2026年小升初数学考点专项训练--考点13：用不定方程解应用题

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【例1】一个长方体，如果长增加2厘米，则体积增加40立方厘米；如果宽增加3厘米，则体积增加90立方厘米；如果高增加4厘米，则体积增加96立方厘米，求原长方体的表面积。
【例2】工程队要铺设56米长的地下排水管道，仓库里有6米和8米长的两种管子，在材料不能浪费的前提下，有 种不同的铺法。
【例3】有大小两种货车，5辆大货车与3辆小货车一次可以运货21吨，3辆大货车与2辆小货车一次可以运货13吨。(18分)
(1)每辆大货车和每辆小货车一次各可以运货多少吨?
(2)现有这两种货车共10辆，要求一次运货不低于23吨，则其中大货车至少多少辆?
(3)目前有20吨货物需要运输，欲租用这两种货车运送，要求全部货物一次运完且每辆车必须装满，已知每辆大货车一次运货租金为400元，每辆小货车一次运货租金为200元，请列出所有的运输方案并求出最少租金。
1.【2019年·中大附4】如图，在某张桌子上放相同的木块，R=63cm，S=77cm则桌子高度为 cm。
A.68 B.69 C.70 D.71

2.【2019年·中大附2】如图，在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，再将图中的阴影部分剪拼成一个长方形，如图(2).若这个拼成的长方形的长为30，宽为20.则图(2)中第Ⅱ部分的面积是 。
3.【23广大附入学3】红、蓝两种笔的单价都是整数元，并且红笔比蓝笔贵。小明买红笔、蓝笔各一支，共用了23元。小强打算用109元来买这两种笔(也允许只买其中一种)，可是他无论怎么买，都不能把109元恰好用完。那么红笔一支_____元。
4.【23广大附大奥入学2】关于x，y的方程组(其中a，b是常数)的解为，则方程组，的解为( )。
A. B. C. D.
5.【23广大附大奥入学2】小明去商店给学校购买办公用品，若买3个记事本、7支钢笔、1把尺子共需32元钱，若买4个记事本、10支钢笔、1把尺子共需43元钱。那么，若记事本、钢笔、尺子各买一件，则需要( )。
A.8元 B.10元 C.12元 D.14元
6.【24金广实验分班】已知实数a，b，c满足2a+13b+3c=90，3a+9b+c=72，则的值为 。
考点13：不定方程的应用参考答案
【例1】一个长方体，如果长增加2厘米，则体积增加40立方厘米；如果宽增加3厘米，则体积增加90立方厘米；如果高增加4厘米，则体积增加96立方厘米，求原长方体的表面积。
【解析】设原长方体的长为，宽为，高为。
即： cm2。
【例2】工程队要铺设56米长的地下排水管道，仓库里有6米和8米长的两种管子，在材料不能浪费的前提下，有 种不同的铺法。
【答案】3
【解析】设6米长的管子有x根，8米长的管子有y根，则6x+8y=56。
成立，不成立，不成立，成立，
不成立，不成立，成立，共有3种铺法。
【例3】(二元一次方程组与不等式的实际应用)有大小两种货车，5辆大货车与3辆小货车一次可以运货21吨，3辆大货车与2辆小货车一次可以运货13吨。(18分)
(1)每辆大货车和每辆小货车一次各可以运货多少吨?
(2)现有这两种货车共10辆，要求一次运货不低于23吨，则其中大货车至少多少辆?
(3)目前有20吨货物需要运输，欲租用这两种货车运送，要求全部货物一次运完且每辆车必须装满，已知每辆大货车一次运货租金为400元，每辆小货车一次运货租金为200元，请列出所有的运输方案并求出最少租金。
【解析】(1)设一辆大货车一次运货x吨，一辆小货车一次运货y吨。
，解得
一辆大货车每次运货3吨，一辆小货车每次运货2吨。
(2)设安排m辆大货车，则安排小货车(10－m)辆。
3m+2×(10－m)≥233m+20－2m≥23m≥3
至少需要安排3辆大货车。
(3)设大货车有a辆，小货车有b辆。3a+2b=20
a，b为正整数，
①400×2+200×7=2200(元)
②400×4+200×4=2400(元)
③400×6+200×1=2600(元)
2200