2025-2026学年下学期河南青桐鸣高三数学4月检测试卷含答案

这是一份2025-2026学年下学期河南青桐鸣高三数学4月检测试卷含答案，共20页。
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。
1. 已知集合 A={x∈N∣x73−x 的解集为
A. 1,3 B. 1,2∪2,3
C. −∞,1∪2,3∪3,+∞ D. −∞,1∪3,+∞
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题 目要求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 已知函数 fx=13x3+16x−13 ,则
A. 曲线 y=fx 在点 1,f1 处的切线方程为 15x+y−31=0
B. fx 在 −2,0 上单调递增
C. fx 在 −∞,0 上有极大值 -11
D. ∃x0∈0,+∞ ,使得 fx02an+1
C. 当 m=2 时,数列 nan 的前 n 项和为 n−1⋅2n+1
D. 当 m=3 时,数列 n3an 第 7 项的值最大
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. 已知一组样本数据7,9,10,5,6,11,8,12,4,10,则该组数据的下四分位数为_____.
13. 已知圆台的体积为 289π ，上底面半径为 1，母线与下底面所成角的余弦值为 35 ，则该圆台的下底面半径为_____.
14. 已知抛物线 C:x2=2pyp>0 的焦点为 F ,过点 F 且斜率不为零的直线与 C 交于 A,B 两点,线段 AB 的垂直平分线与 y 轴交于点 E ,若 1EF−1AB=14 ,则 AB+ EF=
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (13 分)
设 △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,已知 c2ab=ab+ba+1 .
(1)求 C ；
(2)若 a=2 ， △ABC 的面积为 32 ，求 sinA−sinB 的值.
16.(15 分)
甲、乙两人进行比赛, 采用三局两胜制, 即先胜两局者获胜, 比赛结束. 已知甲第一局获胜的概率为 12 ,从第二局开始,若甲上一局获胜,则该局甲获胜的概率为 23 ,若甲上一局失败，则该局甲获胜的概率为 14 ，且每局比赛没有平局.
(1)求第二局比赛甲获胜的概率；
(2)设比赛结束甲获胜的局数为 X ，求 X 的分布列和数学期望.
17.(15 分)
如图，在 △ABC 中， AB⊥AC,BC=2AB=23,D 为 BC 的中点，过 D 作 DE⊥BC ， DE 交 AC 于 E ,将四边形 ABDE 沿 DE 翻折至四边形 A′B′DE ,使得平面 A′B′DE⊥ 平面 CDE .

(1)证明: △B′CD 是直角三角形.
(2)若 A′,B′,D,C,E 五点均在球 O 的球面上.
(1)求球 O 的表面积；
(i)求平面 B′CD 与平面 OCD 夹角的余弦值.
18.(17分)
已知 A,B 分别是双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的左、右顶点,且 AB=4 ,动点 Mm,n 在 C 上,当 m=3 时, n=52 .
(1)求 C 的标准方程.
(2)已知 P,Q 是 C 的右支上不同于 M 的两点.
(1)若线段 PM 的中点为 N2t,tt≠0 ，证明:直线 PM 的斜率为定值；
(ii) 若点 M3,52 ,直线 PM,QM 的斜率互为相反数,且 sin∠PMQ=223 ,求 △PQM 的面积.
19.(17分)
已知函数 fx=axx+1+ln1x+1 .
(1)当 a=1 时，求 fx 的极值;
(2)当 a=0 时,证明: ∀x∈0,π2,sinx+fx>0 ;
(3)已知 n∈Nn ，证明: i=1nii+1sin1i13 ,即 x−2fx−2+1>13 ,
又 ℎ1=g1=13 ,所以 x−2gx−2> g1 ,即 ℎx−2>ℎ1 ,所以 x−2>1 ,则 x− 2>1 或 x−23 或 x0 ,即 x4−16x2>0 ,解得 x2 , 所以 fx 在 −∞,−2 和 2,+∞ 上单调递增, 令 f′x