河北省秦皇岛市2024届高三数学下学期二模试题含解析

这是一份河北省秦皇岛市2024届高三数学下学期二模试题含解析，共17页。试卷主要包含了已知A，B为椭圆等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.本卷满分150分，考试时间120分钟。答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答；每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答；用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.数据24，61，46，37，52，16，28，15，53，24，45，39的第75百分位数是（）
A.34.5B.46C.49D.52
2.已知集合，，则（）
A.B.C.D.
3.已知向量，，则“”是“与共线”的（）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分又不必要条件
4.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的值为（）
A.B.C.D.
5.将数列与数列的公共项从小到大排列得到数列，则的前30项的和为（）
A.3255B.5250C.5430D.6235
6.已知函数图象的一个对称中心到相邻对称轴的距离为，且，则函数在下列区间单调递增的是（）
A.B.
C.D.
7.已知A，B为椭圆：上两个不同的点（直线与y轴不平行），F为C的右焦点，且，若线段的垂直平分线交x轴于点P，则（）
A.B.C.D.
8.已知直线与函数的图象相切，则函数的图象在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积的最小值为（）
A.B.C.D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知非零复数，在复平面内对应的点分别为，，O为坐标原点，则下列说法正确的是（）
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则存在实数，使得
10.如图，在直四棱柱中，四边形是矩形，，，，点P是棱的中点，点M是侧面内的一点，则下列说法正确的是（）
A.直线与直线所成角的余弦值为
B.存在点，使得
C.若点是棱上的一点，则点M到直线的距离的最小值为
D.若点到平面的距离与到点的距离相等，则点M的轨迹是抛物线的一部分
11.已知函数满足：对，都有，且，则下列说法正确的是（）
A.B.
C.D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某节体育课上，胡老师让2名女生和3名男生排成一排，要求2名女生之间至少有1名男生，则这5名学生不同的排法共有__________种.
13.已知双曲线C：的左焦点为F，过坐标原点O的直线与C交于A，B两点，且，，则C的离心率为_________.
14.已知正三棱台的所有顶点都在表面积为的球O的球面上，且，则正三棱台的体积为___________.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（本小题满分13分）
已知等比数列的前项和为，且数列是公比为2的等比数列.
（1）求的通项公式；
（2）若，数列的前n项和为，求证：.
16.（本小题满分15分）
羽毛球是一项隔着球网，使用长柄网状球拍击打平口端扎有一圈羽毛的半球状软木的室内运动，某学校为了解学生对羽毛球的喜爱情况，随机调查了200名学生，统计得到如下2×2列联表：
（1）依据小概率值的独立性检验，能否认为“是否喜欢羽毛球”与性别有关联?
（2）为了增强学生学习羽毛球的积极性，从调查结果为“喜欢”的学生中按性别用分层抽样的方法抽取6人参加羽毛球集训，再从这6人中随机抽取3人参加羽毛球比赛，记随机变量X为这3人中女生的人数，求X的分布列和数学期望.
附：，其中.
17.（本小题满分15分）
如图，在四棱锥中，，，，，E是棱的中点，且平面，点F是棱上的一点.
（1）求证：平面平面；
（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长
18.（本小题满分17分）
已知抛物线E：的焦点为F，点P是x轴下方的一点，过点P作E的两条切线，，且，分别交x轴于M，N两点.
（1）求证：F，P，M，N四点共圆；
（2）过点F作y轴的垂线，分别交于A，B两点，求的面积的最小值。
19.（本小题满分17分）
定义：如果函数和的图象上分别存在点M和N关于x轴对称，则称函数和具有C关系.
（1）判断函数和是否具有C关系；
（2）若函数和不具有C关系，求a的取值范围；
（3）若函数和在区间上具有C关系，求m的取值范围.
数学答案
1.C先按照从小到大排序：15，16，24，24，28，37，39，45，46，52，53，61，共12个数据，12×75%=9.第9，10个数据分别为46，52，则第75百分位数为.故选C.
2.D由题意可得，，故，故选D.
3.A向量，，若与共线，则.解得或，所以“”是“与共线”的充分不必要条件，故选A.
4.C因为，由正弦定理得，所以，又，由余弦定理得，又，所以，所以，所以.
故选C，
5.C显然数列和数列均为等差数列，令，其中，可得，则，则数列为等差数列，且，公差为，所以的前30项的和为.故选C.
6.B由题意可知，函数的最小正周期为，
所以，
则，所以，，
故，解得，
所以.
对于A选项，当时，，
故函数在区间上不单调，故A错误；
对于B选项，当时，，
故函数在区间上单调递增，故B正确；
对于C选项，当时，，
故函数在区间上不单调，故C错误；
对于D选项，当时，，
故函数在区间上单调递减，故D错误.
故选B.
7.A由题意知，设，，
根据点A，B在C上，则，，
所以，
同理可得，所以，
所以，
所以线段的中点为，，
则垂直平分线的斜率为，
又，，
作差化简得，
则线段垂直平分线的方程为，
令，得：，
解得，
所以.
故选A.
8.B设切点为，又，所以
解得，，.
令，，所以，
令，解得，
令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以.
函数的图象在处的切线方程为，
即，
令，得；令，得，
所以函数的图象在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积，
即函数的图象在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积的最小值为.
故选B.
9.BD取，，此时，但是，故A错误；
设，，
所以，，
又，所以，
整理得，所以，故B正确；
取，，此时，但是，故C错误；
因为，所以，
整理得，所以，
所以存在实数，使得，故D正确.
故选BD.
10.ACD以点A为坐标原点，分别以、、所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.
所以，，，，，，
所以，，
所以，，
所以直线与直线所成角的余弦值为，故A正确；
由题意，设，
则，又，
若，则，解得，
所以不存在点M，使得，故B错误；
设，所以，
所以点到直线的距离
，
所以，此时，
所以点M到直线的距离的最小值为，故C正确；
设，
则点M到平面的距离为z，点M到点的距离为.
因为点M到平面的距离与到点的距离相等，所以，
整理得（其中，），
即点M的轨迹方程为，是抛物线的一部分，故D正确.
故选ACD.
11.ACD令，则，
令，则，所以，
因为，所以，
令，，则，故A正确；
结合选项A可得，所以或.
若，则，所以，
此时与矛盾，舍去；
若，则，解得，
因为，所以，故B错误；
令，则，
因为，，所以，所以为偶函数，
令，则，
所以，
令，则，即故C正确；
由为偶函数，所以，
则，则，
即，所以是周期为4的周期函数，
又，
所以，故D正确.故选ACD.
12.72让2名女生和3名男生排成一排，不同的排法共有种，让2名女生相邻，不同的排法共有种，所以符合题设的不同的排法共有120-48=72种.
13.记C的右焦点为，连接，，如图所示.
过坐标原点O的直线与C交于A，B两点，
所以四边形为平行四边形，所以，
因为，，
所以，.
因为，所以.
在中，由余弦定理可得，
因为，所以，
即，即C的离心率为.
14.或设点，分别是，
的外接圆的圆心，球O的半径为R，则，解得，且，，O三点共线，
正三棱台的高为，
在等边中，，
由正弦定理可得：，得.
在等边中，，
由正定理可，得.
在中，，
即，得，
在中，，
即，得，
如果三棱台的上下底面在球心O的同侧，如图1所示，
则正三棱台的高为，
所以正三棱台的体积
.
如果三棱台的上下底面在球心O的两侧，如图2所示，
则正三棱台的高为，
此时正三棱台的体积
.
综上，正三棱台的体积为或.
15.（1）解：因为数列是公比为2的等比数列，
又，所以.
当时，由，得，两式相减得，
又是等比数列，所以，所以，解得，
所以.
（2）证明：由（1）知，
所以
又，所以.
16.解：（1）零假设为：“是否喜欢羽毛球”与性别无关联
根据列联表中的数据，经计算得到，
依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为“是否喜欢羽毛球”与性别有关联.
（2）依题意，抽取的6人中，男生人数为：人，女生人数为人
X的所有可能取值为1，2，3，
所以，，，
X的分布列为：
.
17.（1）证明：取的中点O，连接，，，
因为E是棱的中点，所以，
又平面，平面，
所以平面，
又平面，，平面，
所以平面平面，
又平面平面，平面平面，所以.
在中，，，
又O是的中点，所以，，
又易得，，所以，
所以，所以，，
又，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面.
（2）解：因为，点O是的中点，所以，
所以，，两两垂直，
以为坐标原点，，，所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标
系，如图所示.
所以，，，，，
设，
所以，.
设平面的一个法向量，
所以
令，解得，，
所以平面的一个法向量，
又，设直线与平面所成角的大小为，
所以，
解得或，所以或.
18.（1）证明：设，分别与E切于，，
由，得，所以，
所以直线的斜率为，直线的方程为，
即，令，解得，所以.
直线的斜率为，直线的方程为，
即，令，解得，所以.
由，解得，，即.
所以，
，
所以，，所以M，N在以为直径的圆上，
即F，P，M，N四点共圆.
（2）解：易得直线的方程为，
又直线的方程为，令，解得，
即，
直线的方程为，
令，解得，即.
所以，
又，所以P到的距离为，
所以.
设，，，
由，
，当且仅当时等号成立.
所以.
令，所以，
所以当时，.
当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，即的面积的最小值是.
19.解：（1）与具有C关系，理由如下：
根据定义，若与具有C关系，则在与的定义域的交集上存在x，使得，
又，，所以，
即，解得，所以与具有C关系.
（2）因为，，
令，
因为与不具有C关系，又在上的图象连续不断，所以在上恒为负或恒为正.
若在上恒成立，则，即，
又当时，，
令，所以，令，所以，
令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，
所以，所以不存在使得在上恒成立.
若在上恒成立，即，
令，所以，
又在上单调递减，
所以当时，，
所以，当时，，
所以，所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以，即的取值范围是.
（3）因为，，
令，则，
因为与在上具有C关系，所以在上存在零点，
因为，
当且时，
因为，，所以，
所以在上单调递增，则，此时在上不存在零点，不满足题意；
当时，显然当时，，
当时，因为在上单调递增，且，，
故在上存在唯一零点，设为，则，
所以当，；
当，；又当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，在上存在唯一极小值点，
因为，所以，
又因为，所以在上存在唯一零点，
所以函数与在上具有C关系.
综上，的取值范围是.喜欢
不喜欢
总计
男生
40
60
100
女生
80
20
100
总计
120
80
200
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
1
2
3