2025-2026学年下学期河北秦皇岛高三数学4月二模试卷含答案

这是一份2025-2026学年下学期河北秦皇岛高三数学4月二模试卷含答案，共20页。试卷主要包含了 已知椭圆 C，1 B等内容，欢迎下载使用。
注意事项:
1. 答题前、请将自己的学校、姓名等填写在答题卡上。
2. 回答选择题时,选出每小题答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑。
3. 回答非选择题时,将答案写在答题卡上。
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的.
1. 已知集合 M=x∣lg3x0 ,则 fx0=x0 ,
∴ffx0=fx0=x0,⋯ ,
∴ff⋯fx0⋯=x0,∴ 选项 D 正确.
12.【答案】 −2,3
fx=313sinx+23csx , 令 csθ=13,sinθ=23,θ∈0,π2 ,则 fx= 3sinx+θ,∵x∈0,π,∴x+θ∈[θ,π+ θ] ,故 fx 在区间 0,π 上的值域为 [3sin(π +θ),3] ,即 −2,3 .
13.【答案】 24
由题意得 5a1+10d=15,3a1+12d=15, 解得 a1=1,d=1,∴an=​​n.
∴a1+2a2+⋯+10a10=12+22+⋯+102=16 ×10×11×21=5×7×11=385,∴km=385 .
∴ 数对 k,m 的取值共有 3 个: 5,77,(7 , 55), 11,35,∴m−k 的最小值为 35−11 =24 .
14.【答案】 −3,3 或 3,3 (写 ±3,3 也给分)
设 Ax0,x02,C−x0,x02,Bx,x2 , AB=a,BC=b,AC=a2+b2 ,由题可知 kAB⋅kBC=−1,∴x02−x2x0−x⋅x02−x2−x0−x= -1,即 x02−x2=1,∴yA−yB=1 ,即 △ABC 斜边上的高为 1,∴a2+b2=ab .
又 a+b−a2+b2=2r=26−4,∴a+b2 =a2+b2+26−42=[ab+(26− 4) ]2 ,整理得 ab=4 与 a2+b2=ab=4 ,
∴a2+b2=16=2x02,∴x02=4,∴x2=3 ,
∴ 点 B 坐标为 −3,3 或 3,3 .
15. 解: (1) 依题意,设 a=5x,b=6x,c=7x ,由余弦定理得 csB=a2+c2−b22ac=1935 , 1 分 ∴sinB=1−cs2B=12635 . 2 分 ∴AD=AB⋅sinB=1265x,BD=AB . csB=195x,∴MD=195x−52x=1310x , tan∠MAD=MDAD=136144 . 5 分 (2)如图，延长 AM 至点 E ，使 AM=ME ，则 AE2=b2+c2−2bccs∠ABE . 7 分

又 BC2=b2+c2−2bccs∠BAC ，而 cs∠ABE+ cs∠BAC=0,∴AE2+BC2=2b2+c2=32 . (此处直接运用中线定理也给分) 9 分 ∵AE2=4AM2=16,∴BC2=16,∴BC=4.⋯ 11 分又 AD=AM⋅cs30∘=3,∴S△ABC=12BC . AD=23 . 13 分
16.(1)证明: ∵A1B1=AA1=1,AB1=2 ， ∴A1B12+AA12=AB12,∴∠AA1B1=90∘ , 即 AA1⊥A1B1 .
同理,可得 AB1⊥B1B,AB⊥BC .
∵AB1⊥B1B ,平面 ABB1A1⊥ 平面 BCC1B1 , AB1⊂ 平面 ABB1A1 ,平面 ABB1A1∩ 平面 BCC1B1=B1B,∴AB1⊥ 平面 BCC1B1 . 又 BC C平面 BCC1B1,∴AB1⊥BC . 3 分又 AB⊥BC,AB1∩AB=A,∴BC⊥ 平面 ABB1A1 .
∵AA1⊂ 平面 ABB1A1,∴BC⊥AA1 .
∵AA1⊥A1B1,A1B1//AB,∴AA1⊥AB .
又 BC∩AB=B,∴AA1⊥ 平面 ABC.⋯6 分 (2)解:如图，以 A 为原点， AB ， AA1 所在直线分别为 y 轴、 z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系.

∴B0,2,0,A10,0,1,C−2,2,0,B1(0 , 1,1),∴A1B=0,2,−1,A1B1=0,1,0 , A1C=−2,2,−1 . 8 分设平面 A1BC 的法向量为 m=x,y,z ,则 m⋅A1B=0,m⋅A1C=0, 即 2y−z=0,−2x+2y−z=0, 取 y=1 , 得 m=0,1,2 . 10 分设平面 A1B1C 的法向量为 n=a,b,c ,则 n⋅A1B1=0,n⋅A1C=0, 即 b=0,−2a+2b−c=0, 取 a=1 , 得 n=1,0,−2 . 12 分 ∴cs⟨m,n⟩=m⋅nm⋅n=45,
∴ 二面角 B−A1C−B1 的正弦值为 35 . 15 分
17. 解: (1) 由题意得 a2+b2=25 ,设 Mx0,y0 ,则 y0−ax0⋅y0+ax0=169 ,即 y02−a2x02=169 . 1 分由 y02a2−x02b2=1 ,得 y02−a2x02=a2b2,∴a2b2=169 . …… 3 分
与 a2+b2=25 联立,解得 a2=16,b2=9,∴ 双曲线 C 的标准方程为 y216−x29=1 . 6 分
(2)设 Qx,y 为双曲线上的动点，则 QH2=
x2+y−m2=9y216−1+y−m2=25y216−
2my+m2−9≥0 . 10 分
关于 y 的二次函数 fy=25y216−2my+m2−
9y≤−4或y≥4 的对称轴为 y=16m25 ,由题
意,当 y=4 时取最小值, ∴ 需满足 0≤16m25≤
4，即 0≤m≤254 . 15 分
18. 解: (1) 当 k=0 时, fx=xlnx−ex−1 , f′x=1+lnx−e≤0,∴x≤ee−1,∴fx 的单调递减区间为 0,ee−1 . (答 0,ee−1 也给分) 4 分 (2)依题意得 x>e 时， f′x=lnx+x+kx−e ≥0,k≥e−1x−xlnx . 6 分令 ℎx=e−1x−xlnx ,则 ℎ′x=e−2− lnxe2−2e 时, fx>x+e2−2elnx− ex−1≥0 ,不合题意; 当 k