2025_2026学年北京市第一五六中学七年级下学期数学期中试卷 [含解析]

这是一份2025_2026学年北京市第一五六中学七年级下学期数学期中试卷 [含解析]，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．在直角坐标系中，点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．在下列各数、、、、、、中，无理数的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．下列命题中是假命题的是（ ）
A．对顶角相等
B．两直线被第三条直线所截，同旁内角互补
C．如果，那么
D．负数没有平方根
4．若，则下列各式中正确的是（ ）
A． B．
C．D．
5．如图，，下列条件可以证明的是（ ）．
①；②；③；④．
A．②③④B．①②C．②④D．②
6．在平面直角坐标系中，点，若直线与x轴垂直，则m的值为（ ）
A．B．C．0D．1
7．方程组的解与的值互为相反数，则的值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．如图，在平面直角坐标系中，已知点．现把一条长为2025个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按的规律紧绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
9．的相反数是__________，绝对值是_______
10．如图，直线 AB ，CD 相交于点O ，若∠EOC ：∠EOD=4 ：5 ，OA平分∠EOC ，则∠BOE=___________．

11．若是关于，的二元一次方程，则_______，_______．
12．已知，则________．
13．如图，AB∥CD，，，则________．
14．如图，A地在某快递公司转运中心B的正西方向，C地在A地的东北方向．该快递公司要在B地的北偏西60°方向上设置快递驿站D，使得快递驿站D到A，C两地的距离之和最短．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）请描述快递驿站D的位置：______；
（2）确定快递驿站D的位置的理由是______．
15．如图，在实数范围内规定新运算“”，其规则是：ab=2a﹣b．已知不等式xk≥1的解集在数轴上，则k的值是_____．

16．某校举办数学节活动，其中一项活动环节是进活动室门需要先破译密码．根据下面四个已知条件，推断正确密码是__________．
①只有两个汉字正确且位置正确；
②只有两个汉字正确但位置都不正确；
③只有三个汉字正确但位置都不正确；
④四个汉字都不正确．
三、解答题
17．计算：
（1）
（2）
18．解下列方程（组）：
（1）；
（2）．
19．（1）解不等式：，并将解集在数轴上表示出来；
（2）求的非负整数解．
20．如图，点A在的一边上，按要求画图并填空．
（1）过点画直线于点，与的另一边相交于点．
（2）过点画的垂线段，垂足为点．
（3）过点画直线，交直线于点．
（4）__________．
（5）如果，，，则点A到直线的距离为__________．
21．已知与互为相反数，的立方根是2，
（1）求a、b、c的值；
（2）求的平方根．
22．请在下列空格内填写结论或理由，完成推理过程．
已知：如图，，．
求证：．
证明：∵（已知），
∴______//______(______)．
∵（已知），
∴//(______)．
∴//______(______)．
∴(______)．
23．如图，在正方形网格中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，点A、B、C、O均在格点上，其中O为坐标原点，．
（1）请在网格中建立适当的平面直角坐标系；
（2）点C的坐标为__________；
（3）将平移后得到对应的，其中点A的对应点是，请在图中画出平移后的；
（4）的面积为__________；
（5）在x轴上有一点P，使得的面积等于的面积，点P的坐标为__________．
24．已知：如图，点D、E、F、G都在的边上，，且
（1）求证：；
（2）若平分，，求和的度数．
25．随着交通安全意识的增强，某城镇居民开始积极购买头盔以保证骑行安全．某小商店购进A种头盔3个和B种头盔4个共需345元，A种头盔4个和B种头盔3个共需390元．
（1）求A，B两种头盔的单价各是多少元；
（2）若该商店计划正好用450元购进A，B两种头盔两种头盔均购买，销售1个A种头盔可获利35元，销售1个B种头盔可获利15元，求该商店共有几种购买方案？假如这些头盔全部售出，最大利润是多少元？
26．“说不完的”探究活动，根据各探究小组的汇报，完成下列问题．
（1）到底有多大？
下面是小欣探索的近似值的过程，请补充完整：
我们知道面积是2的正方形边长是，且．设，画出如下示意图．
由面积公式，可得________．
因为x值很小，所以更小，略去，得方程________，解得_______（保留到0.001），即______．
（2）怎样画出？请一起参与小敏探索画过程．
现有2个边长为1的正方形，排列形式如图（1），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形．
小敏同学的做法是：设新正方形的边长为．依题意，割补前后图形的面积相等，有，解得．把图（1）如图所示进行分割，请在图（2）中用实线画出拼接成的新正方形．
请参考小敏的做法，现有8个边长为1的正方形，排列形式如图（3），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（4）中用实线画出拼接成的新正方形．说明：直接画出图形，不要求写分析过程．
27．将三角形和三角形按图1所示的方式摆放，其中，，，，点D，A，F，B在同一条直线上．

（1）将图1中的三角形绕点B及逆时针旋转，且点A在直线的下方．
①如图2，当时，求证：；
②当时，直接写出的度数；
（2）将图1中的三角形绕点E逆时针旋转，如图3，当点D首次落在边上时，过点E作，作射线平分，作射线平分交的反向延长线于点N，依题意补全图形并求的度数．
28．对x，y，z定义一种新运算F，规定：，其中a，b为非负数．
（1）当时，若，则的值是__________；
（2）若，设，则H的取值范围是__________．
29．小聪和小明在学习了平面直角坐标系后，尝试着定义了平面直角坐标系中任意两点与的一种新的距离：
小聪定义了，的“分解距离”，如下：
在平面直角坐标系中，对于任意两点与．
若，则为点与点的“分解距离”，即；若，则为点与点的“分解距离”，即．小明定义了，的“和距离”，如下：
在平面直角坐标系中，对于任意两点与．
点，的“和距离”为与的和，即．
根据以上材料，解决下列问题：
在平面直角坐标系中，已知点，，
（1）______；______；
（2）若点在第一象限，且点．求点的坐标；
（3）已知点，满足，
①在图1中画出所有符合条件的点围成的图形和点围成的图形；
②已知点，，若线段上有且只有一个点满足，并且有且只有一个点满足（点和点不重合），直接写出的取值范围．
图1 备用图
答案
1．【正确答案】A
【分析】本题考查了点所在的象限，熟练掌握在各个象限内的点的坐标特征是解题关键．根据点的横、纵坐标均大于0即可得．
【详解】解：∵在直角坐标系中，点的横、纵坐标均大于0，
∴点位于第一象限，
故选A．
2．【正确答案】C
【分析】此题主要考查了无理数的定义，无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．
【详解】解：在、、、、、、中，
、、是无理数，共3个；
故选C．
3．【正确答案】B
【分析】本题考查了命题与定理的知识，判断一个命题是假命题时可以找到其反例．本题需先根据真命题和假命题的定义判断出各题的真假，最后得出结果即可．
【详解】解：A、如果两个角是对顶角，那么它们相等，是真命题，不符合题意；
B、两直线被第三条直线所截，同旁内角互补的前提是两直线平行，若两直线不平行，同旁内角不互补，因此该命题不成立，是假命题，符合题意；
C、如果，那么，故C是真命题，不符合题意；
D、负数没有平方根，故D是真命题，不符合题意；
故选B．
4．【正确答案】C
【分析】本题主要考查了等式的基本性质，掌握等式的基本性质成为解题的关键．
根据等式的基本性质逐项判断即可．
【详解】解：A、∵，∴，故A不符合题意；
B、∵，∴，故B不符合题意；
C、∵，∴，故C符合题意；
D、∵，∴，故D不符合题意．
故选C．
5．【正确答案】C
【分析】根据两直线平行的判定定理，对条件依次进行判断即可．
【详解】解：①③不能判定；
②，可以根据同位角相等，两直线平行可以判定；
④，可以根据同旁内角互补，两直线平行可以判定；选项C符合题意．
故选C．
6．【正确答案】D
【分析】本题考查直角坐标系内点坐标的性质，由题意转化为点A，点B到y轴的距离相等，且在y轴同侧，也就是其横坐标相等，解即可．
【详解】解：由题意知，，
∴
故选D．
7．【正确答案】B
【分析】此题主要考查了解二元一次方程组，相反数，掌握加减消元法是解题的关键；
利用加减消元法得，，再根据相反数的定义，即可得到答案．
【详解】，得
，
把代入得，
，
与的值互为相反数，
，
解得．
故选B．
8．【正确答案】A
【分析】本题考查规律型：点的坐标，先求出四边形的周长为10，得到的余数为5，由此即可解决问题．
【详解】解：∵，，，，
∴四边形的周长为10，
的余数为5，
又∵，，
∴细线另一端所在位置的点在C处，坐标为．
故选A．
9．【正确答案】.；.
【分析】分别根据相反数、绝对值的概念即可求解．
【详解】解：根据相反数的概念有的相反数是即；
根据绝对值的定义：是正数，它的绝对值是．
故答案是：；.
10．【正确答案】140°
【分析】直接利用平角的定义得出：∠COE=80°，∠EOD=100°，进而结合角平分线的定义得出∠AOC=∠BOD，进而得出答案．
【详解】∵∠EOC：∠EOD=4：5，
∴设∠EOC=4x，∠EOD=5x，
故4x+5x=180°，
解得：x=20°，
可得：∠COE=80°，∠EOD=100°，
∵OA平分∠EOC，
∴∠COA=∠AOE=40°，
∴∠BOE=180°-∠AOE=140°．
故答案为140°.
11．【正确答案】；
【分析】利用二元一次方程的定义判断即可．
【详解】解：∵方程是关于，的二元一次方程，
∴，，
解得：，，
当时，，此时方程为一元一次方程，舍去，
∴，．
12．【正确答案】0.4472
【分析】首先把化为即，代入的值即可．
【详解】解：．
13．【正确答案】40
【分析】由得到，再利用三角形的外角定理可以求出．
【详解】∵，∠C＝70°，
∴，
又∵∠FEB＝∠A＋，而∠A＝30°，
∴＝∠FEB－∠A＝70°－30°＝40°.
14．【正确答案】快递驿站D的位置是射线与的交点；两点之间，线段最短
【分析】本题考查了坐标确定位置，方向角，熟练掌握两点之间，线段最短是解题的关键．
（1）根据方向角的定义即可得到结论；
（2）根据线段的性质：两点之间，线段最短即可得到结论．
【详解】（1）连接交于点，则点即为所求，
（2）确定快递驿站的位置的理由是两点之间，线段最短.
15．【正确答案】﹣3
【分析】根据新运算法则得到不等式2x-k≥1，通过解不等式即可求k的取值范围，结合图象可以求得k的值．
【详解】根据图示知，已知不等式的解集是x⩾−1.
则2x−1⩾−3，
∵x△k=2x−k⩾1，
∴2x−1⩾k且2x−1⩾−3，
∴k=−3.
故答案是：k=−3.
16．【正确答案】北京学校
【分析】本题考查逻辑推理，结合①②④可确定第（二）第四个字分别为“京”“校”，结合③④确定另外两个字及位置，即可求解．
【详解】解：由①②可得，没有“市”字，
由④可得，没有“一”字，
结合①可得，第（二）第四个字分别为“京”“校”，
结合③④可得，有“学”“校”“北”三个字，且“北”字不是左边数第三个字，
综上可得，从左到右四个字分别为：北，京，学，校．
推断正确密码是：北京学校.
17．【正确答案】（1）
（2）
【分析】本题考查的是实数的混合运算，掌握运算顺序是解本题的关键；
（1）先计算算术平方根，立方根，再合并即可；
（2）先计算乘方，化简绝对值，求解立方根，算术平方根，再合并即可.
【详解】（1）解：
；
（2）解：
18．【正确答案】（1）或
（2）
【分析】本题考查利用平方根解方程，解二元一次方程组：
（1）将原式变形为，两边开平方，即可求解；
（2）利用加减消元法解方程组即可．
【详解】（1）解：，
，
或，
解得或；
（2）解：
得：，
解得，
将代入得：，
解得，
该方程组的解为．
19．【正确答案】（1），见详解；（2）；非负整数解为：0，1．
【分析】本题考查解一元一次不等式以及整数解．熟练掌握解一元一次不等式的步骤，正确的计算，是解题的关键．
（1）根据解不等式的步骤，进行求解，再在数轴上表示出解集，即可；
（2）根据解不等式的步骤，进行求解，找到它们的非负整数解即可．
【详解】解：（1），
移项，合并，得：，
解得；
数轴表示解集，如图：
；
（2），
去分母得：，
去分母得：，
移项，合并，得：，
解得；
∴非负整数解为：0，1．
20．【正确答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）见详解；（3）90；（5）．
【分析】（1）过点A画直线AB⊥OA，与∠O的另一边相交于点B；
（2）过点A画OB的垂线段AC，垂足为点C；
（3）过点C画直线CD∥OA，交直线AB于点D；
（4）利用两直线平行同位角相等即可确定答案；
（5）利用等积法即可求得线段AC的长．
【详解】解：（1）如图；
（2）如图；
（3）如图；
（4）∵CD∥OA，
∴∠CDB=∠OAB=90°；
（5）∵
∴
21．【正确答案】（1）
（2）的平方根是
【分析】此题主要考查了实数的性质，正确掌握相关定义是解题关键．
（1）直接利用算术平方根、立方根、互为相反数的定义得出，，的值；
（2）结合平方根的定义以及（1）中所求，代入得出答案．
【详解】（1）∵与互为相反数，
∴，
∴，，
解得：，，
∵的立方根是2，
∴，
∴
（2）由（1）可知，，，，
∴
∴的平方根是．
22．【正确答案】；内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；；平行于同一条直线的两直线平行；两直线平行，同旁内角互补
【分析】由平行线的判定条件可得AB∥CD，CD∥EF，再利用平行线的性质即可得到AB∥EF，从而可证得∠B+∠F＝180°．
【详解】证明：∵（已知），
∴（内错角相等，两直线平行）．
∵（已知），
∴（同位角相等，两直线平行）．
∴（平行于同一条直线的两直线平行）．
∴（两直线平行，同旁内角互补）．
23．【正确答案】（1）见详解
（2）点C的坐标为
（3）见详解
（4）3
（5）或
【分析】本题考查作图平移变换，三角形的面积等知识．
（1）根据题意建立平面直角坐标系即可；
（2）利用直角坐标系可直接写出C点坐标；
（3）分别作出A，B，C的对应点，，即可得到；
（4）用一个矩形的面积分别减去三个三角形的面积去计算的面积；
（5）设．利用三角形面积关系构建方程求解即可．
【详解】（1）解：平面直角坐标系如图所示，
；
（2）解：点C的坐标为.
（3）解：如图所示：
；
（4）解：的面积.
（5）解：设．
∵，，
∴，
解得：或7，
∴点P的坐标为或．
24．【正确答案】（1）见详解；
（2），．
【分析】本题考查了两直线平行的判定及性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握相应的判定定理及性质．
（1）根据，得出，又，得出，利用同旁内角互补即可推出；
（2）根据，，得出，又因为平分，得出，再证明，再根据两直线平行的性质即可得出．
【详解】（1）解：证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
由（1）知，
∴，
∵ ，
∴．
∵，
∴．
25．【正确答案】（1）A种头盔的单价是75元，B种头盔的单价是30元
（2）共有2种购买方案，最大利润是220元
【分析】（1）设A种头盔的单价是x元，B种头盔的单价是y元，根据某小商店购进A种头盔3个和B种头盔4个共需345元，A种头盔4个和B种头盔3个共需390元；列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设购进A种头盔m个，B种头盔n个，根据该商店计划正好用450元购进A，B两种头盔两种头盔均购买，列出二元一次方程，求出正整数解，即可解决问题．
本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
【详解】（1）解：设A种头盔的单价是x元，B种头盔的单价是y元，
由题意得：，
解得：，
答：A种头盔的单价是75元，B种头盔的单价是30元．
（2）解：设购进A种头盔m个，B种头盔n个，
由题意得：，
整理得：，
、n均为正整数，
或，
该商店共有2种购买方案：
①购进A种头盔2个，B种头盔10个，利润为元；
②购进A种头盔4个，B种头盔5个，利润为元；
，
最大利润是220元．
26．【正确答案】（1），0.014，1.414
（2）见详解
【分析】本题考查无理数的估算，看懂所给材料是解题的关键．
（1）根据图形中大正方形的面积列方程即可；
（2）画出分割线，拼出新正方形即可．
【详解】（1）解：由面积公式，可得．
因为x值很小，所以更小，略去，得方程，
解得（保留到0.001），即．
（2）解：
27．【正确答案】（1）①见详解；②
（2）见详解，
【分析】（1）利用平行线的性质，运用，，得出结论即可；
（2）设，因为DM平分，EN平分，得出的度数.
【详解】（1）解：①证明：∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴
∴．
∴．
②,理由如下：
过点作,如下图所示，

∵，
∴,
∴，，
∴.
（2）解：补全图形，如图．

过点N作，设．
∵，
∴．
∴．
∵平分，平分，
∴，．
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
28．【正确答案】（1）3
（2）
【分析】本题考查了二元一次方程组与一元一次不等式组的应用，一次函数的性质，根据新定义列出方程组和不等式组是解题的关键．
（1）根据列式得到关于a，b的二元一次方程组，求出a，b即可；
（2）根据定义列出二元一次方程组，用含c的代数式表示a，b，根据a，b为非负数，列出一元一次不等式组，解不等式组求得c的取值范围，进而求得H的取值范围．
【详解】（1）解：，
当时，若，可得：
，
解得，
.
（2）解：，
，
解得，
a，b为非负数，
解不等式组得，
，
H随c的增大而增大，
当时，H取最小值，最小值为：，
当时，H取最大值，最大值为：，
H的取值范围是.
29．【正确答案】（1）3，4
（2）或
（3）①见详解；②
【分析】此题考查了新定义问题，坐标与图形，
（1）根据“分解距离”和“和距离”的概念求解即可；
（2）首先根据点在第一象限得到，然后根据“分解距离”的概念得到，，然后利用分情况求解即可；
（3）①根据画出图形即可；
②首先判断出线段，当时，点，，和重合，然后根据题意结合图象求解即可．
【详解】（1）∵，，
∴，
∵
∴；
∴；
（2）∵点在第一象限，
∴，
∴
∴，
∵
∴或
∴或
∴或；
（3）①如图所示，四边形即为所有符合条件的点围成的图形，四边形即为所有符合条件的点围成的图形；
②∵点，
∴点M在x轴上，点N在直线上，且点N的横坐标比点M的横坐标大3
∴线段，
∵当时，点，
∴此时和重合
∵线段上有且只有一个点满足，并且有且只有一个点满足（点和点不重合），
∴即线段与四边形和四边形有且只有一个交点，
∴根据图象可得，此时．