2023中考数学一轮复习专题16相似三角形(精讲学案）（通用版）

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通过实例认识图形的相似。
了解比例的基本性质，成比例的线段，通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割。
了解相似多边形和相似比。
掌握平行线分线段成比例。
了解相似三角形判定定理。
了解相似三角形性质定理。
了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小。
会利用图形的相似解决一些简单实际问题。
利用相似的直角三角形，探究并认识锐角三角函数，知道30°、45°、60°角的三角函数值。
会使用计算器由锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求对应锐角。
能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题
知识点精析
①比例线段：在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．
②比例的基本性质：(1)基本性质：⇔ ad＝bc；（b、d≠0）
(2)合比性质：⇔＝；（b、d≠0）
(3)等比性质：＝…＝＝k(b＋d＋…＋n≠0)⇔＝k.（b、d、···、n≠0）
①平行线分线段成比例定理：
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线 段成比例.即如图所示，若l3∥l4∥l5，则.
（2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长 线)，所得的对应线段成比例.
即如图所示，若AB∥CD，则.
（3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似．
如图所示，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC.
考点1：平行线分线段成比例

（2020•毕节市）已知，则的值为
A．B．C．D．
（2019•雅安）若，且，则的值是
A．4B．2C．20D．14
（2021•阿坝州）如图，直线，直线，与，，分别交于点，，和点，，．若，，则的长是
A．4B．6C．7D．12
（2021•淄博）如图，，相交于点，且，点，，在同一条直线上．已知，，，则，，之间满足的数量关系式是
A．B．C．D．
（2021•大庆）已知，则 ．
（2020•娄底）若，则 ．
（2021•连云港）如图，是的中线，点在上，延长交于点．若，则 ．
（2021秋•温州月考）若，则的值为
A．2B．C．3D．
（2021秋•瑞安市月考）若，则的值等于
A．B．C．D．
（2021•巴中）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点是线段上一点，若满足，则称点是的黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则满足的方程是
A．B．C．D．以上都不对
（2021秋•长宁区期末）已知，那么的值为 ．
（2020秋•市南区期末）若，，则的值为 ．
（2021秋•宝山区校级月考）把浓度为和的两种盐水按的比例混合在一起，得到的盐水浓度为 ．
（2020秋•赣榆区期末）已知线段，，，其中是和的比例中项，若，，则线段的长是 ．
（2021秋•新北区期中）如图，是的中线，点是边上一点，交于点，若，则 ．
（2021秋•高新区校级月考）如图，在中，、分别是边、上的点，与相交于点，若为的中点，，则的值是 ．
（2020春•禹会区校级月考）如图，在中，，，是的中点，且，则的长为 ．
（2020秋•浦东新区期中）如图，在中，若，，，则 ．
（2021秋•海淀区校级期末）已知，则 ．
（2021秋•农安县期末）若，则 ．
（2021秋•介休市期中）若，且，则 ．
（2021秋•瑞安市月考）是线段，的比例中项，若，，则 ．
（2021秋•靖江市期中）如果在比例尺为的地图上，、两地的图上距离是2.4厘米，那么、两地的实际距离是 千米．
（2021•德阳）我们把宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形是黄金矩形，边的长度为，则该矩形的周长为 ．
（2021秋•余杭区月考）如图，在中，点，分别在边，上，且，，射线和的延长线交于点，则的值为 ．
（2021秋•奉贤区校级期中）如图，在中，、分别是、上的点，与相交于点，若，，则的值是 ．
（2021秋•罗湖区校级期中）如图，中，为上一点，且，点为的中点，的延长线交于，则为 ．
（2021•上海）如图所示，已知在梯形中，，，则 ．
（2020•泸州）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点将一线段分为两线段，，使得其中较长的一段是全长与较短的一段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点称为线段的“黄金分割”点．如图，在中，已知，，若，是边的两个“黄金分割”点，则的面积为
A．B．C．D．
（2020秋•东坡区期末）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点将一线段分为两线段、，使得其中较长的一段是全长与较短的一段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割数”，把点称为线段的“黄金分割点”．如图，在中，已知，，若点是边上的一个“黄金分割点”，则的面积为
A．B．C．D．
（2020秋•梁溪区校级期中）如图，直线，等腰的三个顶点、、分别在直线、、上，，交于点．若与的距离为1，与的距离为4，则的值是 ．
（2020春•江汉区期末）如图，三边的中点分别为，，．连接交于点，交于点，则 ．
（2019秋•仪征市期末）如图，是的中线，点在延长线上，交的延长线于点，若，则 ．
知识点精析
相似三角形的判定：
考点2：相似三角形的判定

（2017•枣庄）如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是
A．B．C．D．
（2021•湘潭）如图，在中，点，分别为边，上的点，试添加一个条件： ，使得与相似．（任意写出一个满足条件的即可）
（2021秋•大东区期末）如图，下列选项中不能判定的是
A．B．C．D．
（2021秋•吉林期末）如图，中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是
A．B．
C．D．
（2021秋•皇姑区期末）在下列条件中，不能判断与相似的是
A．，B．且
C．D．且
（2021秋•花山区校级期中）下列说法正确的是
A．两个直角三角形相似
B．两条边对应成比例，一组对应角相等的两个三角形相似
C．有一个角为的两个等腰三角形相似
D．有一个角为的两个等腰三角形相似
（2021秋•宣城期中）如图，在中，，，．将沿图示中的虚线剪开，有如下几种剪法，其中满足剪下的阴影三角形与相似的个数有
A．1个B．2个C．3个D．4个
（2021秋•闵行区校级月考）依据下列条件不能判断和的相似是
A．，，，
B．，，，，
C．，，，，
D．，，，，，
（2021秋•吉林期末）如图，在中，，点是边延长线上的一点，作，与交于点．求证：．
（2020秋•铜仁市期末）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，BF平分∠ABC交AD于E，交AC于F．求证：△ABE∽△CBF．
（2020秋•辛集市期末）如图，已知，那么添加一个条件后，仍不能判定与相似的是
A．B．C．D．
（2021秋•二道区校级月考）如图，若，则下列各式不能说明的是
A．B．C．D．
（2021秋•驻马店期中）如图，在中，点，分别在边，上，与不平行，添加下列条件之一仍不能判定的是
A．B．C．D．
（2021秋•越秀区校级期中）根据下列条件，不能判定和相似的是
A．，B．，
C．，D．，
（2021秋•成都期中）如图，如果，那么添加下列一个条件后，仍不能确定的是
A．B．C．D．
（2021秋•南安市月考）如图，在矩形中，为上一点，交的延长线于点．求证：．
（2021秋•靖西市期中）如图，，且，求证：．
（2021秋•天长市月考）如图，，是的高，连接．求证：．
（2021秋•鼓楼区校级期中）如图，在中，，，、分别是、上的点，，求证：．
知识点精析
相似三角形的性质
(1)对应角相等，对应边成比例．
(2)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．
(3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比．
考点3：相似三角形的性质

（2020•大庆）已知两个直角三角形的三边长分别为3，4，和6，8，，且这两个直角三角形不相似，则的值为
A．或B．15C．D．
（2020•铜仁市）已知，它们的周长分别为30和15，且，则的长为
A．3B．2C．4D．5
（2019•沈阳）已知△，和是它们的对应中线，若，，则与△的周长比是
A．B．C．D．
（2021•镇江）如图，点，分别在的边，上，，，分别是，的中点，若，则 ．

（2021秋•浑南区期末）如果两个相似多边形的周长比是，那么它们的面积比为
A．B．C．D．
（2021秋•尤溪县期中）下列结论正确的是
A．所有的矩形都相似B．所有的菱形都相似
C．所有的正方形都相似D．所有的正多边形都相似
（2021秋•清苑区期中）如图，矩形矩形，且，则的值是
A．B．C．D．
（2021秋•海淀区校级期末）如图，△，和分别是和△的高，若，，则与△的面积的比为
A．B．C．D．
（2020秋•长宁区期末）如图，已知在中，点、点是边上的两点，联结、，且，如果，那么下列等式错误的是
A．B．C．D．
（2020秋•郧西县期末）如图，则下列式子中不成立的是
A．B．C．D．
（2020秋•马鞍山期末）在一张缩印出来的纸上，一个三角形的一条边由原图中的变成了，则缩印出的三角形的面积是原图中三角形面积的
A．B．C．D．
（2021春•永嘉县校级期末）如图，，，，则的度数是
A．B．C．D．
（2021秋•洛江区期中）如图，点在的边上，若，，且，则的值为
A．3B．C．6D．12
（2021秋•长宁区期末）如果两个相似三角形周长之比为，那么这两个三角形的面积之比为 ．
知识点精析
基础知识归纳：相似三角形与几何图形的综合．
基本方法归纳：理清题意，合理推断，准确运算是关键．
注意问题归纳：审题不清、条件利用不全是常见错误．
考点4：与相似三角形有关的证明与计算

（2021•锦州）如图，内接于，为的直径，为上一点（位于下方），交于点，若，，，则的长为
A．B．C．D．
（2021•巴中）如图，中，点、分别在、上，且，下列结论正确的是
A．B．与的面积比为
C．与的周长比为D．
（2021•贵港）如图，在正方形中，，是对角线上的两点，且，连接并延长交于点，连接并延长交于点，连接，则
A．B．C．1D．
（2021•大庆）如图，是线段上除端点外的一点，将绕正方形的顶点顺时针旋转，得到．连接交于点．下列结论正确的是
A．B．C．D．
（2021•温州）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示．过点作的垂线交小正方形对角线的延长线于点，连结，延长交于点．若，则的值为
A．B．C．D．
（2021•罗湖区）如图，在正方形中，点是上一动点（不与、重合），对角线、相交于点，过点分别作、的垂线，分别交、于点、，交、于点、．下列结论：
①；
②；
③；
④；
⑤点在、两点的连线上．
其中正确的是
A．①②③④B．①②③⑤C．①②③④⑤D．③④⑤
（2021•兰州）如图，小明探究课本“综合与实践”板块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为时，标准视力表中最大的“”字高度为，当测试距离为时，最大的“”字高度为
A．B．C．D．
（2021•盘锦）“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由示意图获得，设井深为尺，所列方程正确的是
A．B．C．D．
（2021秋•铁西区校级月考）如图，路灯点距地面，身高的小明从距路灯底部点的点沿所在的直线行走了到达点时，则小明的身影
A．增长了3米B．缩短了3米C．缩短了3.5米D．增长了3.5米
（2021秋•和平区期末）如图，在中，，高，正方形的四个顶点均在的边上，则正方形的边长为 ．
A．2B．2.5C．3D．4
（2021秋•海淀区校级期末）如图，是半圆的直径，按以下步骤作图：
（1）分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，连接与半圆交于点；
（2）分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，连接与半圆交于点；
（3）连接，，，与交于点．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论：
①平分；②；③；④；所有正确结论的序号是
A．①②B．①④C．②③D．①②④
（2021•温州模拟）著名画家达•芬奇用三个正方形和三个全等的直角三角形拼成如下图形证明了勾股定理，其中∠ACB＝∠EJD＝90°，CB＝EJ，连结HF，CJ，得到4个全等的四边形HFGI，四边形HFBA，四边形CJEA，四边形JCBD．CJ分别交AB，ED于点M，N，若MN：CJ＝5：9，且AB＝5，则HF的长为（ ）
A．B．C．D．
（2020秋•松桃县期末）如图，点在线段上，在的同侧作等腰直角三角形和等腰直角三角形和是直角），连接，交于点，与边交于点，对于下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数为
A．1个B．2个C．3个D．4个
（2020秋•长沙期末）如图，正方形，点，分别在边，上，，，与交于点，与交于点，延长至，使，连接．有如下结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是
A．①②B．①③C．①②④D．②③④
（2021春•渝中区校级期末）如图，小明同学想测量操场上路灯的高度，于是他站立在点处测得其影长为1米，小明同学继续沿着方向行走5米到达点处，此时测得其影长为3米，已知小明身高1.5米，则路灯的长为 米．
（2021秋•长宁区期末）如图，线段是的角平分线，点、点分别在线段、的延长线上，联结、，且．
（1）求证：；
（2）如果，求证：．
（2021秋•龙凤区期末）如图，在中，，以为直径的分别与，交于点，，过点作，垂足为点．
（1）求证：直线是的切线；
（2）求证：．
（2021秋•大东区期末）如图，在中，，．
（1）求证：；
（2）若，，请直接写出的长．
（2021秋•盐湖区期末）如图，在正方形中，是的中点，点在的延长线上，，交于点，，交于点．
（1）求证：．
（2）若，，求的长．
（2021秋•信都区期中）公共自行车车桩的截面示意图如图所示，，，点、在上，，，，，，．
（1）点到的距离为 24 ．
（2）点到地面的距离为 ．
（2021秋•高州市期中）如图，路灯距地面，身高的小明从点处沿所在的直线行走到点时，人影长度变短 ．
（2021秋•朝阳区期末）如图，在平行四边形中，，过点作于，连结，，为上一点，且．
（1）求证：．
（2）的长为 ．
（2020秋•仁寿县期末）如图，在矩形中，是边的中点，于点，于，连接，下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有
A．1个B．2个C．3个D．4个
（2021秋•零陵区期末）如图，点，分别在，上，且，若，，，则 ．