【中考一轮复习】2023年中考数学总复习学案——专题22 相似三角形（原卷版＋解析版）

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技巧1：巧用“基本图形”探索相似条件
技巧2：巧作平行线构造相似三角形
技巧3：证比例式或等积式的技巧
【题型】一、相似图形的概念和性质
【题型】二、平行线分线段成比例定理
【题型】三、相似三角形的判定
【题型】四、相似三角形的性质
【题型】五、利用相似三角形解决实际问题
【题型】六、位似图形的概念与性质
【题型】七、平面直角坐标系与位似图形
【考纲要求】
1、了解比例线段的有关概念及其性质，并会用比例的性质解决简单的问题．
2、了解相似多边形，相似三角形的概念，掌握其性质和判定并会运用．
3、了解位似变换和位似图形的概念，掌握并运用其性质.
【考点总结】一、相似图形及比例线段
【考点总结】二、相似三角形
【技巧归纳】
技巧1：巧用“基本图形”探索相似条件
相似三角形的四类结构图：
1.平行线型．
2．相交线型．
3．子母型．
4．旋转型．
【类型】一、平行线型
1．如图，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作ED∥BC交AB于点D.
(1)求证：AE·BC＝BD·AC；
(2)如果S△ADE＝3，S△BDE＝2，DE＝6，求BC的长．
【类型】二、相交线型
2．如图，点D，E分别为△ABC的边AC，AB上的点，BD，CE交于点O，且eq \f(EO,BO)＝eq \f(DO,CO)，试问△ADE与△ABC相似吗？请说明理由．
【类型】三、子母型
3．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，E为AC的中点，ED的延长线交AB的延长线于点F.求证：eq \f(AB,AC)＝eq \f(DF,AF).
【类型】四、旋转型
4．如图，已知∠DAB＝∠EAC，∠ADE＝∠ABC.
求证：(1)△ADE∽△ABC；
(2)eq \f(AD,AE)＝eq \f(BD,CE).
技巧2：巧作平行线构造相似三角形
【类型】一、巧连线段的中点构造相似三角形
1．如图，在△ABC中，E，F是边BC上的两个三等分点，D是AC的中点，BD分别交AE，AF于点P，Q，求BPPQQD.
【类型】二、过顶点作平行线构造相似三角形
2．如图，在△ABC中，AC＝BC，F为底边AB上一点，BFAF＝32，取CF的中点D，连接AD并延长交BC于点E，求eq \f(BE,EC)的值．
【类型】三、过一边上的点作平行线构造相似三角形
3．如图，在△ABC中，AB＞AC，在边AB上取一点D，在AC上取一点E，使AD＝AE，直线DE和BC的延长线交于点P.求证：eq \f(BP,CP)＝eq \f(BD,EC).
【类型】四、过一点作平行线构造相似三角形
4．如图，在△ABC中，点M为AC边的中点，点E为AB上一点，且AE＝eq \f(1,4)AB，连接EM并延长交BC的延长线于点D.求证：BC＝2CD.
技巧3：证比例式或等积式的技巧
【类型】一、构造平行线法
1．如图，在△ABC中，D为AB的中点，DF交AC于点E，交BC的延长线于点F，
求证：AE·CF＝BF·EC.
2．如图，已知△ABC的边AB上有一点D，边BC的延长线上有一点E，且AD＝CE，DE交AC于点F，
求证：AB·DF＝BC·EF.
【类型】二、三点定型法
3．如图，在▱ABCD中，E是AB延长线上的一点，DE交BC于F.
求证：eq \f(DC,AE)＝eq \f(CF,AD).
4．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，M为BC的中点，DM⊥BC交CA的延长线于D，交AB于E.
求证：AM2＝MD·ME.
【类型】三、构造相似三角形法
5．如图，在等边三角形ABC中，点P是BC边上任意一点，AP的垂直平分线分别交AB，AC于点M，N.
求证：BP·CP＝BM·CN.
【类型】四、等比过渡法
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE∥BC，点F在边AC上，DF与BE相交于点G，且∠EDF＝∠ABE.
求证：(1)△DEF∽△BDE；
(2)DG·DF＝DB·EF.
7．如图，CE是Rt△ABC斜边上的高，在EC的延长线上任取一点P，连接AP，作BG⊥AP于点G，交CE于点D.
求证：CE2＝DE·PE.
【类型】五、两次相似法
8．如图，在Rt△ABC中，AD是斜边BC上的高，∠ABC的平分线BE交AC于E，交AD于F.
求证：eq \f(BF,BE)＝eq \f(AB,BC).
9．如图，在▱ABCD中，AM⊥BC，AN⊥CD，垂足分别为M，N.求证：
(1)△AMB∽△AND；
(2)eq \f(AM,AB)＝eq \f(MN,AC).
【类型】六、等积代换法
10．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.
求证：eq \f(AE,AF)＝eq \f(AC,AB).
【类型】七、等线段代换法
11．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点P是AD上一点，CF∥AB，延长BP交AC于点E，交CF于点F，
求证：BP2＝PE·PF.
12．如图，已知AD平分∠BAC，AD的垂直平分线EP交BC的延长线于点P.
求证：PD2＝PB·PC.
【题型讲解】
【题型】一、相似图形的概念和性质
例1、如图，在△ABC中，DE∥AB，且＝，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【题型】二、平行线分线段成比例定理
例2、如图，在中，，，，，则的长为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【题型】三、相似三角形的判定
例3、如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍然无法判定的是（ ）
A．B．C．D．
【题型】四、相似三角形的性质
例4、如图，在中，D、E分别是AB和AC的中点，，则（ ）
A．30B．25C．22．5D．20
【题型】五、利用相似三角形解决实际问题
例5、为测量某河的宽度，小军在河对岸选定一个目标点A，再在他所在的这一侧选点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，然后找出AD与BC的交点E，如图所示．若测得BE＝90 m，EC＝45 m，CD＝60 m，则这条河的宽AB等于( )
A．120 mB．67.5 mC．40 mD．30 m
【题型】六、位似图形的概念与性质
例6、如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知OA∶OD=1∶2，则△ABC与△DEF的面积比为（ ）
A．1∶2B．1∶3C．1∶4D．1∶5
【题型】七、平面直角坐标系与位似图形
例7、如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为2：5，且三角板的一边长为8cm．则投影三角板的对应边长为（ ）
A．20cmB．10cmC．8cmD．3.2cm
相似三角形（达标训练）
一、单选题
1．如图，已知，，则与的周长之比为（ ）
A．B．C．D．
2．如图，在中，高、相交于点图中与一定相似的三角形有（ ）
A．个B．个C．个D．个
3．在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，则△ADE与△ABC的面积之比为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，D是的边BC上的一点，那么下列四个条件中，不能够判定△ABC与△DBA相似的是（ ）
A．B．
C．D．
5．已知∽，和是它们的对应角平分线，若，，则与的面积比是（ ）
A．：B．：C．：D．；
二、填空题
6．如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高为1.5m，测得AB＝3m，AC＝10m，则建筑物CD的高是_____m．
7．如图所示，要使，需要添加一个条件__________（填写一个正确的即可）
三、解答题
8．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，且AD:AB=AE:AC=2:3．
(1)求证：△ADE∽△ABC；
(2)若DE=4，求BC的长．
相似三角形（提升测评）
一、单选题
1．如图，在菱形ABCD中，点E在AD边上，EF∥CD，交对角线BD于点F，则下列结论中错误的是（ ）
A．B．C．D．
2．如图1为一张正三角形纸片，其中点在上，点在上．今以为折线将点往右折后，、分别与相交于点、点，如图2所示．若，，，，则的长度为多少？（ ）
A．7B．8C．9D．10
3．如图，在平面直角坐标系中有A，两点，其中点A的坐标是（-2，1），点的横坐标是，连接，已知，则点B的纵坐标是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，D是的边上的一点，过点D作的平行线交于点E，连接，过点D作的平行线交于点F，则下列结论错误的是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
5．如图，小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子落在了地上和墙上，此时测得地面上的影长为4m，墙上的影子长为1m，同一时刻一根长为1m的垂直于地面上的标杆的影长为0.5m，则树的高度为______m．
6．如图，梯形中，，，点在的延长线上，与相交于点，与边相交于点．如果，那么与的面积之比等于______．
三、解答题
7．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，连接AF交CG于点K，H是AF的中点，连接CH．
(1)求tan∠GFK的值；
(2)求CH的长．
8．如图所示，的顶点在矩形对角线的延长线上，与交于点，连接，满足∽其中对应对应对应
(1)求证：．
(2)若，求的值．
解直角三角形的应用
相似图形
在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形.
相似多边形
若两个边数相同的多边形，它们的对应角相等、对应边成比例，则这两个多边形叫做相似多边形。
特征：对应角相等，对应边成比例。
比例线段的定义
在四条线段a，b，c，d中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，即(或a∶b＝c∶d)，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．
比例线段的性质
(1)基本性质：eq \f(a,b)＝eq \f(c,d)ad＝bc；
(2)合比性质：eq \f(a,b)＝eq \f(c,d)eq \f(a＋b,b)＝eq \f(c＋d,d)；
(3)等比性质：
若eq \f(a,b)＝eq \f(c,d)＝…＝eq \f(m,n)(b＋d＋…＋n≠0)，那么eq \f(a＋c＋…＋m,b＋d＋…＋n)＝eq \f(a,b).
黄金分割
点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果eq \f(AC,AB)＝eq \f(BC,AC)，则线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比．
相似三角形
定义
各角对应相等，各边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形．
判定
(1)平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似；
(2)两角对应相等，两三角形相似；
(3)两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；
(4)三边对应成比例，两三角形相似；
(5)斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．
性质
(1)相似三角形的对应角相等，对应边成比例；
(2)相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比；
(3)相似三角形周长的比等于相似比；
(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方