2025_2026学年北京市第三中学七年级下学期数学期中试卷 [含解析]

这是一份2025_2026学年北京市第三中学七年级下学期数学期中试卷 [含解析]，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．能由下图平移得到的图形是（ ）
A．B．C．D．
2．点A(﹣1，2)所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．若，则下列各式中正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．下列图形中，由，能得到的是（ ）
A．B．
C．D．
6．由可以得到用表示的式子是（ ）
A．B．C．D．
7．下列命题中，属于假命题的是（ ）
A．对顶角相等
B．有一条公共边，且互补的两个角互为邻补角
C．平行于同一条直线的两条直线平行
D．直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离
8．已知：关于的不等式只有两个非正整数解，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
9．在实数，3.14159265，，中，是无理数的是______．
10．的算术平方根是_________．
11．已知二元一次方程，写出该方程的一组正整数解：______．
12．将命题“对顶角相等”改成“如果．．．，那么．．．”的形式为________________．
13．写出一个大小在和之间的整数是______．
14．在平面直角坐标系中，点，点，若轴，则点的坐标是______．
15．如图，，于点，交于点，若，则______．
16．关于，的二元一次方程，且当时，．
（1）的值是______；
（2）当时，对于每一个的值，关于的不等式总成立，则的取值范围是______．
三、解答题
17．（1）计算：．
（2）解不等式：．
18．（1）解方程组；
（2）解不等式组．
19．（1）如图，按要求画图并回答问题：
①过点画点到直线的垂线段，垂足为；
②过点画直线，交的延长线于点；
③在线段，，中，最短的是______，理由为______．
（2）已知：如图，直线，被，所截，平分，，，，求的大小．
补充完成下列推理过程：
∵，（已知），
∴，
∴（______），
∴______（______）．
∵（已知），
∴______（等量代换）．
∵平分（已知），
∴（角平分线定义）．
∵（已证），
∴______（______）．
20．在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点分别是，，，
（1）在平面直角坐标系中画出三角形，它的面积为______；
（2）将三角形平移到三角形，其中点，，的对应点分别是，，．已知点的坐标是，
①点的坐标是______，点的坐标是______；
②画出三角形，写出一种将三角形平移到三角形的方法：______．
21．如图，点，在线段上，点在线段上，，．
（1）求证：
（2）若，平分，与互余，求的度数．
22．为丰富学生课余生活，某中学体育组计划从同一个体育用品店一次性购买一些篮球和足球已知个篮球和个足球共需要2元；个篮球和个足球共需要元．
（1）求每个篮球和每个足球各多少元；
（2）该体育组根据实际需要，准备购买篮球和足球共个，且篮球个数不少于个，总费用不超过元，有哪几种购买方案？
23．如图，已知，，点为直线上一动点．
（1）求证：；
（2）作射线交直线于点，交直线于点，且．
①当点运动到如图1所示的位置时，用等式表示，与之间的数量关系，并证明；
②当点运动到如图2所示的位置时，补全图形，直接用等式写出、与之间的数量关系．
24．在平面直角坐标系中，点和点，给出如下定义：对于任意实数，称点为点和点的“倍差点”．已知点．
（1）在点，，中，点和点的“1倍差点”是 ；
（2）已知横、纵坐标都为整数的点叫做整点．点和点的“倍差点”为点，点在第一、三象限的角平分线上．
①如果点是整点，且，写出三角形内部（不包括边界）整点的坐标；
②如果点和点关于轴对称，点为点和点的“倍差点”．四边形内部（不包含边界）至少有3个整点，至多有7个整点，那么的取值范围是 ．
25．甲、乙两位同学玩填数游戏，每人各自从左到右依次填写四个实数，，，，如下表所示．
所填的四个数满足：从第二个数开始，每一个数都大于或等于前面填写的任意一个数的2倍．
（1）若甲同学填写的四个数中，，，，请写出一个符合要求的的值：______；
（2）若乙同学填写的前两个数满足，，求的取值范围；
（3）若甲、乙两位同学各自填写的四个数都是非零整数，且他们所填写的第一个数互为相反数，则这两位同学填写的这八个数之和的最小值为______．
26．在平面直角坐标系中，已知点，若点Q的坐标为，则称Q是点P的非常变换点．例如：点的非常变换点为．
（1）已知点的非常变换点为Q，当时，点Q的坐标为_________，当时，点Q的坐标为___________；
（2）在正方形中，点，已知点．
①若点M的非常变换点为C，求a的值；
②若线段上的所有点（含端点）和它们的非常变换点都在正方形的边上或内部，直接写出a的最小值及此时x的值．
答案
1．【正确答案】D
【分析】本题考查了平移的定义，解题的关键是熟记平移的定义．
根据平移的定义“平移是指在同一平面内，将一个图形整体按照某个直线方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移”，即可判断．
【详解】解：根据平移的定义可知，由题图经过平移得到的图形是D，
故选D．
2．【正确答案】B
【分析】根据各象限内点的坐标特征解答．
【详解】解：点A（﹣1，2）的横坐标小于0，纵坐标大于0，点（﹣1，2）所在的象限是第二象限．
故选B．
3．【正确答案】C
【分析】根据不等式的性质依次进行判断即可得．
【详解】解：A、若，则，选项说法错误，不符合题意；
B、若，则，选项说法错误，不符合题意；
C、若，则，选项说法正确，符合题意；
D、若，则，选项说法错误，不符合题意；
故选C．
4．【正确答案】C
【分析】本题考查了平方根与立方根，正确理解平方根与立方根的意义是解题的关键．根据平方根与立方根的意义判断即可．
【详解】解：选项A.，故不符合题意，
B. ，故不符合题意，
C. ，故正确，符合题意，
D. ，故不符合题意，
故选C
5．【正确答案】B
【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．根据平行线判定定理逐项判断即可解题．
【详解】解：A、不能判定，故本选项不符合题意；
B、的对角与大小相同且与是同位角，所以可以得到，故本选项符合题意；
C、不能判定，故本选项不符合题意；
D、只能判定，故本选项不符合题意；
故选B．
6．【正确答案】A
【分析】本题考查了二元一次方程，根据，整理得，即可作答．
【详解】解：∵，
∴
∴，
故选A
7．【正确答案】B
【分析】本题考查了假命题的判断，邻补角的定义，对顶角性质，平行公理，点到直线的距离，根据错误的命题是假命题，对顶角相等，平行于同一条直线的两条直线平行，直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离等内容进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、对顶角相等，原说法不是假命题，故该选项不符合题意，
B、两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫作互为邻补角，原说法是假命题，故该选项符合题意，
C、平行于同一条直线的两条直线平行，原说法不是假命题，故该选项不符合题意，
D、直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，原说法不是假命题，故该选项不符合题意，
故选B．
8．【正确答案】C
【分析】此题主要考查了一元一次不等式组的整数解，根据关于的不等式只有两个非正整数解，即可求出的取值范围，解题的关键是在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中所给的整数解确定解集的范围．
【详解】解：∵关于的不等式只有两个非正整数解，
∴的取值范围是，
故选．
9．【正确答案】
【分析】本题考查了算术平方根，无理数的定义，根据无限不循环小数即为无理数进行分析，即可作答．
【详解】解：依题意，，
则，3.14159265，都不是无限不循环小数，即都不是无理数，是是无理数.
10．【正确答案】
【详解】的平方根是±，的算术平方根是.
11．【正确答案】（答案不唯一）
【分析】此题考查了二元一次方程的解，理解方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．把看作已知数求出，确定出整数解即可．
【详解】解：当时，，
解得，
∴该方程的正整数解为.
12．【正确答案】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等
【分析】本题主要考查了命题的定义，把命题写成“如果……那么……”的形式，关键是找准题设和结论．分清题目的已知与结论，即可解答．
【详解】解：原命题改写：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等.
13．【正确答案】3（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了无理数的估算，先估算、的大小，然后根据估算结果，写出一个在和之间的整数即可．
【详解】解：∵，，即，，
∴大小在和之间的整数是3.
14．【正确答案】
【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，根据平行于x轴的直线上点的坐标特征即可解决问题．
【详解】解：∵点，点，且轴，
∴，
解得，
∴点B的坐标为．
15．【正确答案】
【分析】本题主要考查了平行线的性质及垂线，根据平行线的性质进行计算即可．熟知平行线的性质是解题的关键．
【详解】解：如图，延长交于点M，
，
，
即，
，
，
．
16．【正确答案】2；
【分析】本题考查了求一元一次不等式的解集，二元一次方程的解、已知字母的值，求代数式的值，正确求解是解题的关键．
（1）将的值代入进去即可求得结果；
（2）解有关的不等式，再根据恒成立求有关的不等式．
【详解】解：（1）∵当时，，
∴，
解得.
（2）由（1）可得，
∴，
解得：，
∵当时，对于每一个的值，关于的不等式总成立，
∴，
解得.
17．【正确答案】（1）；（2）
【分析】本题考查实数的混合运算，求不等式的解集：
（1）先化简，再进行加减运算即可；
（2）去括号，移项，合并，系数化1，进行求解即可．
【详解】解：（1）．
；
（2）
．
18．【正确答案】（1）；（2）
【分析】本题考查了解一元一次不等式组和解一元二次方程组，掌握解方程组与不等式组的方法与步骤是解本题的关键．
（1）利用加减消元法求解即可；
（2）首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．
【详解】解：（1），
得，
得，
把代入①得，
∴；
（2），
解①得，
解②得，
∴．
19．【正确答案】（1）①②见详解，③，垂线段最短；（2）见详解
【分析】本题考查了画三角形的高，和过直线外一点作已知直线的平行线，平行线的判定与性质，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
（1）根据画三角形的高和画平行线的方法即可作图，根据垂线段最短即可作答；
（2）根据平行线的判定与性质即可求解．
【详解】解：（1）如图，即为所作：
在线段，，中，最短的是，理由为垂线段最短.
（2）∵，（已知），
∴，
∴（同旁内角互补，两直线平行）
∴（两直线平行，同位角相等）
∵（已知），
∴（等量代换）．
∵平分（已知），
∴（角平分线定义）．
∵（已证），
∴（两直线平行，内错角相等）.
20．【正确答案】（1）见详解，4.5
（2）①，②见详解，右移5个单位再上移3个单位得到
【分析】本题考查了点的坐标，平移作图，求三角形的面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据，，，画出三角形，再运用割补法求面积，即可作答．
（2）①根据，点的坐标是，得出平移的规律是右移5个单位再上移3个单位得到，据此得出点的坐标和点的坐标，
②由①得点的坐标,再画出三角形，即可作答．
【详解】（1）解：三角形如图所示：
则三角形的面积为．
（2）解：①∵将三角形平移到三角形，且，点的坐标是，
∴平移的规律是右移5个单位再上移3个单位得到，
∴，
即点的坐标是，
则，
即点的坐标是.
②三角形如图所示：
则将三角形平移到三角形的方法：右移5个单位再上移3个单位得到．
21．【正确答案】（1）见详解
（2）
【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，余角的定义，解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质．
（1）根据平行线的性质得出，证明，根据平行线的判定即可得出答案；
（2）根据平行线的性质得出，根据角平分线定义得出，根据余角定义得出，即可求出结果．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵与互余，
∴，
∴．
22．【正确答案】（1）每个篮球元，每个足球元；
（2）共有两种购买方案，方案：篮球个，足球个；方案：篮球个，足球个．
【分析】（1）设每个篮球元，每个足球元根据个篮球和个足球共需要元；个篮球和个足球共需要元列出二元一次方程组，解之即可得到结论；
（2）设购买篮球个，由题意可得一元一次不等式，解之即可得到的解题即可解题．
【详解】（1）设每个篮球元，每个足球元．
根据题意列方程组，得．
解这个方程组，得．
答：每个篮球元，每个足球元．
（2）设购买篮球个，则购买足球个．
根据题意，得．
．
篮球的个数不少于个且为整数，
．
的整数值为，
答：共有两种购买方案，方案：篮球个，足球个；方案：篮球个，足球个．
23．【正确答案】（1）见详解
（2）①，见详解；
②见详解，
【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质等知识．
（1）利用平行线的性质证明即可；
（2）①结论：，用三角形的外角的性质以及平行线的性质证明即可；
②，用三角形的外角的性质以及平行线的性质证明即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：①结论：．
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴；
②图形如图所示，

结论：．
理由：∵，，
∴，
∵，
∴
．
24．【正确答案】（1）
（2）① 或；② 或
【分析】（1）根据点坐标的规律计算方法即可求解；
（2）根据点坐标的计算方法表示出点的坐标，①根据第一、三象限角平分的性质，图形结合分析即可求解；②分别表示出点的坐标，可得点是点关于轴对称的点，根据四边形的性质，图形结合分析即可求解．
【详解】（1）解：已知点和点，称点为点和点的“倍差点”，
∵，点和点的“1倍差点”，
∴点的横坐标为：，纵坐标为：，
∴是点和点的“1倍差点”，
故选；
（2）解：已知横、纵坐标都为整数的点叫做整点．点和点的“倍差点”为点，且，
∴，
∵点在第一、三象限的角平分线上，
∴，
∴，即，
∴，
①点是整点，且，
∴，
∴，
如图所示，
三角形内部（不包括边界）整点的坐标有：或；
②点和点关于轴对称，且
∴，
∵点为点和点的“倍差点”，
∴，即，
∵，
∴点与点关于轴对称，
当四边形内部（不包含边界）至少有3个整点时，如图所示，
即四边形，四边形之间，
∴，
解得，；
四边形内部（不包含边界）至多有7个整点时，如图所示，
即四边形内部，
∴，
解得，，
综上所述，的取值范围是： 或．
25．【正确答案】（1）（答案不唯一）
（2）
（3）
【分析】（1）依据题意，可得，从而，且，故，进而可以判断得解；
（2）依据题意，，再由，从而，可得，进而可以判断得解；
（3）依据题意，设甲填写的四个数为，，，，乙填写的四个数为，，，，再设，则，，，又与互为相反数，则，则，，，结合，，即，继而得到，进而可得，故可判断得解．
【详解】（1）解：由题意得：，
∵，，
∴，
∴，
∴可以取此范围内的任一值，如.
（2）解：由题意得：，
∵，，
∴，，
∴，
即的取值范围为；
（3）由题意，设甲填写的四个数为，，，，乙填写的四个数为，，，，设（，且为整数），则，，，
∵与互为相反数，
∴，则，，，
又∵，，，，
即，，，，
∴，
∵，，，，，，，，都是非零整数，
当时，为最小值，
∴这八个数之和的最小值为．
26．【正确答案】（1）；
（2）① ②；1
【分析】本题主要考查了非常变换点的定义，二元一次方程组的应用，一元一次不等组的应用，理解非常变换点的定义是解题的关键．
（1）根据非常变换点的定义求解即可．
（2）①由题意得，的非常变换点为．根据非常变换点的定义列出关于x和a的二元一次方程组求解即可． ②根据线段在正方形内部及边上，列出关于x以及a的一元一次不等式组，解不等组求出x和a的取值范围，根据，则a的最小值为得出M和N的坐标，根据非常变换点的定义求出M和N各自对应的非常变换点和，最后验证和是否在正方形的边上或内部即可．
【详解】（1）解：当时，点，
∴，，
∴，
当时，，
∴，，
∴．
（2）①由题意得，的非常变换点为．
则，
整理得：，
解得：，
∴．
②若线段在正方形内部及边上，
则，解得：，
，解得：
∴a的最小值为，
若a取最小值，则x取最大值，
∴，则a的最小值为，
此时，其非常变换点，，其非常变换点，
则线段上的所有点（含端点）和它们的非常变换点都在正方形的边上或内部成立．
故a的最小值为，此时.