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浙江省台州市2024届高三下学期4月二模试题 数学 Word版含答案
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这是一份浙江省台州市2024届高三下学期4月二模试题 数学 Word版含答案，共11页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则（ ）
A.B.C.D.
2.在复平面内，复数（为虚数单位），则（ ）
A.的实部为2B.
C.D.对应的点位于第一象限
3.已知平面向量，，若，则实数（ ）
A.-1B.-2C.1D.2
4.已知正项等比数列满足，且，，成等差数列，则数列的前项和为（ ）
A.B.C.D.
5.已知x，y为正实数，则可成为“”的充要条件的是（ ）
A.B.
C.D.
6.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，则的最大值为（ ）
A.B.C.D.3
7.房屋建造时经常需要把长方体砖头进行不同角度的切割，以契合实际需要.已知长方体的规格为24cm×11cm×5cm，现从长方体的某一棱的中点处作垂直于该棱的截面，截取1次后共可以得到12cm×11cm×5cm，，三种不同规格的长方体.按照上述方式对第1次所截得的长方体进行第2次截取，再对第2次所截得的长方体进行第3次截取，则共可得到体积为165cm³的不同规格长方体的个数为（ ）
A.8B.10C.12D.16
8.设，是双曲线：的左、右焦点，点M，N分别在双曲线的左、右两支上，且满足，，则双曲线的离心率为（ ）
A.2B.C.D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.某同学最近6次考试的数学成绩为107，114，136，128，122，143.则（ ）
A.成绩的第60百分位数为122B.成绩的极差为36
C.成绩的平均数为125D.若增加一个成绩125，则成绩的方差变小
10.已知正方体的棱长为1，为平面内一动点，且直线与平面所成角为，E为正方形的中心，则下列结论正确的是（ ）
A.点的轨迹为抛物线
B.正方体的内切球被平面所截得的截面面积为
C.直线与平面所成角的正弦值的最大值为
D.点为直线上一动点，则的最小值为
11.已知是定义域为的非常数函数，若对定义域内的任意实数x，y均有，则下列结论正确的是（ ）
A.B.的值域为
C.D.是奇函数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中的系数为___________（用数字作答）.
13.某班有A，B两个学习小组，其中A组有2位男生，1位女生，B组有2位男生，2位女生.为了促进小组之间的交流，需要从A，B两组中随机各选一位同学交换，则交换后A组中男生人数的数学期望为___________.
14.已知关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围是___________.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13分）
已知数列满足，.
（1）求（只需写出数值，不需要证明）；
（2）若数列的通项可以表示成的形式，求，.
16.（15分）
台州是全国三大电动车生产基地之一，拥有完整的产业链和突出的设计优势.某电动车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入、该公司近5年的年广告费（单位：百万元）和年销售量（单位：百万辆）关系如图所示：令，数据经过初步处理得：
现有①和②两种方案作为年销售量y关于年广告费x的回归分析模型，其中a，b，m，n均为常数.
（1）请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好?
（2）根据（1）的分析选取拟合程度更好的回归分析模型及表中数据，求出y关于x的回归方程，并预测年广告费为6（百万元）时，产品的年销售量是多少?
（3）该公司生产的电动车毛利润为每辆200元（不含广告费、研发经费）.该公司在加大广告投入的同时也加大研发经费的投入，年研发经费为年广告费的199倍.电动车的年净利润受年广告费和年研发经费影响外还受随机变量影响，设随机变量服从正态分布，且满足.在（2）的条件下，求该公司年净利润的最大值大于1000（百万元）的概率.（年净利润=毛利润×年销售量-年广告费-年研发经费-随机变量）.
附：①相关系数，
回归直线中公式分别为，；
②参考数据：，，，.
17.（15分）
如图，已知四棱台中，，，，，，，且，为线段中点，
（1）求证：平面；
（2）若四棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值.
18.（17分）
已知椭圆：，直线：交椭圆于M，N两点，T为椭圆的右顶点，的内切圆为圆Q.
（1）求椭圆的焦点坐标；
（2）求圆Q的方程；
（3）设点，过P作圆Q的两条切线分别交椭圆C于点A，B，求的周长.
19.（17分）
设A，B是两个非空集合，如果对于集合A中的任意一个元素x，按照某种确定的对应关系，在集合B中都有唯一确定的元素y和它对应，并且不同的x对应不同的y；同时B中的每一个元素y，都有一个A中的元素x与它对应，则称：为从集合A到集合B的一一对应，并称集合A与B等势，记作.若集合A与B之间不存在一一对应关系，则称A与B不等势，记作.
例如：对于集合，，存在一一对应关系，因此.
（1）已知集合，，试判断是否成立?请说明理由；
（2）证明：①；
②.
参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.20 13. 14.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（本小题满分13分）
解（1），，，，
故数列的周期为3，.
（2）由，，得到
解得，.
备注：以下解法不扣分
因为的周期为3，所以
又由，得到
解得.
16.（本小题满分15分）
解：（1）设模型①和②的相关系数分别为，.
由题意可得：
.
所以，由相关系数的相关性质可得，模型②的拟合程度更好.
（2）
又由，，得，
所以，即回归方程为.
当时，，
因此当年广告费为6（百万元）时，产品的销售量大概是13（百万辆）.
（3）净利润为，，
令，
所以.
可得在上为增函数，在上为减函数.
所以，
由题意有：，即，
，
即该公司年净利润大于1000（百万元）的概率为0.3.
17.（本小题满分15分）
解：（1）分别延长线段，，，交于点，将四棱台补成四棱锥.
∵，∴，∴，
取的中点，连接，，
∵，∴四边形为平行四边形.
∴，又平面，平面，
∴平面；
（不补成棱锥，直接取的中点，利用梯形中位线也不扣分）
（2）由于，所以，
又梯形面积为，
设到平面距离为，则，得.
而，平面，平面，
所以平面，
所以点C到平面的距离与点D到平而的距离相等，
而，所以平面.
以A为坐标原点，以直线为x轴，以直线为y轴，建立空间直角坐标系，如图所示.
易得为等边三角形，所以，，，，
设平面的法向量为，则
得，，不妨取，
又平面的一个法向量为.
则，
平面与平面夹角的余弦值为.
（传统方法相应给分）
18.（本小题满分17分）
解：（1）椭圆的标准方程为，
，所以称点坐标为.
（2）将代入椭圆方程得，由对称性不妨设，
直线的方程为，即
设圆Q方程为，
由于内切圆Q在的内部，所以，
则Q到直线和直线的距离相等，即：，
解得，，
所以圆方程为.
（用周长与面积求半径的方法相应给分）
（3）显然直线和直线的斜率均存在，
设过P作圆Q的切线方程为，其中k有两个不同的取值和分别为直线和的斜率.
由圆Q与直线相切得：，化简得：，
则
由得，
可得，
所以
.
同理，
所以直线的方程为
所以与圆Q相切，
将代入得，
所以，
又点P到直线的距离为，
设的周长为，则的面积，
解得.
所以的周长为.
19.（本小题满分17分）
解：（1）设，，令
则C与D存在一一对应，所以集合.
（2）①取函数，其中，，两个集合之间存在一一对应，故.
备注：函数举例不唯一，只要保证定义域为，值域为即可，
如：或等等均给满分，
【若直接利用等势的自反性，未交待反函数关系，而给出定义域为R，值域为（0，1）的函数.如，，扣1分，交传了反函数关系不加分】
②设，，
假设，即存在对应关系：为一一对应，
对于集合B中的元素，，，至少存在一个（，且）与这三个集合中的某一个对应，所以集合A中必存在.
记，则，故，
从而存在，使得；
若，则，矛盾；
若，则，矛盾.
因此，不存在A到B的一一对应，所以.44
4.8
10
40.3
1.612
19.5
8.06
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
B
D
A
D
C
B
B
题号
9
10
11
答案
BCD
BCD
AC
本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则（ ）
A.B.C.D.
2.在复平面内，复数（为虚数单位），则（ ）
A.的实部为2B.
C.D.对应的点位于第一象限
3.已知平面向量，，若，则实数（ ）
A.-1B.-2C.1D.2
4.已知正项等比数列满足，且，，成等差数列，则数列的前项和为（ ）
A.B.C.D.
5.已知x，y为正实数，则可成为“”的充要条件的是（ ）
A.B.
C.D.
6.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，则的最大值为（ ）
A.B.C.D.3
7.房屋建造时经常需要把长方体砖头进行不同角度的切割，以契合实际需要.已知长方体的规格为24cm×11cm×5cm，现从长方体的某一棱的中点处作垂直于该棱的截面，截取1次后共可以得到12cm×11cm×5cm，，三种不同规格的长方体.按照上述方式对第1次所截得的长方体进行第2次截取，再对第2次所截得的长方体进行第3次截取，则共可得到体积为165cm³的不同规格长方体的个数为（ ）
A.8B.10C.12D.16
8.设，是双曲线：的左、右焦点，点M，N分别在双曲线的左、右两支上，且满足，，则双曲线的离心率为（ ）
A.2B.C.D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.某同学最近6次考试的数学成绩为107，114，136，128，122，143.则（ ）
A.成绩的第60百分位数为122B.成绩的极差为36
C.成绩的平均数为125D.若增加一个成绩125，则成绩的方差变小
10.已知正方体的棱长为1，为平面内一动点，且直线与平面所成角为，E为正方形的中心，则下列结论正确的是（ ）
A.点的轨迹为抛物线
B.正方体的内切球被平面所截得的截面面积为
C.直线与平面所成角的正弦值的最大值为
D.点为直线上一动点，则的最小值为
11.已知是定义域为的非常数函数，若对定义域内的任意实数x，y均有，则下列结论正确的是（ ）
A.B.的值域为
C.D.是奇函数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中的系数为___________（用数字作答）.
13.某班有A，B两个学习小组，其中A组有2位男生，1位女生，B组有2位男生，2位女生.为了促进小组之间的交流，需要从A，B两组中随机各选一位同学交换，则交换后A组中男生人数的数学期望为___________.
14.已知关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围是___________.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13分）
已知数列满足，.
（1）求（只需写出数值，不需要证明）；
（2）若数列的通项可以表示成的形式，求，.
16.（15分）
台州是全国三大电动车生产基地之一，拥有完整的产业链和突出的设计优势.某电动车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入、该公司近5年的年广告费（单位：百万元）和年销售量（单位：百万辆）关系如图所示：令，数据经过初步处理得：
现有①和②两种方案作为年销售量y关于年广告费x的回归分析模型，其中a，b，m，n均为常数.
（1）请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好?
（2）根据（1）的分析选取拟合程度更好的回归分析模型及表中数据，求出y关于x的回归方程，并预测年广告费为6（百万元）时，产品的年销售量是多少?
（3）该公司生产的电动车毛利润为每辆200元（不含广告费、研发经费）.该公司在加大广告投入的同时也加大研发经费的投入，年研发经费为年广告费的199倍.电动车的年净利润受年广告费和年研发经费影响外还受随机变量影响，设随机变量服从正态分布，且满足.在（2）的条件下，求该公司年净利润的最大值大于1000（百万元）的概率.（年净利润=毛利润×年销售量-年广告费-年研发经费-随机变量）.
附：①相关系数，
回归直线中公式分别为，；
②参考数据：，，，.
17.（15分）
如图，已知四棱台中，，，，，，，且，为线段中点，
（1）求证：平面；
（2）若四棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值.
18.（17分）
已知椭圆：，直线：交椭圆于M，N两点，T为椭圆的右顶点，的内切圆为圆Q.
（1）求椭圆的焦点坐标；
（2）求圆Q的方程；
（3）设点，过P作圆Q的两条切线分别交椭圆C于点A，B，求的周长.
19.（17分）
设A，B是两个非空集合，如果对于集合A中的任意一个元素x，按照某种确定的对应关系，在集合B中都有唯一确定的元素y和它对应，并且不同的x对应不同的y；同时B中的每一个元素y，都有一个A中的元素x与它对应，则称：为从集合A到集合B的一一对应，并称集合A与B等势，记作.若集合A与B之间不存在一一对应关系，则称A与B不等势，记作.
例如：对于集合，，存在一一对应关系，因此.
（1）已知集合，，试判断是否成立?请说明理由；
（2）证明：①；
②.
参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.20 13. 14.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（本小题满分13分）
解（1），，，，
故数列的周期为3，.
（2）由，，得到
解得，.
备注：以下解法不扣分
因为的周期为3，所以
又由，得到
解得.
16.（本小题满分15分）
解：（1）设模型①和②的相关系数分别为，.
由题意可得：
.
所以，由相关系数的相关性质可得，模型②的拟合程度更好.
（2）
又由，，得，
所以，即回归方程为.
当时，，
因此当年广告费为6（百万元）时，产品的销售量大概是13（百万辆）.
（3）净利润为，，
令，
所以.
可得在上为增函数，在上为减函数.
所以，
由题意有：，即，
，
即该公司年净利润大于1000（百万元）的概率为0.3.
17.（本小题满分15分）
解：（1）分别延长线段，，，交于点，将四棱台补成四棱锥.
∵，∴，∴，
取的中点，连接，，
∵，∴四边形为平行四边形.
∴，又平面，平面，
∴平面；
（不补成棱锥，直接取的中点，利用梯形中位线也不扣分）
（2）由于，所以，
又梯形面积为，
设到平面距离为，则，得.
而，平面，平面，
所以平面，
所以点C到平面的距离与点D到平而的距离相等，
而，所以平面.
以A为坐标原点，以直线为x轴，以直线为y轴，建立空间直角坐标系，如图所示.
易得为等边三角形，所以，，，，
设平面的法向量为，则
得，，不妨取，
又平面的一个法向量为.
则，
平面与平面夹角的余弦值为.
（传统方法相应给分）
18.（本小题满分17分）
解：（1）椭圆的标准方程为，
，所以称点坐标为.
（2）将代入椭圆方程得，由对称性不妨设，
直线的方程为，即
设圆Q方程为，
由于内切圆Q在的内部，所以，
则Q到直线和直线的距离相等，即：，
解得，，
所以圆方程为.
（用周长与面积求半径的方法相应给分）
（3）显然直线和直线的斜率均存在，
设过P作圆Q的切线方程为，其中k有两个不同的取值和分别为直线和的斜率.
由圆Q与直线相切得：，化简得：，
则
由得，
可得，
所以
.
同理，
所以直线的方程为
所以与圆Q相切，
将代入得，
所以，
又点P到直线的距离为，
设的周长为，则的面积，
解得.
所以的周长为.
19.（本小题满分17分）
解：（1）设，，令
则C与D存在一一对应，所以集合.
（2）①取函数，其中，，两个集合之间存在一一对应，故.
备注：函数举例不唯一，只要保证定义域为，值域为即可，
如：或等等均给满分，
【若直接利用等势的自反性，未交待反函数关系，而给出定义域为R，值域为（0，1）的函数.如，，扣1分，交传了反函数关系不加分】
②设，，
假设，即存在对应关系：为一一对应，
对于集合B中的元素，，，至少存在一个（，且）与这三个集合中的某一个对应，所以集合A中必存在.
记，则，故，
从而存在，使得；
若，则，矛盾；
若，则，矛盾.
因此，不存在A到B的一一对应，所以.44
4.8
10
40.3
1.612
19.5
8.06
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
B
D
A
D
C
B
B
题号
9
10
11
答案
BCD
BCD
AC
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