湖南省邵阳市新宁县乡镇第一次月考联考2024-2025学年八年级上学期10月月考数学试题

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一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．在下列式子中是分式的是（ ）
A．a+b2B．25C．a−bπD．3m
2．若分式x+1x的值为零，则x的值是（ ）
A．−1B．0C．1D．2
3．下列分式中，是最简分式的是（ ）
A．xyx2B．3x+33x−3C．x+yx−yD．x+1x2−1
4．下列各组给出的三条线段能围成三角形的是（ ）
A．10毫米、30毫米、20毫米B．2厘米、2厘米、4.8厘米
C．18分米、22分米、50分米D．45米、10米、45米
5．三角形一边上的中线把原三角形分成两个（ ）
A．形状相同的三角形B．面积相等的三角形
C．直角三角形D．周长相等的三角形
6．将分式xy2x+y中的x，y的值都变为原来的2倍，则该分式的值（ ）
A．变为原来的2倍B．变为原来的4倍
C．不变D．变为原来的一半
7．如图，△ABC的面积为18，AD为△ABC的中线，E、F为AD的两个三等分点，连接CE、BF，则图中阴影部分的面积和为（ ）
A．4B．6C．8D．9
8．已知一艘轮船顺水航行50千米和逆水航行30千米共用的时间，正好等于船在静水中航行80千米所用的时间，并且水流的速度是3千米／小时，设轮船在静水中的速度为x千米／小时，则下列方程正确的是（ ）
A．50x−3+30x+3=80xB．50x+3+30x−3=803
C．50x+3+30x−3=80xD．30x+3=80x−3+50x
9．如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线，若∠B=48°，∠C=62°，则∠DAE的度数是（ ）
A．5°B．6°C．7°D．8°
10．如图，BD为△ABC的中线，AE为△ABD的中线，AF为△AEC的中线，若△AEF的面积为4cm2，则△ABC的面积为（ ）
A．8cm2B．12cm2C．16cm2D．18cm2
二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
11．自行车的车架做成三角形，利用的原理是 ．
12．13−1+3−π= ．
13．如图，点M，N分别在AB,AC上，MN∥BC，将△ABC沿MN折叠后，点A落在点A'处，若∠A'=28°,∠B=120°，则∠A'NC= °．
14．如图，已知AD为△ABC的中线，AB=10cm,AC=7cm，△ACD的周长为20cm，则△ABD的周长为 cm．
15．已知：x+1x=3，则x2+1x2= .
16．将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，则图中∠α的度数是 ．
17．已知a2−a−2024=0，化简求值：a−1−a−1a⋅a2a−1= ．
18．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数是 ．
三、解答题（共8小题，满分66分）
19．解分式方程：
（1）−1x−2+3=3−x2−x；
（2）2x2−1+x+21−x=−1
20．先化简代数式 a2−2a+1a2−4÷(1−3a+2) ，再从 2，−2，1，−1， 四个数中选择一个你喜欢的数代入求值．
21．如图，在△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠C=70°．
（1）求∠AOB的度数；
（2）若∠ABC=60°，求∠DAE的度数．
22．某快递公司为了提高分拣效率，引进智能分拣机，每台机器每小时分拣的快件量是人工每人每小时分拣快件数量的20倍，经过测试，由5台机器分拣6000件快件的时间，比20个人工分拣同样数量的快件节省4小时．
（1）求人工每人每小时分拣多少件？
（2）若快递公司每天需要分拣10万件快件，机器每天工作时间为16小时，则至少需要多少台这样的分拣机．
23．如图，在△ABC中，AF平分∠BAC交BC于点F，D，E分别在CA，BA的延长线上，AF∥CE,∠D=∠E．
（1）求证：BD∥AF；
（2）若∠BAD=80°，∠ABD=2∠ABC，求∠AFC的度数．
24．某超市第一次用6000元购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数比乙商品件数的2倍少30件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表：
（1）该超市第一次购进甲、乙两种商品各多少件？
（2）该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的3倍；甲商品按原价销售且全部售完，乙商品销售一部分后出现滞销，于是超市决定将剩余的乙商品五折促销，若在本次销售过程中超市共获利2350元，则以五折售出的乙商品有多少件？
25．在△ABC中，∠A=70°，点D，E分别是边AC，AB上的点（不与A，B，C重合），点P是平面内一动点（P与D，E不在同一直线上），设∠PDC=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α．
（1）若点P在边BC上运动（不与点B和点C重合），如图（1）所示，则∠1+∠2=___________（用含∠α的代数式表示）；
（2）若点P在ABC的外部，如图（2）所示，则∠α，∠1，∠2之间有何关系？写出你的结论，并说明理由．
（3）当点P在边BC的延长线上运动时，试画出相应图形，标注有关字母与数字，并写出对应的∠α，∠1，∠2之间的关系式．（不需要证明）
26．探究题：观察下列各式的变化规律，然后解答下列问题：11×2=1−12，12×3=12−13，13×4=13−14，14×5=14−15，……
（1）计算：若n为正整数，猜想1nn+1=________；
（2）1x+2023+1xx+1+1x+1x+2+⋯⋯+1x+2022x+2023；
（3）若ab−3+b−1=0，
求1ab+1a+2b+2+1a+4b+4+1a+6b+6+⋯+1a+64b+64的值．
答案解析部分
1．【答案】D
2．【答案】A
3．【答案】C
4．【答案】D
5．【答案】B
6．【答案】A
7．【答案】B
8．【答案】C
9．【答案】C
10．【答案】C
11．【答案】三角形具有稳定性
12．【答案】π
13．【答案】116
14．【答案】23
15．【答案】7
16．【答案】105°
17．【答案】2024
18．【答案】180°
19．【答案】（1）无解；
（2）x=−13
20．【答案】解：原式 =(a−1)2(a+2)(a−2)÷a+2−3a+2
=(a−1)2(a+2)(a−2)÷a−1a+2
=(a−1)2(a+2)(a−2)×a+2a−1
=a−1a−2 ，
由题意知， a≠±2，1 ，所以取 a=−1 代入可得
原式 =−1−1−1−2 =23 ，
21．【答案】（1）解：在△ABC中，
∵∠C=70°
∴∠ABC+∠BAC=110°
∵AE、BF是角平分线，
∴∠ABO+∠BAO=55°
∴∠AOB=180°−55°=125°
​​​​​​​
（2）解：在△ABC中，
∵∠ABC=60°，∠C=70°
∴∠BAC=180°−60°−70°=50°
∵AE是角平分线，
∴∠CAE=25°
∵AD是高，
在Rt△ADC中，
∵∠C=70°
∴∠CAD=20°
∴∠DAE=∠CAE−∠CAD=25°−20°=5°
​​​​​​​
22．【答案】（1）人工每人每小时分拣60件
（2）至少需要6台这样的分拣机
23．【答案】（1）证明见解析
（2）75°
24．【答案】（1）该超市第一次购进甲种商品150件，购进乙种商品90件
（2）以五折售出的乙商品有70件．
25．【答案】（1）∠α+70°
（2）解：结论：∠2−∠1=∠α−70°，证明如下：
如图，
∵∠AFD=∠1−∠A=∠1−70°，∠2=∠α+∠PFE，
∵∠PFE=∠AFD，
∴∠2=∠α+∠1−70°，
∴∠2−∠1=∠α−70°．
（3）解：∠2−∠1=∠α+70°或∠2−∠1=70°−∠α
26．【答案】（1）1n−1n+1
（2）1x
（3）3367商品种类
进价（元/件）
售价（元/件）
甲
22
29
乙
30
40