2024-2025学年贵州省贵阳市观山湖第一高级中学高二（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年贵州省贵阳市观山湖第一高级中学高二（下）期末数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集U=N，集合A={x|x=3k,k∈N}，B={x|x=6k,k∈N}，则正确的关系是( )
A. A∪B=BB. B∩(∁UA)=⌀C. B∪(∁UA)=UD. A∩(∁UB)=A
2.曲线y=x3+ax在x=1处的切线斜率为2，则a=( )
A. −1B. 1C. 0D. e
3.本学期某校举行了有关垃圾分类知识竞赛，随机抽取了100名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后(每组为左闭右开的区间)，画出频率分布直方图如图所示，则( )
A. 图中x的值为0.020
B. 估计样本数据的众数值为90
C. 估计样本数据的第80%分位数为95
D. 估计样本数据的平均数大于中位数
4.已知复数z=x+yi(x,y∈R)，若|z|=1，则x4x2+1+y4y2+2的最小值为( )
A. 14B. 13C. 12D. 1
5.记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a1=15,a3a4=a5，则S4=( )
A. 39B. 156C. 395D. 1565
6.已知抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F，A是该抛物线上一动点，且|AF|的最小值为1，点P(2,3)，则|AP|+|AF|的最小值为( )
A. 10B. 4C. 2D. 2 10
7.下列说法中，正确的个数是( )
①已知变量x、y线性相关，其一组样本数据(xi,yi)(i=1,2,⋯,10)，其中i=110xi=30，i=110yi=90，用最小二乘法得到的经验回归方程为y =2x+a ，则a =−3．
②根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到χ2=4.712，根据小概率值α=0.05的χ2独立性检验(x0.05=3.841)，可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不超过0.05．
③己知定义在R上的函数f(x)满足f(x−1)+f(5−x)=2，f(x+1)为偶函数，则f(2026)=1．
A. 0B. 1C. 2D. 3
8.把△D1D2D3沿三条中位线折叠成四面体ABCD，其中D1D2=12，D1D3=10，D2D3=8，则四面体ABCD的外接球表面积为( )
A. 77πB. 77π4C. 77π8D. 77π2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知2a+a=lg2b+b=2，则( )
A. ab14
C. lg2a+lg2b≥0D. 1a+1b>2
10.对于函数f(x)=−2sin(3x+π4)+12(x∈R)，有以下四种说法正确的是( )
A. 函数的最小值是−32
B. 图象的对称轴是直线x=kπ3−π12(k∈Z)
C. 图象的振幅为2，初相为π4
D. 函数在区间[−7π12,−π3]上单调递增
11.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P是线段AD1上的动点，则下列命题正确的是( )
A. 异面直线C1P与CB1所成角的大小为定值
B. 三棱锥D−BPC1的体积是定值
C. 直线CP和平面ABC1D1所成的角的大小是定值
D. 若点Q是线段BD上动点，则直线PQ与A1C不可能平行
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交双曲线的两支于A，B两点，△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为______．
13.某学校组织学生参加劳动实践活动，其中4名男生和2名女生参加农场体验活动，体验活动结束后，农场主与6名同学站成一排合影留念，则2名女生相邻且农场主站在中间的概率等于______(用数字作答)．
14.已知f(x)=xex+1e+e2，g(x)=−x2−2x−1+a，若存在x1∈R，x2∈(−1,+∞)，使得f(x1)≤g(x2)成立，则实数a的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4=4S2,a2n+1=2an+3(n∈N∗)，等比数列{bn}的前n项和为Tn，且bn+1=Tn+2(n∈N∗)．
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)令cn=anbn，求数列{cn}的前n项和Hn．
16.(本小题15分)
在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB//DC，AD⊥DC，DA=AB=PD=2，DC=4，E，F分别为棱CD，PD的中点．
(1)求证：AB⊥平面PAD；
(2)求证：PB//平面AEF；
(3)求二面角P−BC−A的正弦值．
17.(本小题15分)
某电视台综艺节目举行闯关答题的活动，具体规则如下：
(1)第一关，有三个必答问题，至少答对两个问题参与者就可以过关；
(2)进入第二关，还有三个问题，参与者只要连续答对两个题目就可以获得奖品，并终止答题，如果参与者连续答错两个题也终止答题没有奖品.只要没有出现连对或者连错的情况，答题就不终止，直到答完这三个问题.已知红星中学的李华同学参加了这个活动，并且李华同学答对第一关每一个问题的概率都是23，答对第二关三个问题的概率依次为34，12，13，请问：
(1)李华同学可以闯过第一关的概率是多少？
(2)李华同学进入第二关后，她可以获得奖品的概率是多少？
(3)设李华同学结束此次活动后，两关加一起共答对X个题目，请列出X的分布列并求数学期望．
18.(本小题17分)
19世纪法国著名数学家加斯帕尔⋅蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展，提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，且蒙日圆的半径为 a2+b2(a为椭圆的长半轴长，b为椭圆的短半轴长).已知椭圆E上任一点到点( 2,0)的距离与到直线x=3 22的距离之比为 63，椭圆E的蒙日圆为圆O．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)已知点O为坐标原点，点P是椭圆E上的任意一点，F1，F2是椭圆左右焦点，直线OP与圆O相交于M，N两点，求证：|PM||PF1|⋅|PN||PF2|是定值；
(3)过点Q(1,0)作直线l1交圆O于A、B两点，作直线l2交椭圆E于C、D两点，且l1⊥l2，求四边形ADBC面积的最小值．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=ex−aln(x+1)，g(x)=sinx−x，其中a∈R．
(1)证明：当x∈[0,+∞)时，g(x)≤0；
(2)若x>0时，f(x)有极小值，求实数a的取值范围；
(3)对任意的x∈[0,π]，2[f(x)−1]≥g′(x)恒成立，求实数a的取值范围．
答案解析
1.【答案】B
【解析】解：由题意，当k=2n，n∈N，集合A={x|x=6n,n∈N}，A=B，
当k=2n+1，n∈N，集合A={x|x=6n+3,n∈N}，B⊆A，
所以A∪B=A，A错误；
B∩(∁UA)=⌀，B正确；
由B⊆A，所以B∪∁UA≠U，C错误；
因为B⊆A，所以A∩(∁UB)≠A，D错误．
故选：B．
根据题意先判断集合A与集合B的基本关系，再逐项验证即可．
本题考查集合间关系的应用，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：由y=x3+ax在x=1处的切线斜率为2，
可得y′=3x2+a，且y′|x=1=3+a=2，可得a=−1．
故选：A．
对函数求导，结合导数的几何意义列方程求参数值．
本题主要考查导数的几何意义，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：已知某校随机抽取了100名学生进行成绩统计，
对于A，由题设(0.005+0.010+0.015+x+0.040)×10=1，可得x=0.030，故A错；
对于B，由直方图知，估计样本数据的众数值为90+1002=95，故B错；
对于C，由(0.005+0.010+0.015+0.030)×10=0.60)的焦点为F，A是该抛物线上一动点，且|AF|的最小值为1，点P(2,3)，
抛物线x2=2py(p>0)上的点A到抛物线焦点F距离的最小值为1，则有p2=1，解得p=2，
在抛物线x2=4y中，当x=2时，y=13.841=x0.05，由独立性检验可知，②对；
③，在等式f(x−1)+f(5−x)=2中，用x+4替代x可得
f(x+3)+f(1−x)=2，
因为函数f(x+1)为偶函数，故f(1−x)=f(x+1)，
所以f(x+3)+f(1−x)=f(x+3)+f(x+1)=2，
即f(x+2)+f(x)=2，进而可得出f(x+4)+f(x+2)=2，则f(x+4)=f(x)，
所以函数f(x)是周期为4的周期函数，
f(2026)=f(4×506+2)=f(2)，
在等式f(x−1)+f(5−x)=2中，令x=3，可得2f(2)=2，则f(2)=1，
故f(2026)=f(2)=1，③对．
故选：C．
利用回归直线的特点可判断①；利用独立性检验可判断②；推导出函数f(x)的周期性，结合函数周期性可判断③．
本题考查了一元线性回归模型，属于中档题．
8.【答案】D
【解析】解：如图，记D1D2，D2D3，D3D1的中点分别为B，C，D，
因为D1D2=12，D1D3=10，D2D3=8，
由中位线性质可得DB=4，CD=6，BC=5，
翻折后的四面体如图：
由翻折的性质可得AB=6，AC=4，AD=5，所以四面体ABCD对棱相等，
故可以考虑将四面体ABCD补形为长方体如下；
四面体ABCD的外接球即长方体的外接球，
设其外接球半径为R，BM=x，BN=y，BP=z，
则(2R)2=x2+y2+z2，
因为x2+y2=36x2+z2=25y2+z2=16，所以x2+y2+z2=772，
所以4R2=772，
所以四面体ABCD的外接球表面积S=4πR2=77π2．
故选：D．
由条件分析四面体ABCD的结构特征，由此考虑构造长方体，结合长方体的外接球的半径与长宽高的关系结合条件求出4R2，再由球的表面积公式求球的表面积即可．
本题考查了四面体外接球的表面积计算，属于中档题．
9.【答案】ABD
【解析】解：∵2a+a=lg2b+b=2，∴2a=2−a，lg2b=2−b，
故a、b分别是y=2x、y=lg2x与y=2−x交点的横坐标．
而y=2x 与y=lg2x与互为反函数，它们的图象关于直线y=x对称，
图中红色曲线为y=2x 的图象，图中蓝色曲线为y=lg2x的图象．
可得点A(a,2a)、点B(b,lg2b)关于直线y=x对称，
于是，a>0，b>0，a≠b，a+b=2．
故有ab4−1=14，故B正确．
由于lg2a+lg2b=lg2ab12(2+2)=2，故D正确．
故选：ABD．
由题意，可得a、b分别是y=2x、y=lg2x与y=2−x交点的横坐标，再根据函数与反函数的性质，可得a>0，b>0，a≠b，a+b=2，再利用基本不等式，得出结论．
本题主要考查指数、对数函数的图象和性质，函数与反函数的性质，基本不等式的应用，属于中档题．
10.【答案】AD
【解析】解：因为函数f(x)=−2sin(3x+π4)+12(x∈R)，则有：
对于A：当3x+π4=π2+2kπ,k∈Z，即x=π12+23kπ,k∈Z时，
函数f(x)取得最小值为−2×1+12=−32，故A正确；
对于B：令3x+π4=π2+kπ,k∈Z，解得x=π12+kπ3,k∈Z，
函数f(x)的图象的对称轴是直线x=π12+kπ3,k∈Z，故B错误；
对于C：因为f(x)=−2sin(3x+π4)+12=−2sin[(3x−3π4+2kπ)+π]+12=2sin(3x−3π4+2kπ)+12,k∈Z，
所以图象的振幅为2，
令π4=−3π4+2kπ,k∈Z，解得k=12∉Z，
所以π4不为初相，故C错误；
对于D：令π2+2kπ≤3x+π4≤3π2+2kπ,k∈Z，解得π12+2kπ3≤x≤5π12+2kπ3,k∈Z，
即函数f(x)的递增区间为[π12+2kπ3,5π12+2kπ3],k∈Z，
当k=−1时，f(x)的递增区间为[−7π12,−π4]，故D正确．
故选：AD．
求出函数的最值，对称轴方程，振幅和初相，以及函数的单调区间，即可判断正误．
本题考查三角函数性质，属于中档题．
11.【答案】AB
【解析】【分析】
本题考查异面直线所成角和线面角，考查线线平行的向量求法，属于中档题．
利用正方体的结构特征得CB1⊥平面ABC1D1，再利用线面垂直的性质得CB1⊥C1P，对A进行判断，利用正方体的结构特征得点P到平面BDC1的距离是定值，再利用三棱锥的体积公式对B进行判断，找出直线CP和平面ABC1D1所成的角，可知其不是定值，以D点为原点建坐标系，利用线线平行的向量求法，对D进行判断，从而得结论.
【解答】
解：因为CB1⊥BC1，CB1⊥AB，BC1∩AB=B，
所以CB1⊥平面ABC1D1，
又C1P⊂平面ABC1D1，得CB1⊥C1P，
所以异面直线C1P与CB1垂直，选项A正确．
三棱锥D−BPC1以BDC1为底面，
因为AD1//平面BDC1，
所以点P到平面BDC1的距离为定值，故三棱锥D−BPC1的体积是定值，选项B正确．
点C在平面ABC1D1的射影是定点(BC1与B1C的交点)，线段CP长度显然随位置变化而变化，
故直线CP和平面ABC1D1所成的角的正弦在变化，角的大小不是定值，选项C错误．
以D点为原点，DA、DC、DD1所在的直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，
则CA1=(1,−1,1)，点P坐标取(23,0,13)，
点Q坐标取(13,13,0)时，PQ=(−13,13,−13)，PQ//A1C成立，选项D错误．
故选：AB．
12.【答案】 7
【解析】解：双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交双曲线的两支于A，B两点，△ABF2为等边三角形，
则|AF1|−|AF2|=2a①，|BF2|−|BF1|=2a②，
在等边△ABF2中，|AB|=|BF2|=|AF2|，
可得①+②可得：|AF1|−|BF1|=|AB|=4a，
则|AB|=|AF1|=|AF2|=4a，
由|BF2|−|BF1|=2a，
则|BF1|=2a，
在△F1BF2中，∠F1BF2=180°−∠ABF2=120°，
由余弦定理可得：cs120°=|BF1|2+|BF2|2−|F1F2|22⋅|BF1|⋅|BF2|，
即−12=4a2+16a2−4c216a2，
由e=ca，
则−2=5−e2，
解得e= 7．
故答案为： 7．
由题意作图，根据双曲线定义表示各线段的长，利用余弦定理，可得答案．
本题考查了双曲线的性质，重点考查了双曲线离心率的求法，属中档题．
13.【答案】4105
【解析】解：根据题意，农场主与6名同学站成一排，有A77=5040种不同的站法，
2名女生相邻且农场主站在中间可分三步完成：
第一步：相邻女生只能站在第一二，第二三，第五六，第六七，有4种；
第二步：相邻女生排在一起有A22种；
第三步：4名男生排在剩下的位置有A44种．
因此2名女生相邻且农场主站在中间共有4A22A44=192种站法，
则2名女生相邻且农场主站在中间的概率P=1925040=4105．
故答案为：4105．
根据题意，由排列数公式计算“农场主与6名同学站成一排”和“2名女生相邻且农场主站在中间”的站法数目，再由古典概型公式计算即可．
本题考查排列组合相关知识，属于中档题．
14.【答案】[e2,+∞)
【解析】【分析】
本题考查了利用导数研究单调性最值、二次函数的单调性、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于较难题．
存在x1∈R，x2∈(−1,+∞)，使得f(x1)≤g(x2)成立，等价于：x1∈R，x2∈(−1,+∞)，使得f(x1)min≤g(x2)max成立．利用导数研究函数f(x)的单调性，可得函数f(x)的值域；利用二次函数的单调性可得g(x)值域，进而得出结论．
【解答】
解：存在x1∈R，x2∈(−1,+∞)，使得f(x1)≤g(x2)成立，
等价于：x1∈R，x2∈(−1,+∞)，使得f(x1)min≤g(x2)max成立，
f′(x)=(x+1)ex，
∴函数f(x)在x∈(−1,+∞)上单调递增，x∈(−∞,−1)上单调递减，
∴x=−1时，函数f(x)取得极小值即最小值，
f(x)≥f(−1)=−1e+1e+e2=e2．
g(x)=−x2−2x−1+a=−(x+1)2+a，
可得函数g(x)在x∈(−1,+∞)上单调递减，在x∈−∞,−1单调递增，
∴g(x)0，因此ℎ′(x)=(x+2)ex>0对任意x>0恒成立，
可知ℎ(x)在(0,+∞)内单调递增，因此ℎ(x)>ℎ(0)=1−a，
当1−a≥0，因此a≤1时，因此ℎ(x)>0对任意x>0恒成立，因此f′(x)>0，
可知f(x)在(0,+∞)内单调递增，无极值，不合题意；
当1−a1时，因此ℎ(x)在(0,+∞)内存在唯一零点x0>0，
当00，利用导数分析可知ℎ(x)在(0,+∞)内单调递增，分类讨论ℎ(0)=1−a的符号，进而分析f(x)的极值，即可得结果；
(3)构建F(x)=2f(x)−g′(x)−2，分析可知原题意等价于F(x)≥0对任意x∈[0,π]恒成立，根据端点效应可得a≤1，并代入检验说明其充分性即可．
本题考查函数恒成立问题，属于中档题．X
0
1
2
3
4
5
P
127
29
118
527
55162
1381