北师大版八年级下册数学第四章单元测试（含答案含解析）

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第四章 因式分解 单元测试卷一、单选题（共20分）1．（本题2分）下列式子从左到右的变形是因式分解的是（    ）A．B．C．D．2．（本题2分）把多项式因式分解时，应提取的公因式是（　　）A．B．C．D．3．（本题2分）下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是（    ）A．B．C．D．4．（本题2分）下列各式因式分解正确的是（       ）A．B．C．D．5．（本题2分）已知能用完全平方公式因式分解，则m的值为（    ）A．4B．C．8D．6．（本题2分）下列多项式中，不能用提公因式法分解因式的是（   ）A．B． C． D．7．（本题2分）若多项式可分解为，则的值为（    ）A．2B．1C．D．8．（本题2分）因式分解：（　　）A．B．C．D．9．（本题2分）已知一个三角形三边长为a，b，c，且满足，，，，则此三角形的形状是(   )A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．钝角三角形10．（本题2分）在多项式中添加一个单项式，使得到的多项式能运用完全平方公式分解因式，嘉嘉和琪琪的做法如下：嘉嘉：添加，得到；琪琪：添加，得到．则下列判断正确的是（   ）A．只有嘉嘉的做法正确B．只有琪琪的做法正确C．嘉嘉和琪琪的做法都正确D．嘉琪和琪琪的做法都不正确二、填空题（共12分）11．（本题2分）分解因式： ．12．（本题2分）实数满足方程组，那么 ．13．（本题2分）若，则 ．14．（本题2分）已知能被20到30之间的两个整数整除，则这两个整数的和是 ．15．（本题2分）把多项式提取公因式后，另一个因式为 ．16．（本题2分）我们规定：若一个四位正整数能写成两个正整数的平方差，则称M 为“智慧数”．例如：因为，所以1000是“智慧数”．按照这个规定，1002 “智慧数”（填“是”或者“不是”）．若智慧数 M是 偶 数 ，， 且满足两位 数与两位数的和为完全平方数，则满足条件的正整数M 的 值 为 ．三、解答题（共98分）17．（本题8分）分解因式：(1)(2)18．（本题10分）分解因式：(1)(2)(3)(4)19．（本题10分）已知，，求的值．20．（本题10分）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．例如：，，，因此4，12，20这三个数都是“神秘数”．(1)28和52这两个数是神秘数吗？为什么？(2)设两个连续偶数为和（其中k取非负数），由这两个连续偶数构成的“神秘数”是4的倍数吗？为什么？21．（本题10分）两个边长分别为和的正方形按如图1所示放置，再在大正方形内部的左上角摆放一个边长为的小正方形（如图2）．设图2中未重叠部分（空白）的面积为，两个小正方形未重叠的上半部分的面积为．(1)用含，的代数式分别表示，；(2)若，求的值．22．（本题10分）要把二次三项式x2+4x−5分解因式，我们可以在x2+4x−5中先加上一项4，使它与x2+4x成为一个完全平方式，然后再减去4，整个式子的值不变，于是有：x2+4x−5=x2+4x+4−4−5=(x+2)2−9=(x+2+3)(x+2−3)=(x+5)(x−1)．像这种先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．请利用“配方法”解决下列问题：(1)分解因式：x2−120x+3456．(2)已知x2+y2+8x−12y+52=0，求xy的值．23．（本题10分）仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值．解：设另一个因式为，得，则，，解得：，．另一个因式为，的值为问题：仿照以上方法解答下面问题：(1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值．(2)已知二次三项式有一个因式是，a是正整数，求另一个因式以及a的值．24．（本题10分）学习整式乘法时，老师拿出三种型号卡片，如图1．(1)选取1张A型卡片，4张C型卡片，则应取______张B型卡片才能用它们拼成一个新的正方形，此新的正方形的边长是______；（用含a，b的代数式表示）(2)选取4张C型卡片在纸上按图2的方式拼图，并剪出中间正方形作为第四种D型卡片，由此可检验的等量关系为______；(3)选取1张D型卡片，3张C型卡片按图3的方式不重复地叠放长方形框架内，已知的长度固定不变，的长度可以变化，且．图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为，，若，则a与b有什么关系？请说明理由．25．（本题10分）阅读下列解题的过程．分解因式：解：请按照上述解题思路完成下列因式分解：(1)；(2)．26．（本题10分）定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．如∶ ，，，因此8，16，24都是“和谐数”(1)特例感知：判断40是否为“和谐数”，说明理由；(2)规律探究：根据“和谐数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中k是正整数，那么“和谐数”都能被8整除吗？如果能，说明理由；如果不能，举例说明；(3)拓展应用：设m，n为正整数，且，若 和都是“和谐数”．判断是否为“和谐数”，说明理由．参考答案1．B【分析】因式分解指的是把一个多项式分解为几个整式的积的形式．本题考查了因式分解的定义，解答本题的关键是熟练掌握因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式叫因式分解，因式分解与整式乘法是互逆变形．【详解】解：A．，是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意；B．，是因式分解，符合题意；C．，是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意；D．，整式的右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，不符合题意．故选：B．2．D【分析】本题考查因式分解中公因式的确定，熟练掌握方法是关键．根据找公因式的方法，系数取最大公约数，相同字母取最低次幂即可得出．【详解】∵系数、、的最大公约数为，字母的最低次幂为，字母的最低次幂为，∴公因式为．故选：D．3．B【分析】根据平方差公式的结构特点，两个平方项，并且符号相反，对各项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：A．，两个平方项的符号相反，能用平方差公式分解因式，不符合题意；B．，两个平方项的符号相同，不能用平方差公式分解因式，符合题意；C．，可写成，两个平方项的符号相反，能用平方差公式分解因式，不合题意；D．，可写成，可写成，两个平方项的符号相反，能用平方差公式分解因式，不合题意．故选B．【点睛】本题考查平方差公式分解因式．熟记平方差公式结构是解题的关键．4．B【分析】根据因式分解的定义（把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个因式分解）及完全平方公式依次进行判断即可得．【详解】解：A、不能进行因式分解，错误；B、选项正确，是因式分解；C、选项是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意；D、，选项因式分解错误；故选：B．【点睛】题目主要考查因式分解的定义及方法，深刻理解因式分解的定义是解题关键．5．D【分析】根据的结构特征判断m的值即可．【详解】解：∵能用完全平方公式因式分解，∴故选：D．【点睛】本题考查因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式的结构特点是解题的关键．6．C【分析】本题考查了利用公式法和提公因式法分解因式．根据完全平方公式和提公因式法逐项因式分解即可得到答案．【详解】解：A．，能用提公因式法分解因式，故此选项不符合题意；B． ，能用提公因式法分解因式，故此选项不符合题意；C． ，不能用提公因式法分解因式，故此选项符合题意D．，能用提公因式法分解因式，故此选项不符合题意故选：C．7．B【分析】根据多项式乘以多项式法则把展开，再求出a，b的值，进而求解．【详解】解：∵可分解为，∴=，∴，∴，∴，故选B．【点睛】本题主要考查因式分解以及多项式乘以多项式法则，掌握运算法则和因式分解概念是关键．8．D【分析】本题考查用提公因式法及公式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．先提公因式，再利用完全平方公式因式分解即可．【详解】解：原式，故选：D．9．A【分析】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是正确的进行因式分解．根据，，，得出，整理得出，求出，，，再判断三角形形状．【详解】解：∵，，，，∴，整理得：，即，∴，，，∴此三角形为等腰三角形．故选：A．10．C【分析】本题考查了利用公式法因式分解，利用完全平方公式分解即可．【详解】解：添加，，故嘉嘉的做法正确；添加，，故琪琪的做法正确，故选：C．11．【分析】本题考查因式分解，提取公因式分解因式即可．【详解】解：．故答案为：．12．【分析】本题考查代数式求值，涉及平方差公式因式分解，先由平方差公式将所求代数式因式分解，再将代入即可得到答案，熟记平方差公式因式分解是解决问题的关键．【详解】解：，，故答案为：．13．12【分析】本题考查了非负数的性质、求代数式的值，根据非负性的性质求出与的值，再代入进行求值即可．【详解】解：∵，∴，∴，，解得，，故．故答案为：12．14．50【分析】此题考查因式分解的应用，利用平方差公式把变形为，即可求解．【详解】解：∵能被20 到 30 之间的两个整数整除，则这两个整数的和是，故答案为：50．15．【分析】先将多项式中的变形为，使两项都含有公因式，再提取公因式，即可得到另一个因式．【详解】解：提取公因式后，另一个因式为．故答案为：．【点睛】本题考查了因式分解中的提取公因式法，解题关键是通过符号变形统一公因式，再完成提取，从而确定另一个因式．16． 不是 1480【分析】假设1002是“智慧数”，则可设（m、n都是正整数），则由，再把1002分解因数得到或或或，解方程组看是否有正整数解即可判断1002是不是“智慧数”；求出，根据M为偶数，推出c为偶数且不为0，再讨论d的值，确定c的值，再根据是完全平方数确定b的值，最后确定a的值，则可求出M的值， 再根据“智慧数”的定义验证即可．【详解】解：假设1002是“智慧数”，则可设（m、n都是正整数），∴，∵，∴或或或，解得（舍去）或（舍去）或（舍去）或（舍去），综上所述，不存在正整数m、n使得，∴1002不是“智慧数”；∵，∴ ，∵M为偶数，∴d为偶数，∴c为偶数且不为0，当时，，则，∵是完全平方数，且，∴当时，是平方数，∴，∴此时M表示的数为1480，∵，∴此时M是“智慧数”，符合题意；当时，，则，∵是完全平方数，且，∴此时没有满足条件的b；当时，，则，∵是完全平方数，且，∴此时没有满足条件的b；当时，，则，∵是完全平方数，且，∴当时，是平方数，∴，∴此时M表示的数为3226；∵，∴当时，则或，解得或，∴不存在正整数s、t使得成立，∴3226不是“智慧数”；综上所述，M的值为1480，故答案为：1480．【点睛】本题主要考查了新定义，解二元一次方程组，因式分解的应用，解题的关键在于理解“智慧数”的定义．17．(1)(2)【分析】（1）先提公因式，再根据平方差公式分解即可；（2）先提公因式，再用完全平方公式分解即可．【详解】（1）解：；（2）解：．【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．18．(1)(2)(3)(4)【分析】（1）利用提公因式法，进行计算即可解答；（2）利用提公因式法，进行计算即可解答；（3）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答；（4）利用完全平方公式，进行分解即可解答．【详解】（1）解：（2）解：（3）解：（4）解：【点睛】本题考查了提公因式法与公式法因式分解的综合运用，需要注意的是，如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．19．36【分析】先利用提取公因式法和完全平方公式将所求的代数式进行因式分解，再将已知式子的值代入计算即可得．【详解】解：，∵，，∴原式．【点睛】本题考查了因式分解、代数式求值，熟练掌握因式分解的方法是解题关键．20．(1)28和52这两个数都是神秘数(2)是，见解析【分析】此题主要考查了平方差公式的应用，此题是一道新定义题目，熟练记忆平方差公式是解题关键．（1）根据“神秘数”的定义，只需看能否把28和52这两个数写成两个连续偶数的平方差即可判断；（2）运用平方差公式进行计算，进而判断即可；【详解】（1）解： 28和52这两个数是神秘数；∵，，∴28和52这两个数都是神秘数．（2）解：由和这两个连续偶数构成的“神秘数”是4的倍数．∵，∴能被4整除，∴由这两个连续偶数构成的“神秘数”是4的倍数．21．(1)，(2)100【分析】本题考查了单项式与多形式的乘法，因式分解的应用，能够运用数形结合、恰当进行代数式的变形是解答本题的关键．（1）根据根据未重叠部分的两边长分别为a，可表示出，用重叠部分的总面积减去边长为b的正方形的面积可表示出；（2）先计算出，然后把代入计算即可．【详解】（1）解：由图可得，， （2）．，．22．(1)(2)-24【分析】（1）原式前两项配方后，利用完全平方公式，以及平方差公式分解即可；（2）已知等式变形后，利用完全平方公式变形，再利用非负数的性质求出x与y的值即可．【详解】（1）x2−120x+3456= x2−120x+3600-144= = =（2）∵x2+y2+8x−12y+52= = ∴∵ ∴ 解得， ∴【点睛】此题考查了完全平方式，非负数的性质：偶次方，因式分解，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．23．(1)，(2)另一个因式是，a的值是2【分析】本题考查了因式分解与整式乘法的关系，方程组的解法，正确理解因式分解与整式的乘法互为逆运算是关键．（1）设另一个因式是，则，根据对应项的系数相等即可求得和的值．（2）设另一个因式是，则利用多项式的乘法运算法则展开，然后根据对应项的系数相等列式求出、的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【详解】（1）解：设另一个因式是，则有：，则，解得：，则另一个因式是：，；（2）解：二次三项式有一个因式是，是正整数，设另一个因式是，则，则，解得，或（舍去，不符合题意），另一个因式是，故另一个因式是，．24．(1)4，(2)(3)【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，多项式乘多项式，解决本题的关键是掌握完全平方公式．（1）根据正方形的性质即可解决问题；（2）利用正方形的面积即可解决问题；（3）设，根据题意可得根据，列出等式，整理后得，进而可以解决问题．【详解】（1）解：根据题意可知：，∴ 应取4张B型卡片才能用它们拼成一个新的正方形．∴ 此新的正方形的边长是，故答案为：4，；（2）解：根据题意可知：，故答案为：；（3）解：设，根据题意，得故答案为：．25．(1)(2)【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键．（1）根据题中所给方法可进行因式分解；（2）根据题中所给方法可进行因式分解．【详解】（1）解：；（2）解：．26．(1)40是“和谐数”，理由见解析(2)“和谐数”能被8整除，理由见解析(3)是 “和谐数”，理由见解析【分析】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是：（1）设，求出方程的解，然后由计算结果可得出答案；（2）利用平方差公式计算，然后由计算结果可得出答案；（3）根据是“和谐数”，求出，则，可设，其中k为正整数，则，故，代入，整理．由k为正整数，得出和为两个连续正奇数，结合“和谐数”的定义，即证明为“和谐数”．【详解】（1）解：设，解得，∴40是“和谐数”；（2）解：“和谐数”能被8整除，理由：，∵k是正整数，∴能被8整除，∴能被8整除，∴“和谐数”能被8整除；（3）解：∵是“和谐数”，∴，∴，∴．∵是“和谐数”，即是“和谐数”，∴可设，其中k为正整数，∴，∴，∴．∵k为正整数，∴和为两个连续正奇数，∴为“和谐数”．