2025年小升初数学核心考点讲练(通用版)专题21公因数和公倍数问题(学生版+解析)

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（思维导图+知识梳理+40道真题特训）
1、公倍数指在两个或两个以上的自然数中，如果它们有相同的倍数，这些倍数就是它们的公倍数．
2、给定若干个正整数，如果他们有相同的因数，那么这个（些）因数就叫做它们的公因数．
3、求几个数的最大公因数
（1）分别分解各个数的质因数，然后比较出公共的质因数相乘．
（2）用短除法，写短除算式，道理与第一种方法相似，只是找公共因数的过程与除法过程合并了．
4、求几个数的最小公倍数。
（1）分解质因数法：先把这几个数分解质因数，再把它们一切公有的质因数和其中几个数公有的质因数以及每个数的独有的质因数全部连乘起来，所得的积就是它们的最小公倍数．
（2）公式法．由于两个数的乘积等于这两个数的最大公约数与最小公倍数的积．即（a，b）×[a，b]=a×b．所以，求两个数的最小公倍数，就可以先求出它们的最大公约数，然后用上述公式求出它们的最小公倍数．
一、填空题
1．一条长96米的直路的两边栽树（路的两头都栽），原计划每4米栽一棵，树苗分完之后，发现树之间的距离太近，于是改成每6米栽一棵，有( )棵树苗不需要移动。
【答案】18
【分析】先计算一边的情况，全长96米，每4米栽一棵，则从一端算起，栽的位置都是4的倍数；后来改成每6米栽一棵，则从同一端算起，栽的位置都是6的倍数，那么如果这个位置既是4的倍数，又是6的倍数，即4和6的公倍数，则不需要移动。4和6的最小公倍数是12，即每12米，就有1棵不需要移动，再加上起点的1棵，即可算出一边不需要移动的棵数。最后再乘2，求出两边一共有多少棵树苗不需要移动。
【解答】
96÷12＝8（棵）
8＋1＝9（棵）
9×2＝18（棵）
所以有18棵树苗不需要移动。
【点评】本题是一道植树问题和公倍数问题的综合题，公倍数的位置的树不需要移动，同时，计算之后，不要忘记起点处的1棵树也是不需要移动的，这时这道题比较容易出错的点，需引起注意。
2．公路一边共有水杉树52棵，原来每相邻两棵树之间的距离都是8米，现在因树长大了显得较密，要把每相邻两棵树之间的距离改为12米。如果起点的树不移动，那么不需要移动的树还有( )棵。
【答案】17
【分析】分析题目，先根据52棵树之间有（52－1）个间隔，用间隔数乘8求出公路的总长度，再求出8和12的最小公倍数是24，即每隔24米的长度对应的树是不需要移动的，据此用公路的总长度除以24，即可求出还有多少棵不需要移动的树。据此作答。
【解答】（52－1）×8
＝51×8
＝408（米）
8和12的最小公倍数是24
408÷24＝17（棵）
则不需要移动的树还有17棵。
3．五（2）班40名同学按1～40顺序编号，刘老师给所有编号是2的倍数的同学1本日记本，王老师给所有编号是3的倍数的同学1支钢笔，那么既拿到日记本又拿到钢笔的同学有( )名。
【答案】6
【分析】要找出既拿到日记本又拿到钢笔的同学，就是求1－40 中既是2的倍数又是3的倍数，也就是2和3的公倍数的个数，根据互质的两个数的最小公倍数是这两个数的乘积，先求出2和3的最小公倍数，再找出40以内2和3的公倍数的个数即可。
【解答】2和3互质，所以2和3的最小公倍数是：2×3＝6；
6×2＝12，6×3＝18，6×4＝24，6×5＝30，6×6＝36，6×7＝42
所以40以内2和3的公倍数有：6、12、18、24、30、36，共6个。
所以既拿到日记本又拿到钢笔的同学有6名。
4．五（1）班学生数在40~50人之间，在操场上排队时，6人一列或8人一列，最后都缺1人，这个班有学生( )人。
【答案】47
【分析】6人一列或8人一列，最后都缺1人，说明总人数比6和8的公倍数少1，求出6和8的最小公倍数，最小公倍数分别乘1、2、3……，找到40~50之间的公倍数，减去1即可。全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数。
【解答】6＝2×3、8＝2×2×2
2×2×2×3＝24
24×2＝48
40＜48＜50
48－1＝47（人）
这个班有学生47人。
5．小丽和妈妈在同一圆形跑道上跑步，小丽每15分跑一圈，妈妈每10分跑一圈。她们早上6：00从同一地点同向起跑，那么她们再次在起点相遇时是( )。
【答案】6：30
【分析】想要找出再次起点相遇的时间，就是找15和10的最小公倍数，求出需要经过多长时间可以再次相遇，之后再用6：00加上经过的时间即可求解。
【解答】15的倍数：15、30、45……
10的倍数：10、20、30、40……
所以15和10的最小公倍数是30
即再经过30分钟相遇。
6：00＋30分＝6：30
那么她们再次在起点相遇时是6：30。
6．1路和2路公共汽车在早上7时同时从站里发车，1路车每8分钟发一辆车，2路车每10分钟发一辆车。将1路和2路车的发车时刻表填入下表并回答问题。
（1）（ ）这两路车第二次同时发车。（填时间）
（2）除了列表法解决这问题，还可以求（ ）。
【答案】7：16；7：24；7：32；7：40；7：48
7：20；7：30；7：40；7：50；8：00
（1）7：40
（2）8和10的最小公倍数
【分析】已知1路车每8分钟发一辆车，依次用1路车前一次发车的时刻加上8分钟，得出1路车下一次的发车时刻，据此填表。
已知2路车每10分钟发一辆车，依次用2路车前一次发车的时刻加上10分钟，得出2路车下一次的发车时刻，据此填表。
（1）从表格中找出两车第二次相同的时刻，即是这两路车第二次同时发车的时刻。
（2）因为两路车发车的分钟时刻分别是8的倍数、10的倍数重复下去，所以算出8、10的最小公倍数，再加上两路车第一次同时发车的时刻，即可求出这两路车第二次同时发车的时刻。
【解答】填表如下：
（1）（7：40）这两路车第二次同时发车。
（2）8＝2×2×2
10＝2×5
8和10的最小公倍数是：2×2×2×5＝40
即每40分钟两路车同时发车。
7时＋40分＝7时40分
7：40这两路车第二次同时发车。
所以，除了列表法解决这问题，还可以求（8和10的最小公倍数）。
7．阅以修身，读以养性。班级图书角新买回一些《名人传记》，妙妙发现这些书无论是2本2本地数，3本3本地数还是5本5本地数都正好数完。这些书至少有( )本。
【答案】30
【分析】已知这些书无论是2本2本地数，3本3本地数还是5本5本地数都正好数完，这意味着《名人传记》的总数是2、3、5的公倍数。求这些书至少有多少本就是求2、3、5的最小公倍数，因为2、3、5这三个数两两互质（即除了1以外，没有其他的公因数）。根据求最小公倍数的方法，当几个数两两互质时，它们的最小公倍数就是这几个数的乘积，据此解答。
【解答】2×3×5
＝6×5
＝30（本）
这些书至少有30本。
8．10月16日是世界粮食日。实验小学五年级同学参加节约粮食宣传活动，如果每6名或每7名同学分一组，都多出2名同学，参加宣传活动的至少有( )名同学。
【答案】44
【分析】每6名或每7名同学分一组，都多出2名同学，说明总人数最少比6和7的最小公倍数多2，两数互质，最小公倍数是两数的积，据此求出6和7的最小公倍数，加2即可。
【解答】6×7＋2
＝42＋2
＝44（名）
参加宣传活动的至少有44名同学。
9．张老师领回24瓶洗手液和32袋消毒湿巾，刚好平分给五年级每个班，且没有剩余。五年级最多可能有( )个班，每个班分得洗手液( )瓶，消毒湿巾( )袋。
【答案】8 3 4
【分析】由题意可知，五年级最多可能有的班数是24和32的最大公因数，可用短除法先求出最大公因数，再根据平均分用除法计算，用24和32分别除以这个最大公因数即可得解。
【解答】
（班）
（瓶）
（袋）
张老师领回24瓶洗手液和32袋消毒湿巾，刚好平分给五年级每个班，且没有剩余。五年级最多可能有8个班，每个班分得洗手液3瓶，消毒湿巾4袋。
10．锦程小学的航模社团有25名男生和20名女生，张老师准备把他们分成每组中男生人数相等，女生人数也相等的合作小组，则每组至少有( )人，分成了( )个合作小组。
【答案】9 5
【分析】要使每组男生的人数相同，女生的人数也相同，最多分几组，只要求出25和20的最大公因数；每组的人数用总人数除以组数即可得解。
【解答】25＝5×5
20＝2×2×5
25和20的最大公因数是5，分成了5组。
（25＋20）÷5
＝45÷5
＝9（人）
锦程小学的航模社团有25名男生和20名女生，张老师准备把他们分成每组中男生人数相等，女生人数也相等的合作小组，则每组至少有9人，分成了5个合作小组。
11．花店阿姨准备用56枝玫瑰和40枝康乃馨扎成花束。要使每束花里玫瑰的枝数相同，康乃馨的枝数也相同，且所有的花正好分完没有剩余，最多可以扎( )束花束，每束花最少有( )枝花。
【答案】8 12
【分析】根据题意，所有的花正好分完没有剩余，就是扎的花束的数量能同时被56和40整除，即就是找出56和40的公因数，即最大的就是最多的花束数量。花束数量最大时，每束花的总枝数最少，则分别用56和40除以花束数量即可求出玫瑰花和康乃馨在每束花中的数量，相加即可。
【解答】56的因数：1、2、4、7、8、14、28、56；
40的因数：1、2、4、5、8、10、20、40；
56和40的公因数是1、2、4、8，最大公因数是8。
56÷8＝7（枝）
40÷8＝5（枝）
7＋5＝12（枝）
则最多可以扎8束花束，每束花最少有12枝花。
12．有两根木料，一根长12米，另一根长18米，现在要把它们截成长度相等的若干小段，每段不能有剩余，每小段最长( )米，两根木料一共可以截成( )段。
【答案】6 5
【分析】根据题意，把两根长12米、18米的木料截成长度相等的若干小段，每段不能有剩余，那么每小段的长度是12和18的公因数；求每小段最长的长度，就是求12和18的最大公因数；
先把12和18分解质因数，再把公有的相同质因数乘起来就是它们的最大公因数；
再看12、18里面分别有几个这样的最大公因数，最后相加，即是一共可以截成几段。
【解答】12＝2×2×3
18＝2×3×3
12和18的最大公因数是：2×3＝6
即每小段最长是6米。
18÷6＋12÷6
＝3＋2
＝5（段）
每小段最长6米，两根木料一共可以截成5段。
13．要将长分别为15cm、21cm、33cm的小棒截成同样长的小棒且不剩余，每根小棒最长( )cm。
【答案】3
【分析】将不同长度的3根小棒截成同样长的小棒且不剩余，每根小棒最长应该是3根小棒长度的最大公因数，全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这几个数的最大公因数。
【解答】15＝3×5
21＝3×7
33＝3×11
15、21和33的最大公因数是3。
每根小棒最长3cm。
14．学校组织96名五年级学生和84名六年级学生去春游，要求各自分组，两个年级每组人数要相同，每组最多( )人，六年级分成了( )组。
【答案】12 7
【分析】96名五年级学生和84名六年级学生，两个年级每组人数要相同，每组的人数是两个年级人数的公因数，求每组的最多人数就是求96和84的最大公因数，分成的组数＝总人数÷每组的人数，据此解答。
【解答】96＝2×2×2×2×2×3
84＝2×2×3×7
96和84的最大公因数是：2×2×3＝12。
84÷12＝7（组）
所以，每组最多12人，六年级分成了7组。
15．花店要用48朵向日葵和72朵康乃馨扎花束，不能有剩余。如果每束花中向日葵的数量要相等，康乃馨的数量也要相等，这种花束中至少有( )朵花。
【答案】5
【分析】由题意可知：求48与72的最大公因数，就是可以扎成花束的数量，根据求最大公因数的方法：两个数的公有质因数的连乘积；再用向日葵的数量除以花束数量，就是每束花中向日葵的数量，用康乃馨的数量除以花束的数量，就是每束花中康乃馨的数量，再把它们相加，即可解答。
【解答】48＝2×2×2×2×3
72＝2×2×2×3×3
48和72的最大公因数是2×2×2×3＝24
48÷24＋72÷24
＝2＋3
＝5（朵）
花店要用48朵向日葵和72朵康乃馨扎花束，不能有剩余。如果每束花中向日葵的数量要相等，康乃馨的数量也要相等，这种花束中至少有5朵花。
二、选择题
16．把一张长24厘米、宽18厘米的长方形纸，剪成大小相等的小正方形，小正方形尽可能大且没有剩余。一共可以剪（ ）个。
A．15B．12C．9D．3
【答案】B
【分析】根据题意，剪成的小正方形的边长是24和18的最大公因数；根据求最大公因数的方法：两个数的公有质因数的连乘积就是这两个是的最大公因数；如果两个数为倍数关系，最大公因数为较小的那个数；如果两个数为互质数，最大公因数是1；求出正方形的边长；再根据长方形面积公式：面积＝长×宽，正方形面积公式：面积＝边长×边长，分别求出长方形纸的面积和剪的正方形的面积，再用长方形纸的面积÷剪的正方形的面积，即可解答。
【解答】24＝2×2×2×3
18＝2×3×3
24和18的最大公因式是2×3＝6；
剪成的正方形的边长是6厘米。
（24×18）÷（6×6）
＝432÷36
＝12（个）
把一张长24厘米、宽18厘米的长方形纸，剪成大小相等的小正方形，小正方形尽可能大且没有剩余。一共可以剪12个。
故答案为：B
17．学校组织春游，五（1）班有48人，五（2）班有54人，如果把两个班的都平均分成若干组，要使两个班每组的人数相等，每组最多有（ ）人。
A．2B．3C．6D．8
【答案】C
【分析】根据题意，两个班的总人数都平均分成若干组，要使两个班每组的人数相等，那么每组最多的人数就是两班总人数的最大公因数；先把48和54分解质因数，然后把公有的相同质因数乘起来就是它们的最大公因数，据此解答。
【解答】48＝2×2×2×2×3
54＝2×3×3×3
48和54的最大公因数是：2×3＝6
即每组最多有6人。
故答案为：C
18．把一张长72cm，宽60cm的长方形纸，裁成同样大小、面积尽可能大的正方形纸，且纸无剩余，至少能裁（ ）张。
A．2B．4C．30D．6
【答案】C
【分析】把一块长方形纸裁成同样大小、面积尽可能大的正方形，且没有剩余，说明正方形的边长是长、宽的最大公因数，把72、60分解质因数后，把公有的相同质因数乘起来就是最大公因数，即是正方形的最大边长。再看长、宽里面分别有几个这样的最大公因数，最后相乘，即可求出至少能裁的张数。
【解答】72＝2×2×2×3×3
60＝2×2×3×5
72和60的最大公因数是：2×2×3＝12
即正方形的边长最大是12cm。
72÷12＝6（张）
60÷12＝5（张）
一共：6×5＝30（张）
至少能裁30张。
故答案为：C
19．学校开展劳动教育特色课程叠衣服比赛。参赛学生每人分得相同数量的上衣和相同数量的长裤，最多能有（ ）名学生同时参赛。
A．8B．12C．24
【答案】C
【分析】参赛学生每人分得相同数量的上衣和相同数量的长裤，因此参赛人数必须是上衣和裤子数量的公因数，最多参赛人数是上衣和裤子数量的最大公因数。全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这几个数的最大公因数。
【解答】48＝2×2×2×2×3
72＝2×2×2×3×3
2×2×2×3＝24（名）
最多能有24名学生同时参赛。
故答案为：C
20．曹阿姨做了48个青团和36个艾饺，打算平均分给一些朋友。如果青团和艾饺都没有剩余，且保证分到青团和艾饺的朋友人数相同，最多能分给（ ）个朋友。
A．6B．12C．24
【答案】B
【分析】根据题意，48个青团和36个艾饺正好平均分完，且没有剩余，那么分给最多的人数就是48和36的最大公因数。
48、36分解质因数后，把公有的相同质因数乘起来就是它们的最大公因数，也就是最多的人数。
【解答】48＝2×2×2×2×3
36＝2×2×3×3
48和36的最大公因数是：2×2×3＝12
即最多能分给12个朋友。
故答案为：B
21．五（1）班开展植树活动。老师把同学们分成几个小组分配任务，他发现每组分5人还剩1人，每组分8人也还剩1人。参加植树活动的同学至少有（ ）人。
A．39B．40C．41D．42
【答案】C
【分析】要求出参加植树活动的同学至少有多少人，需要先找到5和8的最小公倍数，再加上剩余的1人。
【解答】5和9互质，所以5和8的最小公倍数是5×8＝40，40＋1＝41（人）
所以参加植树活动的同学至少有41人。
故答案为：C
22．王阿姨家的君子兰每6天需浇一次水，月季每4天需浇一次水。王阿姨4月2日给君子兰和月季同时浇了水，下一次再给这两种花同时浇水应是4月（ ）日。
A．26B．24C．14D．12
【答案】C
【分析】先求出两种花间隔天数的最小公倍数，根据两个数最小公倍数的求法：两个数的公有质因数与每一个数的独有质因数的连乘积，就是两个数的最小公倍数；如果两个数为倍数关系，最小公倍数为较大的那个数；如果两个数为互质数，最小公倍数就是几个数的乘积；再根据起点时间＋经过时间＝终点时间，推算出下次同时浇水日期。
【解答】6＝2×3
4＝2×2
6和4的最小公倍数是：2×3×2＝12
4月2日＋12天＝4月14日
王阿姨家的君子兰每6天需浇一次水，月季每4天需浇一次水。王阿姨4月2日给君子兰和月季同时浇了水，下一次再给这两种花同时浇水应是4月14日。
故答案为：C
23．聪聪和明明两人到图书馆去借书，聪聪每4天去一次，明明每5天去一次。如果3月20日他们两人在图书馆相遇，那么他们下一次同时到图书馆的时间是（ ）。
A．4月8日B．4月9日C．4月10日D．4月11日
【答案】B
【分析】已知聪聪每4天去一次，明明每5天去一次，那么两人在图书馆相遇的间隔天数就是4和5的公倍数；先求出4和5的最小公倍数，再加上第一次两人在图书馆相遇的日期，即是他们下一次同时到图书馆的日期。
【解答】4和5的最小公倍数是：4×5＝20
即每20天两人就在图书馆相遇。
3月20日＋20天＝4月9日
那么他们下一次同时到图书馆的时间是4月9日。
故答案为：B
24．某班的学生不论分成6人一组还是7人一组，都刚好分完，则下面各数中，（ ）可能是这个班的人数。
A．30B．48C．40D．42
【答案】D
【分析】根据题意，不论分成6人一组还是7人一组，都刚好分完，说明这个班的人数是6和7的公倍数，先求出6和7的最小公倍数，再找出这个最小公倍数的倍数，然后看三个选项中的数是否是这个最小公倍数的倍数，进而得解。
【解答】6和7的最小公倍数是：
某班的学生不论分成6人一组还是7人一组，都刚好分完，则下面各数中，42可能是这个班的人数。
故答案为：D
25．六一儿童节，5（3）班老师给表演节目的同学分糖果，不管是每人分3颗还是每人分5颗，最后都还剩余1颗。糖果总数可能是（ ）颗。
A．60B．61C．62D．63
【答案】B
【分析】每人分3颗还是每人分5颗，最后都还剩余1颗，说明总颗数比3和5的公倍数多1，将各选项颗数减去1，是3和5的公倍数即可。
【解答】A．60－1＝59（颗），59不是3的倍数，也不是5的倍数，排除；
B．61－1＝60（颗），60是3和5的公倍数，符合；
C．62－1＝61（颗），61不是3的倍数，也不是5的倍数，排除；
D．63－1＝62（颗），62不是3的倍数，也不是5的倍数，排除。
糖果总数可能是61颗。
故答案为：B
三、解答题
26．把一张长20厘米、宽16厘米的长方形纸裁成同样大的正方形，纸没有剩余，最少能裁成多少个正方形？
【答案】20个
【分析】根据题意，最少能裁成正方形的个数，则正方形的边长是20和16的最大公因数；根据求最大公因数的方法：两个数的公有质因数的连乘积就是这两个是的最大公因数；如果两个数为倍数关系，最大公因数为较小的那个数；如果两个数为互质数，最大公因数是1；据此求出正方形的边长；再根据长方形面积公式：面积＝长×宽；正方形面积公式：面积＝边长×边长，代入数据，求出长方形纸的面积和裁成正方形的面积，再用长方形面积÷正方形面积，即可解答。
【解答】20＝2×2×5
16＝2×2×2×2
20和16的最大公因数是：2×2＝4；正方形的边长是4厘米。
（20×16）÷（4×4）
＝320÷16
＝20（个）
答：最少能裁成20个正方形。
27．学校买来40支圆珠笔和50本练习本，平均奖给六年级的三好学生，结果圆珠笔多4支，练习本多2本。六年级的三好学生最多有多少名？
【答案】
12名
【分析】由题意可知，奖给每个学生的圆珠笔的数量、练习本的数量是相同的，这个数量是奖给学生的圆珠笔的总数量的因数，也是练习本总数量的因数，也就是圆珠笔总数量和练习本总数量的公因数；根据圆珠笔现有40支，结果多了4支，用40－4＝36（支），求出需要的圆珠笔的总数量；根据现有50本练习本，练习本多出2本，用50－2＝48（本），求出需要的练习本的总数量，要求评出的三好学生最多是多少人，也就是求36和48的最大公因数。
【解答】40－4＝36（支）
50－2＝48（本）
2×2×3＝12，36和48的最大公因数是12。
答：六年级的三好学生最多有12名。
28．有85个橘子和51个苹果。如果要把这些水果分装在塑料袋中，要求每个塑料袋中两种水果都有，并且同种水果个数相同，最多要准备多少个塑料袋？每个塑料袋中有几个橘子、几个苹果？
【答案】17个塑料袋；5个橘子；3个苹果
【分析】根据题意，把85个橘子和51个苹果分装在塑料袋中，要求每个塑料袋中两种水果都有，并且同种水果个数相同，则塑料袋的数量是85和51的公因数；求最多要准备多少个塑料袋，就是求85和51的最大公因数；
先把85和51分解质因数后，把它们公有的相同质因数乘起来就是最大公因数，也就是最多要准备塑料袋的数量。再看橘子、苹果里分别有几个这样的最大公因数，即可求出每个塑料袋中有橘子、苹果的个数。
【解答】85＝5×17
51＝3×17
85和51的最大公因数是17；
即最多要准备17个塑料袋。
橘子：85÷17＝5（个）
苹果：51÷17＝3（个）
答：最多要准备17个塑料袋，每个塑料袋中有5个橘子、3个苹果。
29．将一张长32厘米、宽24厘米的长方形纸，剪成同样大小、边长为整厘米数的正方形，且没有剩余，有多少种不同的剪法？正方形的边长最大是多少厘米？（在图中画一画）
【答案】4种；8厘米
【分析】把一张长方形纸剪成同样的正方形且没有剩余，说明正方形的边长是长、宽的公因数；先列举出32和24的所有因数，从中找出两个数公有的因数，也就是正方形可能的边长，进而得出有几种不同的剪法，其中最大的公因数就是正方形最大的边长。
【解答】32的因数：1，2，4，8，16，32；
24的因数：1，2，3，4，6，8，12，24；
32和24的公因数：1，2，4，8；
即正方形的边长可能是1厘米、2厘米、4厘米、8厘米，所以有4种不同的剪法。
32和24的最大公因数是8，则正方形的边长最大是8厘米。
如图：
答：有4种不同的剪法，正方形的边长最大是8厘米。
30．端午节是我国的传统节日，被列入国家级非物质文化遗产名录。在端午节，红红和奶奶包了45个红枣粽和37个肉粽，并把它们分别分给了几个亲戚，结果红枣粽正好分完，肉粽还剩1个。红红和奶奶把粽子最多平均分给了几个亲戚？
【答案】9个
【分析】根据题意可知，几个亲戚实际分了45个红枣粽和37－1＝36（个）肉粽，求最多平均分给几个亲戚，也就是求45和36的最大公因数，据此即可解答。
【解答】37－1＝36（个）
45＝3×3×5
36＝2×2×3×3
所以45和36的最大公因数是：3×3＝9，即最多平均分给9个亲戚。
答：红红和奶奶把粽子最多平均分给了9个亲戚。
31．随着造纸工艺的进步，纸的用途也越来越多。王师傅要用正方形壁纸贴满一面背景墙（使用的壁纸必须都是整块），背景墙长40分米，高24分米，王师傅可以把壁纸裁剪成边长是几分米的正方形？边长最大是几分米？
【答案】边长是1分米、2分米、4分米或8分米的正方形；边长最大是8分米
【分析】要使用边长是整分米的正方形壁纸贴满一面背景墙，则需要求出背景墙长、宽的公因数，运用求一个数的因数方法分别求出40和24的因数，再找出它们的公因数，其中最大公因数即为壁纸最大的边长。
【解答】40＝1×40＝2×20＝4×10＝5×8
24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6
40和24的公因数有1，2，4，8，最大公因数为8。
答：王师傅可以把壁纸裁剪成边长是1分米、2分米、4分米或8分米的正方形；边长最大是8分米。
32．有三根木料，它们的长度分别是120厘米、180厘米和300厘米。现在要把它们截成相等的小段，每根木料都不能有剩余，每小段最长多少厘米？一共可以截成多少段？
【答案】60厘米；10段
【分析】已知三根木料的长度，要把它们截成相等的小段，每根木料都不能有剩余，则每小段最长的是3个数的最大公因数，求出最大公因数，再用总长度除以最大公因数就等于可截成的段数，据此解答。
【解答】
最大公因数＝30×2＝60，所以每小段最长是60厘米。
（120＋180＋300）÷60
＝600÷60
＝10（段）
答：每小段最长60厘米，一共可截成10段。
33．公路一边共有水杉树52棵，原来每相邻两棵树之间的距离都是8米，现在因树长大了显得较密，要把每相邻两棵树之间的距离改成12米。如果起点的树不移动，那么不需要移动的树还有多少棵？
【答案】17棵
【分析】分析题目，先根据52棵树之间有（52－1）个间隔，用间隔数乘8求出公路的总长度，再求出8和12的最小公倍数是24，即每隔24米的长度对应的树是不需要移动的，据此用公路的总长度除以24即可解答。
【解答】（52－1）×8
＝51×8
＝408（米）
8和12的最小公倍数是24，
408÷24＝17（棵）
答：不需要移动的树还有17棵。
34．甲、乙两人到图书馆借书，甲每4天去一次，乙每5天去一次。如果7月1日甲、乙两人在图书馆相遇，那么他们下一次同一天去图书馆是几月几日？
【答案】7月21日
【分析】两人同时去图书馆借书的间隔时间是两人借书间隔时间的最小公倍数，求出两人借书间隔时间的最小公倍数，根据起点时间＋经过时间＝终点时间，推算出下一次同一天去图书馆的时间即可。两数互质，最小公倍数是两数的积。
【解答】4×5＝20（天）
7月1日＋20天＝7月21日
答：他们下一次同一天去图书馆是7月21日。
35．永新汽车站开往金沙方向的客车每10分钟发一次车，开往农场方向的客车每12分钟发一次车。某时刻开往这两个方向的客车同时发车后，至少再过多少分钟又同时发车？
【答案】60分钟
【分析】求两个方向的汽车在同一时刻发车后，至少再过多少分钟又同时发车，即求10、12的最小公倍数；两个数的公有质因数与每一个数的独有质因数的连乘积，就是两个数的最小公倍数；如果两个数为倍数关系，最小公倍数为较大的那个数；如果两个数为互质数，最小公倍数就是两个数的乘积；据此解答。
【解答】10＝2×5
12＝2×2×3
10和12的最小公倍数是2×5×2×3＝60，至少再过60分钟又同时发车。
答：至少再过60分钟又同时发车。
36．士兵们在操练，韩信前来点兵。他发现每行6人，最后一行缺1人；每行4人或5人，最后一行也都缺1人。算一算，这批士兵至少有多少人？
【答案】59人
【分析】根据题意可知，这批士兵人数是6的倍数加上1人；4的倍数加上1人；5的倍数加上1人，也就是6，4，5最小公倍数减去1，根据求最小公倍数的方法：几个数的共有质因数与每一个数独有质因数的连乘积；如果这几个数是倍数关系，最小公倍数为较大的那个数；如果这几个数是互质数，最小公倍数为几个数的连乘积，据此解答。
【解答】6＝2×3
4＝2×2
5＝1×5
6，4，5的最小公倍数是3×2×2×5＝60。
60－1＝59（人）
答：这批士兵至少有59人。
37．用若干张长12厘米、宽8厘米的长方形彩纸拼成一个正方形，正方形的边长最少是多少厘米？拼成这个正方形需要多少张这样的长方形彩纸？
【答案】24厘米；6张
【分析】正方形边长最小，则拼成正方形的边长是12和8的最小公倍数；两个数的公有质因数与每一个数的独有质因数的连乘积，就是两个数的最小公倍数；如果两个数为倍数关系，最小公倍数为较大的那个数；如果两个数为互质数，最小公倍数就是几个数的乘积；据此求出拼成正方形的边长，再根据正方形面积公式：面积＝边长×边长；长方形面积公式：面积＝长×宽；用拼成正方形面积÷长方形彩纸面积，即可解答。
【解答】12＝2×2×3
8＝2×2×2
12和8的最小公倍数是2×2×3×2＝24，拼成正方形边长是24厘米。
（24×24）÷（12×8）
＝576÷96
＝6（张）
答：正方形的边长最少是24厘米，拼成这个正方形需要6张这样的长方形彩纸。
38．贵州黔南风味小吃“米扁”，是一种极具民族特色的美食，汇聚布衣族的智慧。小安的妈妈在市场买了40多千克米扁，要求商家包装。如果每8千克装一盒，正好装完，如果每12千克装一盒也正好装完，小安妈妈买了多少千克米扁？
【答案】48千克
【分析】由题可知，总数既是8的倍数又是12的倍数，且在40多千克这个范围内；先把8和12分别分解质因数，把它们公有的质因数和独有的质因数连乘起来，所得的积就是它们的最小公倍数；再用最小公倍数分别乘1、2、3，找出符合条件的倍数即可解答。
【解答】8＝2×2×2
12＝2×2×3
所以8和12的最小公倍数是：2×2×2×3＝24
24×2＝48，24×3＝72
因为妈妈在市场买了40多千克米扁，所以48符合题意。
答：小安妈妈买了48千克米扁。
39．
我们学过很多解决问题的方法，比如：画图、列表尝试、列式计算、列方程等。请你选择一种方法试一试，看看到底有多少位客人用餐。
【答案】60位
【分析】先找出2、3、4的最小公倍数为3×4＝12，再算出12个人用饭碗、汤碗、肉碗共（个），即12个人用碗13个，再算出65是13的倍数，即65÷13＝5，那么客人数量也是12的5倍，即12×5＝60（位），据此解答。
【解答】2、3、4的最小公倍数是12
12人共用碗13个：＝6＋4＋3＝13（个）
（位）
答：客人共有60位。
40．开业以来，甲、乙两种饮料销售情况的统计图如下：
（1）你建议超市老板后面一段时间将哪种饮料多进一些？为什么？
（2）甲种饮料6元/瓶，乙种饮料4元/瓶，刘老师带的钱如果都买甲种饮料，那么还剩2元；如果都买乙种饮料，也还剩2元。刘老师至少带了多少元？
【答案】（1）乙饮料；理由见详解
（2）14元
【分析】（1）观察复式折线统计图中两条折线的走势，提出建议，合理即可。
（2）根据题意，刘老师带的钱如果都买甲种饮料或都买乙种饮料，都剩2元，说明刘老师带的钱数比6和4的公倍数还多2元；
求刘老师至少带的钱数，就是求6和4的最小公倍数，用分解质因数的方法求出6和4的最小公倍数后，再加上2元即可求解。
【解答】（1）我建议超市老板后面一段时间多进乙饮料，少进甲饮料。因为乙饮料的销量呈上升趋势，甲饮料的销量呈下降趋势。
（2）6＝2×3
4＝2×2
6和4的最小公倍数是：2×2×3＝12
12＋2＝14（元）
答：刘老师带了14元。1路车
7：00
7：08
2路车
7：00
7：10
1路车
7：00
7：08
7：16
7：24
7：32
7：40
7：48
2路车
7：00
7：10
7：20
7：30
7：40
7：50
8：00
求碗问题
今有妇人河上荡杯，津吏问曰：杯何以多？妇人曰：家有宴。津吏曰：客几何？妇人曰：二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五，不知客几何？
——出自《孙子算经》
上文大概意思是：有人看到一位妇女在河边洗碗，就问她：“怎么这么多碗？”妇女回答：“家里请人吃饭。”又问她：“有多少客人啊？”妇女回答：“吃饭的时候，两个人共用一个饭碗，三个人共用一个汤碗，四个人共用一个肉碗，一共用了六十五个碗，不知道有多少位客人？”