贵州省贵阳市观山湖区第一高级中学高二上学期期中考试数学试题（原卷版）

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考试时间：2024年11月7日 18:20-20:20 考试时长：120分钟
一、单选题（本题8小题，每小题5分，共40分.）
1. 已知点关于轴的对称点为A，则等于（ ）
A. B. C. D. 2
2. 已知圆的方程是，则圆心的坐标是（ ）
A. B. C. D.
3. 若，，是空间一组不共面的向量，则下列可以作为基底的一组向量为（ ）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
4. 设，直线，则（ ）是“”的充要条件.
A. B.
C. 或D. 以上均不对
5. 若点在直线上运动，则的最小值为（ ）
A. B. C. 13D.
6. 已知正方体的棱长为1，若存在空间一点，满足，则点到直线BC的距离为（ ）
A. B. C. D.
7. 在中，点，点，点A满足，则面积的最大值为（ ）
A B. C. D.
8. 在三棱锥中，为的重心，，若交平面于点，且，则的最小值为（ ）
A B. C. 1D.
二、多选题（本题3小题，每小题6分，共18分，漏选得部分分数，错选不得分.）
9. 下列说法中正确的是（ ）
A. 若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大
B. 若，则直线的倾斜角为
C. 若直线过点，且它倾斜角为，则这条直线必过点
D. 直线的纵截距为
10. 已知圆，点是直线上一动点，过点作圆的切线，切点分别是和，下列说法正确的为（ ）
A. 圆上恰有一个点到直线距离为B. 四边形面积的最小值为1
C. 切线长的最小值为1D. 直线恒过定点
11. 在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内的一个动点（包括边界），且平面，则下列说法正确的有（ ）
A. 动点轨迹的长度为
B. 三棱锥体积的最小值为
C. 与可能垂直
D. 当三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为
三、填空题（本题3小题，每小题5分，共15分.）
12. 直线的一个方向向量为__________（方向向量的坐标写成整数）
13. 已知直线与曲线有两个不同的交点，则的取值范围为_____
14. 如图，在棱长为2的正方体中，为边的中点，点为线段上的动点，设，则正确结论的序号为________

①当时，平面；②当时，取得最小值，其值为；
③的最小值为；④当平面时，
四、解答题（本题5小题，其中第15题13分，第16、17题每题15分，第18、19题每题17分.）
15. 如图所示，在四边形中，，，（参考公式：台体的体积公式：，圆台的侧面积公式：）

（1）求四边形绕旋转一周所成几何体的表面积
（2）求四边形绕旋转一周所成几何体的体积
16. 求符合下列条件的方程：
（1）直线过点，且横截距为纵截距的两倍．
（2）求过两点和，且圆心在轴上的圆的标准方程．
17. 瑞士数学家欧拉（Euler）在所著的《三角形的几何学》一书中证明了“任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上”这一结论，后人称这条直线为三角形的欧拉线．在中，已知，，且欧拉线的方程为．
（1）求外心的坐标；
（2）求重心的坐标；
（3）求垂心的坐标．
18. 如图，正方体中，，.
（1）当取得最小值时，求与的值.
（2）设与平面所成的角为.
①若，求的值；
②证明：存在常数，使得为定值，并求该定值.
19. 已知点，的坐标分别为和，动点满足到点的距离是它到点的距离的2倍，动点的轨迹为曲线，曲线与轴的交点分别为，点．点是直线上的一个动点，直线，分别与曲线相交于，两点（均与，不重合）．
（1）若是等腰三角形，求点的坐标；
（2）求证：直线过定点，并求出定点坐标；
（3）求四边形面积的最大值．