第四章 因式分解【章末复习】--北师大版（新教材）八年级数学下册同步培优备课课件

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北师大版（新教材）数学八年级下册培优备课课件章末复习第四章 因式分解授课教师： . 班 级： . 时 间： 2026.01.08. 一、因式分解1. 把一个多项式化成几个整式的_______的形式，叫 做多项式的_________，也叫将多项式__________.2. 因式分解的过程和　 　的过程正好______： 前者是把一个多项式化为几个整式的_____，后者 是把几个整式的______化为一个________. 因式分解乘积 分解因式 整式乘法相反多项式 乘积 乘积 二、提公因式法1. 一般地，多项式的各项都含有的因式，叫做这个 多项式各项的________，简称多项式的________.2. 公因式的确定：(1)系数：多项式各项整数系数的 ； (2)字母：多项式各项　 　的字母；(3)各字母指数：取次数最　　的．公因式公因式最大公约数 相同 低 3. 定义：逆用乘法对加法的______律，可以把 _______写在括号外边，作为积的一个_____，这 种将多项式分解因式的方法，叫做提公因式法.分配公因式因式三、公式法 —— 平方差公式1. 因式分解中的平方差公式 a2－b2＝　 　 ；2. 多项式的特征：(1) 可化为个____整式； (2) 两项符号______； (3) 每一项都是整式的______.3. 注意事项：(1) 有公因式时，先提出公因式；(2) 进行到每一个多项式都不能再分解为止. (a＋b)(a－b)两相反平方四、公式法 —— 完全平方公式1. 完全平方公式：a2 + 2ab + b2 = ( )2 a2 - 2ab + b2 = ( )22. 完全平方式的特征：(1) 三项式；(2) 有两项是两个数 (或式) 的_______的形式；(3) 另一项是这两个数 (或式) 的______的_____倍.3. 注意事项：有公因式时，应先提出_______.a + ba - b平方和 乘积 ±2 公因式 例1 判断下列各式变形是不是分解因式，并说明理由： (1) a2 - 4 + 3a = (a + 2)(a - 2) + 3a； (2) (a + 2)(a - 5) = a2 - 3a - 10； (3) x2 - 6x + 9 = (x - 3)2； (4) 3x - 2xy + x = x(3x - 2y)2.考点一 因式分解与整式乘法的关系不是不是是不是考点二 提公因式法分解因式例2 因式分解：(1) 8a3b2＋12ab3c； (2) 2a(b＋c)－3(b＋c)；(3) (a＋b)(a－b)－a－b.解：(1) 原式 ＝ 4ab2(2a2＋3bc). (2) 原式 ＝ (2a－3)(b＋c). (3) 原式 ＝ (a＋b)(a－b－1).方法归纳：公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式.1. 把下列多项式分解因式.(1) (x3－x2)＋(x－1)(2) ax－bx－ay＋by解：(1)原式＝(x3－x2)＋(x－1)＝x2(x－1)＋(x－1)＝(x－1)(x2＋1)(2)原式＝(ax－bx)－(ay－by)＝x(a－b)－y(a－b)＝(a－b)(x－y)【练一练】例3 计算：(1) 39×37－13×91；(2) 29×20.16＋72×20.16＋13×20.16－20.16×14.考点三 利用提公因式法求值解：(1) 39×37－13×91＝3×13×37－13×91 ＝ 13×(3×37－91)＝13×20＝260； (2) 29×20.16＋72×20.16＋13×20.16－20.16×14 ＝ 20.16×(29＋72＋13－14)＝2016.2. 已知 a＋b＝7，ab＝4，求 a2b＋ab2 的值．解：因为 a＋b ＝ 7，ab ＝ 4， 所以原式＝ ab(a＋b) ＝ 4×7＝28.方法归纳 原式提取公因式变形后，将 a＋b 与 ab 作为一个整体代入计算即可得出答案．【练一练】考点四 平方差公式分解因式例4 分解因式：(1)(a＋b)2－4a2； (2)9(m＋n)2－(m－n)2.解：(1) 原式＝(a＋b－2a)(a＋b＋2a) ＝(b－a)(3a＋b). (2) 原式＝(3m＋3n－m＋n)(3m＋3n＋m－n) ＝(2m＋4n)(4m＋2n) ＝4(m＋2n)(2m＋n)．3. 已知 x2－y2＝－1，x＋y＝ ，求 x－y 的值.解：∵ x2－y2＝(x＋y)(x－y)＝－1， x＋y＝ ， ∴ x－y＝－2.【练一练】4. 如图，100 个正方形由小到大套在一起，从外向里相间画上阴影，最里面一个小正方形没有画阴影，最外面一层画阴影，最外面的正方形的边长为 100 cm，向里依次为 99 cm，98 cm，…，1 cm，那么在这个图形中，所有画阴影部分的面积和是多少？解：每一块阴影的面积可以表示成相邻正方形的面积 的差，而正方形的面积是其边长的平方， 则 S阴影＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12) ＝100＋99＋98＋97＋…＋2＋1＝5050．答：所有阴影部分的面积和是 5050 cm2.考点五 完全平方公式分解因式例5 因式分解：(1)－3a2x2＋24a2x－48a2； (2) (a2＋4)2－16a2.解：(1) 原式＝－3a2(x2－8x＋16) ＝－3a2(x－4)2. (2) 原式＝(a2＋4)2－(4a)2 ＝(a2＋4＋4a)(a2＋4－4a) ＝(a＋2)2(a－2)2.5. 已知 a＋b＝5，ab＝10，求 a3b＋a2b2＋ ab3的值.解： a3b＋a2b2＋ ab3＝ ab(a2＋2ab＋b2) ＝ ab(a＋b)2. 当 a＋b＝5，ab＝10 时， 原式＝ ×10×52＝125.【练一练】因式分解定义提公因式法公式法平方差公式完全平方公式(a＋b＋c)(a±b)2C 返回2．[渭南期末]用提公因式法分解因式2x2y2＋8x2y4时，应提取的公因式是(　　)A．2x2y4 B．8x4y2 C．8x2y4 D．2x2y2D 返回3．[西工大附中期中]若多项式4x2－mxy＋9y2能因式分解为 (a＋b)2的形式，则m的值为__________。±12 返回B 返回5．分解因式：(1)[湖南中考]a2＋13a＝________；(2)[苏州中考]x2－9＝__________；(3)[东营中考]2m3－12m2＋18m＝_____________。a(a＋13) 返回(x＋3)(x－3)2m(m－3)26．若mn＝2，m－n＝1，则代数式m2n－mn2的值是________。2 返回7．(16分)分解因式：(1)8m2－12mn；(2)a3－4ab2；(3)3a2＋6ab＋3b2；(4)x2(m－n)＋(n－m)。解：原式＝4m(2m－3n)。 返回原式＝a(a＋2b)(a－2b)。原式＝3(a＋b)2。原式＝(m－n)(x＋1)(x－1)。8．利用因式分解的方法简算：1022＋102×196＋982的结果为(　　)A．400 B．40 000 C．200 D．20 000B 返回9．若a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2＋ab＋c2－bc＝2ac，则△ABC的形状是(　　)A．等腰三角形 B．等边三角形C．等腰直角三角形 D．直角三角形A 返回10．如图，将一张长方形纸板裁剪成十二块，其中有两块是边长都为m的大正方形，三块是边长都为n的小正方形，七块是长为m，宽为n的完全相同的小长方形。观察图形，可以发现代数式2m2＋7mn＋3n2可以因式分解为_____________。(2m＋n)(m＋3n) 返回11．已知a＝m＋2 025，b＝m＋2 026，c＝m＋2 027，则代数式a2＋b2＋c2－ab－bc－ac的值为________。3 返回 返回13．(8分)如图是某体育公园内的草坪示意图，该草坪的两端为半圆形，中间是长方形。已知半圆形草坪的半径为r，长方形草坪的长为l。(1)利用整式乘积的形式表示草坪的面积S；(2)当r＝30 m，l＝100 m时，求草坪的面积S。(π取3.14)解：S＝2lr＋πr2＝r(2l＋πr)。 返回当r＝30 m，l＝100 m时，S≈30×(2×100＋3.14×30)＝30×294.2＝8 826(m2)。所以草坪的面积S为8 826 m2。1．[南通中考]分解因式：am＋a＝________。a(m＋1) 返回特色类因式分解2．[自贡中考]因式分解：m2－4m＝________。m(m－4) 返回3．[广东中考]因式分解：a2b＋ab2＝_______________。ab(a＋b) 返回4．因式分解：(1)[山西中考]m2－16＝______________；(2)4x2－4x＋1＝________。(m＋4)(m－4) 返回(2x－1)25．[北京中考]分解因式：7m2－28＝_________________。7(m＋2)(m－2) 返回6．(12分)因式分解：(1)20x2－20x＋5； (2)a2b－16b； (3)3x2(x－2y)－18x(x－2y)－27(2y－x)。解：原式＝5(4x2－4x＋1)＝5(2x－1)2。原式＝b(a2－16)＝b(a＋4)(a－4)。原式＝3x2(x－2y)－18x(x－2y)＋27(x－2y)＝3(x－2y)(x2－6x＋9)＝3(x－2y)(x－3)2。 返回7．(8分)把下列各式因式分解：(1)(x＋3)(x＋4)＋x2－9； (2)9x2－16－(x＋3)(3x＋4)。解：原式＝(x＋3)(x＋4)＋(x＋3)(x－3)＝(x＋3)[(x＋4)＋(x－3)]＝(x＋3)(2x＋1)。 返回原式＝(3x＋4)(3x－4)－(x＋3)(3x＋4)＝(3x＋4)×[(3x－4)－(x＋3)]＝(3x＋4)(2x－7)。8．(8分)把下列各式因式分解：(1)x(x＋2)＋1；　 (2)9m(n－m)－n(3m＋n)。解：原式＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2。 返回原式＝9mn－9m2－(3mn＋n2)＝9mn－9m2－3mn－n2＝－9m2＋6mn－n2＝－(3m－n)2。9．(12分)常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法。但有更多的多项式只用上述方法无法分解，如x2－4y2－2x＋4y，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了。过程如下：x2－4y2－2x＋4y＝(x－2y)(x＋2y)－2(x－2y)＝(x－2y)(x＋2y－2)。这种分解因式的方法叫作分组分解法。利用分组分解法因式分解：(1)x2－a2＋x＋a； (2)x2－2xy＋y2－16； 解：原式＝(x2－a2)＋(x＋a)＝(x＋a)(x－a)＋(x＋a)＝(x＋a)(x－a＋1)。原式＝(x－y)2－16＝(x－y＋4)(x－y－4)。(3)ax＋a2－2ab－bx＋b2。 返回解：原式＝(ax－bx)＋(a2－2ab＋b2)＝x(a－b)＋(a－b)2＝(a－b)(x＋a－b)。10．(4分)已知△ABC的三边长a，b，c满足条件：a4－b4＋ b2c2－a2c2＝0，判断△ABC的形状，并说明理由。解：△ABC是等腰三角形或直角三角形，理由如下：因为a4－b4＋b2c2－a2c2＝0，所以(a2＋b2)(a2－b2)＋c2(b2－a2)＝0，所以(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，所以a2－b2＝0或a2＋b2－c2＝0，所以a2＝b2或a2＋b2＝c2，所以△ABC是等腰三角形或直角三角形。 返回