B组总共的人数减去少年、中年、老年的人数即可得出a，用D组总共的人数减去少年、青年、老年的人数即可得出b，将各组的人数相加即可得出总人数；
（2）用1500乘以青年人中新能源汽车车主所占的比例即可得出结果；
（3）分别计算得出两个群体的新能源汽车车主增长率，比较即可得出结果；
（4）结合环保、节能、技术发展等写出一条合理的建议即可．
【解答】解：问卷调查：知道什么是新能源汽车，有一些体验经历．
故选：C．
（1）a＝200﹣40﹣60﹣60＝40，b＝280﹣0﹣200﹣10＝70，
本次抽样调查的总人数是100+200+（140+50+160+70）+280＝1000（人）．
故答案为：40；70；1000．
（2）1500×20010+40+50+200=1000（人），
答：估计该小区青年人中有1000人是新能源汽车车主；
（3）青年群体的新能源汽车车主增长率为（220﹣200）÷200×100%＝10%，
中年群体的新能源汽车车主增长率为（80﹣70）÷70×100%≈14.3%，
∵14.3%＞10%，
∴中年群体的新能源汽车车主增长率更高；
（4）新能源汽车主要依靠电力驱动，减少了对传统燃油的依赖，有助于降低空气污染．
【点评】本题主要考查用样本估计总体、近似数和有效数字、全面调查和抽样调查、统计表，理解题意是解题的关键．
21．综合与实践
【主题】汽车盲区与行车安全实践探究
【素材】素材一：汽车盲区是指司机位于正常驾驶位置时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．在汽车行驶时，若行人、非机动车处于汽车盲区内，极易引发交通事故．如图1为某型号小汽车的车头、车尾盲区（可以近似看作矩形），以及两侧后视镜的可见区域．
素材二：如图2，若司机位于正常驾驶位置的双眼高度AB＝1.5m，双眼与车头连线上某点C与地面距离CD＝1m，该点与车头水平距离DE＝0.5m，驾驶员与车头水平距离BE＝2m，点M在EF上，ME＝0.8m．
素材三：如图3，这辆小汽车在平直的公路上匀速行驶，正后方跟随着一辆速度为72km/h的摩托车．如果此时小汽车司机紧急刹车，那么摩托车司机也随即刹车，但摩托车司机有一个1.2s的反应时间．已知小汽车从开始刹车到完全停住的行驶距离为32m，摩托车从开始刹车到完全停住的行驶距离为42m，小汽车车尾盲区为正后方长为5m的矩形区域．
【问题解决】
（1）①如图2，求车头盲区EF的长度；
②在M处有一个高度为0.5m的物体，驾驶员能观察到物体吗？请作出判断，并说明理由；
（2）如图3，在摩托车刹车前，摩托车应与小汽车至少保持 39 m的距离，才不会闯入小汽车的车尾盲区．
【分析】（1）①根据题意得到△FCD∽△FAB，FDFB=CDAB，且FB＝FD+BD＝FD+1.5，由此列式得到FDFD+1.5=11.5，即可求解；
②过点M作MN⊥FB交AF于点N，可证△FMN∽△FDC得到MNCD=FMFD，得MN=FM⋅CDFD=1.7×13≈0.57(m)，由此即可求解；
（2）根据题意得到摩托车反应时的路程，结合汽车、摩托车刹车距离即可求解．
【解答】解：（1）①根据题意，AB⊥BF于点B，CD⊥BF于点D，该点与车头水平距离DE＝0.5m，驾驶员与车头水平距离BE＝2m，
∴AB∥CD，BD＝BE﹣DE＝2﹣0.5＝1.5（m），
∴△FCD∽△FAB，
∴FDFB=CDAB，
∵FB＝FD+BD＝FD+1.5，
∴FDFD+1.5=11.5，
解得：FD＝3（经检验，FD＝3是原方程的解，且符合题意），
∴EF＝FD﹣DE＝3﹣0.5＝2.5（m）；
②驾驶员不能观察到物体；理由如下：
如图2，过点M作MN⊥FB交AF于点N，则FM＝EF﹣ME＝2.5﹣0.8＝1.7（m），
∵FD＝3m，
∴MD＝ME+DE＝0.8+0.5＝1.3（m），
∵∠F＝∠F，∠FMN＝∠FDC＝90°，
∴△FMN∽△FDC，
∴MNCD=FMFD，
∴MN=FM⋅CDFD=1.7×13≈0.57(m)，
∵0.57＞0.5，
∴不能观察到物体；
（2）摩托车的速度为72km/h＝20m/s，
∴摩托车在1.2s的反应时间里的行驶路程为：20×1.2＝24（m），
由题意可得：24+42﹣32+5＝39（m），
∴摩托车应与小汽车至少保持39m的距离，才不会闯入小汽车的车尾盲区，
故答案为：39．
【点评】本题属于相似形综合题，主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的性质是解答本题的关键．
五．解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分.
22．【新定义】“等距截线”
定义：在平面直角坐标系中，对于抛物线y＝ax2+bx+c和直线y＝m，若抛物线与直线有两个不同的交点，则这两个交点之间的线段称为“截线段”，截线段的长度称为“截距”．
若抛物线的顶点到直线y＝m的距离恰好等于截距的一半，则称该抛物线关于直线y＝m具有“等距截线性质”．
（1）判断抛物线y＝x2﹣6x+8是否关于直线y＝3具有“等距截线性质”，并说明理由．
（2）已知抛物线y＝x2﹣4x+k关于直线y＝2具有“等距截线性质”，求k的值．
（3）已知抛物线y＝x2﹣2ax+a2+b关于直线y＝4具有“等距截线性质”，且截距为2．
①求b的值；
②若点P是抛物线上位于直线y＝4上方的一个动点，点Q是抛物线上位于直线y＝4下方的一个动点，若P、Q关于直线y＝4对称，直接写出PQ的最大值．
【分析】（1）先求抛物线顶点到直线的距离，再求截距，验证是否满足“顶点到直线的距离等于截距的一半”；
（2）根据定义列方程，即可求解参数k；
（3）①先写出抛物线顶点式，结合定义和截距列方程求b；
②利用对称性表示PQ的长度，结合Q的纵坐标范围即可求最大值．
【解答】解：（1）不具有“等距截线性质”；理由如下：
先将抛物线配方：y＝x2﹣6x+8＝（x﹣3）2﹣1，
顶点坐标为（3，﹣1），顶点到直线y＝3的距离为：|3﹣（﹣1）|＝4，
联立抛物线与直线y＝3的方程：x2﹣6x+8＝3，
解得x1＝1，x2＝5，截距为|5﹣1|＝4，
截距的一半为4÷2＝2，而顶点到直线的距离为4，4≠2，
因此不具有“等距截线性质”；
（2）已知抛物线y＝x2﹣4x+k关于直线y＝2具有“等距截线性质”：
配方得：y＝（x﹣2）2+k﹣4
顶点坐标为（2，k﹣4），顶点到直线y＝2的距离为：|2﹣（k﹣4）|＝|6﹣k|
联立抛物线与直线y＝2的方程：x2﹣4x+k＝2，
设两根为x1，x2，由韦达定理，x1+x2＝4，x1x2＝k﹣2，
截距为：|x1−x2|=(x1+x2)2−4x1x2=16−4(k−2)=24−4k，
根据定义，顶点到直线的距离等于截距的一半：|6−k|=1224−4k
令t＝6﹣k（t＞0）（因为抛物线开口向上，顶点在直线下方），则k＝6﹣t，
代入得：t=1224−4(6−t)=124t=t，
解得t＝1（t＝0舍去），故k＝6﹣1＝5；
（3）已知抛物线y＝x2﹣2ax+a2+b关于直线y＝4具有“等距截线性质”，且截距为2：
①配方得：y＝（x﹣a）2+b
顶点坐标为（a，b），顶点到直线y＝4的距离为|4﹣b|，
根据定义，距离等于截距的一半，即|4−b|=12×2=1，解得b＝3或b＝5，
又因为抛物线开口向上，顶点在直线y＝4下方（否则截距不存在或不符合定义），
故b＝3；
②由①得抛物线为y＝（x﹣a）2+3，P，Q关于直线y＝4对称，
设P（x，y），则Q（x，8﹣y），
∵抛物线y＝（x﹣a）2+3，
∴抛物线的最低点即顶点为（a，3），
∵P在y＝4上方，Q在y＝4下方，
∴3≤8﹣y＜4，解得4＜y≤5，
∴PQ的长度为：PQ＝y﹣（8﹣y）＝2y﹣8，
∴0＜2y﹣8≤2，即PQ的最大值为2．
【点评】本题考查二次函数的新定义问题，解题关键是理解“等距截线性质”的定义，结合二次函数的顶点坐标、与直线的交点坐标进行计算，同时利用二次函数的对称性和性质求解最值．
23．（1）理解应用
如图1，在正方形ABCD中，AD＝4，DE＝1，BE与AC交于点F，求BF的长度；
（2）问题探究
如图2，在矩形ABCD中，过B作AC的垂线交AC于点F，交AD于点E，DE=14AD．试猜想AB与AD的数量关系，并说明理由；
（3）拓展延伸
如图3，在▱ABCD中，点A（﹣3，4），点B（1，﹣4），点D（5，4），AB与y轴交于点M，点P从B点出发沿BA、AD运动，过点P作BC的垂线，过点M作BC的平行线，两线相交于点N，将△PNM沿PM翻折得到△PTM，若点T落在x轴上，求P点的坐标．
【分析】（1）根据正方形的性质及相似三角形的判定得出△AEF∽△CBF，确定34=EFBF，BE＝5，即可求解；
（2）根据各角之间的关系得出∠AEF＝∠BAF，再由相似三角形的判定和性质即可得出结果；
（3）根据题意，先确定直线AB所在直线的函数解析式为y＝﹣2x﹣2，得出MO＝2，OF＝1，然后分三种情况分析：当点P在线段AB上时，当点P经过点A到线段AD上时，当点P在线段AD上，经过y轴到第一象限时，分别作出图形，然后利用相似三角形的判定和性质求解即可．
【解答】解：（1）在正方形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC＝AB＝4，
∴△AEF∽△CBF，
∴AEBC=EFBF，
∵DE＝1，
∴AE＝3，
∴BE＝5，
∴34=EFBF，
∴BF=47BE=207；
（2）在矩形ABCD中，∠DAB＝∠ABC＝90°，
∴∠ABF+∠AEF＝90°，
∵BE⊥AC，
∴∠BFA＝90°，
∴∠ABF+∠BAF＝90°，
∴∠AEF＝∠BAF，
∵∠DAB＝∠ABC，
∴△AEB∽△BAC，
∴AEBA=ABBC，
∴DE=14AD，
∴AE=34AD=34BC，
∴34BCBA=ABBC，
∴ABBC=ABAD=32；
（3）∵点A（﹣3，4），点B（1，﹣4），
∴设直线AB所在直线的函数解析式为：y＝kx+b，
代入得：4=−3k+b−4=k+b，
解得：k=−2b=−2，
∴y＝﹣2x﹣2，
设直线AB交x轴于点F，
当x＝0时，y＝﹣2，当y＝0时，x＝﹣1，
∴M（0，﹣2），F（﹣1，0），
∴MO＝2，OF＝1，
当点P在线段AB上时，如图所示：
设QF＝a，则OQ＝a+1，过点A作AH⊥CB于点H，
∵点A（﹣3，4），点B（1，﹣4），
∴AH＝8，BH＝4，
∴tan∠ABH＝2，
根据题意得：BC∥x轴，四边形OQNM为矩形，
∴∠ABH＝∠PFQ，OQ＝NM＝a+1，QN＝OM＝2，
∴PQ＝2a，PN＝2a+2，
由折叠可知MT＝MN＝a+1，PT＝PN＝2a+2，∠PTM＝∠PNQ＝90°，
∴∠PTQ+∠OTM＝90°，
∴∠PQT＝90°，
∴∠PTQ+∠TPQ＝90°，
∴∠OTM＝∠TPQ，
∴△OTM∽△QPT，
∴OTPQ=MTPT=OMQT，即OT2a=a+12a+2，
解得：OT＝a，
∴TQ＝QF+OF+OT＝2a+1，
∴MTPT=OMQT，即a+12a+2=22a+1，
解得：a=32，
∴OQ=a+1=52＞1，PQ＝2a＝3，
∴点P在第二象限，
∴P(−52，3)；
当点P经过点A到线段AD上时，如图所示：
∴PQ＝4，PN＝4+2＝6，
设MN＝x，
由折叠可知MT＝MN＝x，PT＝PN＝6，
∴QT=PT2−PQ2=25，
同理得：△OTM∽△QPT，
∴OTPQ=MTPT=OMQT，即225=x6，
解得：x=655，
∴点P在第二象限，
∴P(−655，4)；
当点P在线段AD上，经过y轴到第一象限时，如图所示：
∴PQ＝4，PN＝4+2＝6，
设MN＝x，
由折叠可知MT＝MN＝x，PT＝PN＝6，
∴QT=PT2−PQ2=25，
同理得：△OTM∽△QPT，
∴OTPQ=MTPT=OMQT，即225=x6，
解得：x=655，
∴点P在第一象限，
∴P(655，4)；
综上可得：P点的坐标为(−52，3)或(−655，4)或(655，4)．
【点评】本题主要考查正方形、矩形的性质、勾股定理、坐标与图形性质、相似三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
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题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A．
B
B
B
D
A
B
A
D
B
能量
碳水化合物（克）
热量（千卡）
钠（毫克）
钾（毫克）
A
？
120
35
20
B
？
90
40
15
调查主题
不同年龄段的人群对新能源汽车的了解情况
调查对象及年龄段划分
1．调查对象：小唯家所在小区内不同年龄段的人群
2．年龄段划分：少年（10～17岁）、青年（18～44岁）、中年（45～59岁）、老年（60岁及以上）
调查方式
抽样调查
调查地点
小唯家所在小区
调查数据的收集、整理与描述
对新能源汽车了解情况的调查问卷
您对新能源汽车的了解程度是（只选一项，在其后的括号内打“√”）
A．不知道什么是新能源汽车（ ）
B．知道什么是新能源汽车，但没有体验过（ ）
C．知道什么是新能源汽车，有一些体验经历（ ）
D．非常了解，我是新能源汽车车主（ ）
对新能源汽车了解情况统计表
了解程度
A
B
C
D
少年
20
40
140
0
青年
10
a
50
200
中年
10
60
160
b
老年
60
60
70
10
调查结论