河北省秦皇岛市2025-2026学年高二下学期3月开学考数学试卷含解析（word版）

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1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4. 本试卷主要考试内容: 人教 A 版选择性必修第一、二册。
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合 题目要求的.
1. 数列 −14,−29,−316,−425,−536,⋯ 的通项公式可以是 an=
A. −nn+12 B. −n2n+12C. −nn−12 D. −4nn+12
2. 下列求导正确的是
A. x3−11x+6′=3x2+11x2+6 B. csπ3′=−32
C. x3⋅3x′=x2⋅3x+1ln3D. exx2′=x−2exx3
3. 已知向量 a=−1,1,3,b=0,2,−1 ,则 a+2b⋅a=
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
4. 已知数列 an 满足 an=1−1an−1n≥2,a1=5 ,则 a2026=
A. 1 B. 5C. 45 D. −14
5. 图 1 所示的为一种卫星接收天线, 其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分, 已知该卫星接收天线的口径 AB=82 ,深度 MO=2 ,信号处理中心 F 位于抛物线的焦点处,则 OF=

图 1 图 2
A. 4B. 8C. 22D. 42
6. 已知 A1,−1,B 为直线 l:2x−y+5=0 上的动点， C 为 AB 的中点，记 C 的轨迹为 E ,则 E 的方程为
A. 2x−y−1=0 B. 2x−y+3=0
C. 2x−y+2=0 D. 2x−y+1=0
7. 已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的两条渐近线与直线 x=2 交于 A,B 两点,若 △OAB(O 为坐标原点)的面积为 8,则双曲线 C 的离心率是
A. 3 B. 5 C. 3 D. 5
8. 已知 m∈1,e ,若对任意的 x∈0,+∞ ,不等式 2lnx−mx≤12x2+n 恒成立,则整数 n 的最小值为
A. -1 B. -2 C. 0 D. 1
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知三条直线 l1:2x+y−3=0,l2:x−2y−4=0 与 l3:x+ay−1=0 共有两个不同的交点， 则 a 的值可能是
A. -2B. −12 C. 12 D. 2
10. 若函数 fx=x1−lnx−x−a 存在零点,则实数 a 的取值可能为
A. −12 B. 1C. 1e D. e2
11. 任取一个正整数，若是奇数，则将该数乘 3 再加上 1；若是偶数，则将该数除以 2 . 反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈 1→4→2→1 . 这就是数学史上著名的 “冰雹猜想”(又称 “角谷猜想”等). 如取正整数 m=6 ，根据上述运算法则得出 6→3→10→5→16→ 8→4→2→1 ,共需经过 8 个步骤变成 1 (简称 8 步 “雹程”). 现给出 “冰雹猜想”的递推关系如下: 已知数列 an 满足 a1=mm为正整数,an+1=an2,an为偶数,3an+1,an为奇数, 则下列结论正确的是
A. 若 m=26 ,则使得 an=1 需要 10 步 “雹程”
B. 若 m=4 ,则 a2025=1
C. 若 m=1 ，则数列 an 的前 2025 项和为 4726
D. 若 a6=4 ，则 m 的所有可能取值之和为 190
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
12. A1,−1,1 是直线 l 上一点, a=1,1,0 是直线 l 的一个方向向量,则点 P2,1,1 到直线 l 的距离是_____▲_____.
13. 已知函数 fx=sin2x−π3 ,则 limfπ4+2Δx−fπ4−2ΔxΔx= _____▲_____.
14. 一条光线从点 A−2,3 射出,经 x 轴上的点 Pm,0 反射后,与圆 C:x−32+y−22= 1 有公共点,则 m 的取值范围是_____▲_____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13 分)
已知函数 fx=13x3+x2−8x+43 .
(1)求 fx 的单调区间；
(2)若 x∈−2,4 ，求 fx 的最大值与最小值.
16.(15分)
记 Sn 为等差数列 an 的前 n 项和,已知 a2=−8,S11=0 .
(1)求数列 an 和 Sn 的通项公式；
(2)求数列 an 的前 n 项和 Tn .
17. (15 分)
如图，在直三棱柱 ABC−A1B1C1 中， AA1=2AB=2AC ， ∠BAC=90∘ ， D ， E ， F 分别是棱 AC,CC1,A1B1 的中点，点 G 在棱 BB1 上，且 B1G=3BG .

(1)证明: DF⊥EG .
(2)证明: BD// 平面 AEG .
(3)求平面 AEG 与平面 ABC 夹角的正弦值.
18. (17分)
已知函数 fx=xex,fx 的导函数为 f′x .
(1)求函数 Fx=f′x2−f′2x 的极值；
(2)判断经过点 2,0 的曲线 y=fx 的切线有多少条;
(3)当 x≤3 时， 3−12x⋅fx≥ax−2 恒成立，求实数 a 的取值范围.
19.(17 分)
在平面直角坐标系 xOy 中,过点 A−2,0,B2,0 的两条直线 SA 与直线 SB 的斜率分别为 k1,k2 ,且 k1k2=−14 ,记动点 S 的轨迹为曲线 C .
(1)求 C 的方程.
(2)已知 D 是线段 AB 上一点(异于 A ， B )，过点 D 的直线 l 与 C 交于 M ， N 两点，直线 BM,BN 分别交直线 x=3 于 E,F 两点.
(i) 若点 D 在 x 轴的正半轴上,则是否存在直线 l ,使得 △BMN 的面积是 △BEF 面积的 4 倍? 说明理由.
(ii)是否存在点 D ，使得 ME⋅NF 为定值？若存在，求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由.