贵州省贵阳市观山湖区第一高级中学高一上学期期中考试数学试题（解析版）

这是一份贵州省贵阳市观山湖区第一高级中学高一上学期期中考试数学试题（解析版），共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 函数的定义域是指自变量的取值范围，则函数的定义域为（ ）
A. B. 且
C. D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意知，解不等式即可求解.
【详解】根据题意，要使函数有意义，需满足，即，解得，
所以函数的定义域为.
故选：C
2. 若则一定有
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】本题主要考查不等关系．已知,所以，所以，故．故选
3. 已知集合，，若，则（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】由集合相等可得元素完全相等，得到或，又由元素的互异性即可求得结果.
【详解】由题意可知，两集合元素全部相等，得到或，
又根据集合互异性，可知，解得舍去，
所以解得，所以，
故选：A
4. 下列函数中，与函数是同一函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据同一函数的定义和判定方法，逐项判定，即可求解.
【详解】由函数的定义域为；
对于A中，函数定义域为，与定义域不同，所以不同一函数；
对于B中，函数，与函数的对应关系不同，所以不是同一函数；
对于C中，函数定义域为，与定义域不同，所以不是同一函数；
对于D中，函数与的定义域都是，且对应关系都相同，所以是同一函数.
故选：D.
5. 命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出命题“，”为真命题的充要条件，进一步即可判断.
【详解】若，，即，，所以当且仅当，
所以对比选项可知，命题“，”为真命题的一个充分不必要条件可以是.
故选：D.
6. 函数的值域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】换元设，可得，再结合与二次函数的范围求解即可.
【详解】设，则，所以，因为，所以，所以函数的值域为.
故选：A．
7. 已知实数，，且满足恒成立，则的最小值为（ ）
A. 2B. 1C. D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】化简已知不等式，利用构造函数法，结合函数的单调性、奇偶性求得的取值范围，利用基本不等式求得的最小值.
【详解】依题意，，
即，
设，是奇函数且在上递增，
所以，即，
由基本不等式得，当且仅当时等号成立，
所以的最小值为.
故选：A
【点睛】利用函数的单调性和奇偶性求解不等式恒成立问题，关键点是根据题目所给不等式进行化简，转化为“规范”的形式，如本题中，结构一致，从而可利用构造函数法来对问题进行求解.
8. 在同一直角坐标系中，二次函数与幂函数图象的关系可能为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分、，、四种情况及二次函数幂函数的性质，逐一判断即可得答案.
【详解】解：因为二次函数的对称轴为，
当时，二次函数的图象开口向上，对称轴，幂函数在上单调递增，
对于C，由题意可得此时，得，所以幂函数，图象为直线，故不正确；
当时，二次函数的图象开口向上，对称轴，幂函数在上单调递减，
对于D，由题意可得此时，得，所以幂函数，图象为反比例函数的图象，满足题意，故正确；
当时，二次函数的图象开口向下，对称轴，幂函数在上单调递减，
对于B，由题意可得此时，得，所以幂函数，图象为反比例函数的图象，不满足题意，故不正确；
当时，二次函数的图象开口向下，对称轴，幂函数在上单调递增，
对于A，由题意可得此时，得以，所以幂函数，当x>1时，图象在直线下方，不满足题意，故不正确；
故选：D.
二、多选题
9. 已知集合，则下列选项正确的是（ ）
A. B. C. D. 
【答案】ACD
【解析】
【分析】求出集合，利用元素与集合、集合与集合的关系判断可得出合适的选项.
【详解】因为，所以，，，，，
选项ACD正确，B错.
故选：ACD.
10. 下列结论正确的是（ ）
A. 若是奇函数，则必有且
B. 是定义在R上的偶函数，当时，，则当时，
C. 函数的单调递减区间是
D. 若在R上是增函数，且，，则
【答案】BD
【解析】
【分析】利用函数的奇偶性可判定A、B，利用分离常数法结合反比例函数的性质可判定C，先利用作差法配方判定，根据函数的单调性判定D即可.
【详解】对于A，因为的定义域为R，由奇函数性质知,，
事实上当时，，即是奇函数也是偶函数，故A错误.
对于B，当时，，则，即，故B正确.
对于C，因为，所以函数的单调递减区间是，，故C错误.
对于D，因为，所以.
又因为在上是增函数，所以，，所以，
所以，故D正确.
故选：BD
11. 已知，，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，的最小值为9．
B. 若，的最小值为1
C. 若，的最小值为
D. 若，的最大值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于每个选项，都根据已知条件通过变形构造出可以使用基本不等式的形式，然后求出最值并判断对错.
【详解】对于A：若，则，
所以，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为9，故A正确；
对于B：若，则 ，
所以，
当且仅当，即当或时，等号成立，
而，所以的最小值不存在，故B错误；
对于C：若，则，
所以，
由，，以及可知，，
则当时，即时，
有最小值为，故C正确；
对于D：因
，设，则，
又，
当且仅当时，即时，即时，等号成立，
所以，故D正确；
故选：ACD
三、填空题
12. 满足的集合B的个数是______个.
【答案】
【解析】
【分析】由题干得，列举出集合B即可
【详解】因为，可知，但，
所以集合可能是，所以符合题意的集合B的个数是2.
故答案为：2.
13. 已知，则________.
【答案】
【解析】
【分析】应用换元法求函数解析式.
【详解】令，则，
所以，
故.
故答案为：
14. 已知函数，其中，
（1）若函数在单调，则实数的范围是__________；
（2）若存在互不相等的三个实数，，，使得，则函数的值域为__________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（1）利用单调性的定义进行处理.
（2）利用函数图象以及换元法来处理.
【详解】（1）当时，，在单调递增，当时，，其对称轴为，所以在
上单调递增，若函数在单调，则，
解得.
（2）若存在互不相等的三个实数，，，使得，
则的图象如图所示：
则，即，解得或(舍去).
对于函数，令，，所以，
其对称轴为，所以在上单调递减，所以，则函数值域为.
故答案为：，.
四、解答题
15. 已知幂函数既不是奇函数也不是偶函数.
（1）求的解析式；
（2）判断函数的单调性，并用定义法证明.
【答案】（1）
（2）函数在上单调递增，证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据幂函数的定义可得，求出m的值，再验证是否满足题意，即可求的结果.
（2）利用函数单调性的定义即可证明函数在上单调递增.
【小问1详解】
由是幂函数可得，解得或，
时，，定义域为，关于原点对称，
且，所以为奇函数，不符合题意，舍去，
时，，可得定义域为，
不关于原点对称，可得既不是奇函数也不是偶函数，符合题意，
故；
【小问2详解】
，定义域，
函数在上单调递增，
证明如下，
设且，
则
，
，，，，
，即，
故函数在上单调递增.
16. 如图所示是某水产养殖大网箱的平面图，四周的实线为网衣，为避免混养，用筛网（图中虚线）把大网箱隔成大小一样的8个小网箱.
（1）若大网箱的面积为108平方米，每个小网箱的长，宽设计为多少米时，才能使围成的网箱中筛网总长度最小；
（2）若大网箱的面积为160平方米，网衣的造价为112元/米，筛网的造价为96元/米，且大网箱的长与宽都不超米，则小网箱两相邻边长分别为多少米时，可使网衣和筛网的合计造价最低？
【答案】（1）长为米，宽为3米
（2）4米和5米
【解析】
【分析】（1）将实际问题转化成数学问题，得到是定值，利用基本不等式求最值；
（2）法一，根据题意可得，列出总造价的关系式，消去利用基本不等式求解；法二，由题意得，列出总造价的关系式，利用基本不等式求解.
【小问1详解】
依题得，
设筛网总长度为米，则，
，
当且仅当即时，筛网总长度最小，
所以每个小网箱长为米，宽为3米时，围成的网箱中筛网总长度最小.
【小问2详解】
法一：依题得，即，
设总造价为元，则
.
，
由得，解得.
当且仅当即时，造价最低，
所以小网箱两条相邻边长为4米和5米时，可使网衣和筛网的合计造价最低.
法二：依题得，
设总造价为元，则
，
由，得，
当且仅当且，即时，造价最低.
所以小网箱两条相邻边长为4米和5米时，可使网衣和筛网的合计造价最低.
17. 已知集合，集合.
（1）若，求的取值范围；
（2）在中有且仅有两个整数，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据一元二次不等式的解法、集合并集的性质分类讨论进行求解即可；
（2）根据集合交集的定义，结合题意进行求解即可.
【小问1详解】
由，
因为，所以，
当时，即时，不等式为，显然该不等式解集为空集，
即，显然成立；
当时，即时，，
要想，只需，而，所以；
当时，即时，，
要想，只需，而，所以，
综上所述：的取值范围为；
【小问2详解】
由（1）可知：当时，，此时不符合题意；
由（1）可知：当时，，
要想中有且仅有两个整数，只需，或，
由，显然，所以，
由，
所以；
由（1）可知：时，，
要想中有且仅有两个整数，只需，或，
由，而，即，
由，
所以，
综上所述：的取值范围为.
18. 已知定义在上的函数满足，当时，.
（1）若，求及的值.
（2）证明：是奇函数且在上为增函数.
（3）若，解关于的不等式.
【答案】（1），
（2）证明见解析 （3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据，利用赋值法即可求值；
（2）根据，令，结合奇函数的定义即可证明奇偶性；再利用单调性的定义证明单调性即可.
（3）根据，结合第（2）问中已经证明的函数的奇偶性和单调性化简不等式，可得，根据二次函数的图象与性质分类讨论可解不等式.
【小问1详解】
令，得，
令，，得，得，
令，得；
令，得.
【小问2详解】
由（1）知，
令，得，所以，
则是奇函数.
任取，且，则，
则.
因为当时，，
所以，即，
所以在上为增函数.
【小问3详解】
由得，
由为奇函数，且，则，
∴不等式可化为，
∵是上的增函数，
∴，即……①.
（i）当时，不等式①式即为，解得：，即原不等式解集为；
（ii）当时，不等式①式化为，即，
若，上式不等式即为，解得：，即原不等式解集为；
若，则，原不等式解集为；
若，则，原不等式解集为；
（iii）当时，不等式①式化为，即，
∵此时，∴原不等式解集为；
综上，当时，原不等式解集为；
当时，原不等式解集为；
当时，原不等式解集为；
当时，原不等式解集；
当时，原不等式解集为.
19. 对于定义域为I的函数，如果存在区间，使得在区间上是单调函数，且函数，的值域是，则称区间是函数的一个“优美区间”.
（1）判断函数和函数是否存在“优美区间”?（直接写出结论，不要求证明）；
（2）若函数，，当的最小值是0时，求m的值；
（3）若函数在R上存在“优美区间”，求实数的取值范围.
【答案】（1）存在“优美区间”，不存在“优美区间”
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）根据函数的单调性，求得函数的值域，利用新定义判断即可；
（2）利用换元法转化为二次函数在闭区间上的最值问题，分类讨论即可得解；
（3）由函数的单调性，分类讨论，，从而确定函数的最大值和最小值，转化为一元二次方程的根的分布问题，即可得解．
【小问1详解】
由题意，，在上单调递增，
由，解得或1，所以存在优美区间，
因为是增函数，若存在优美区间，则，
即，此时方程无解，故函数不存在优美区间；
【小问2详解】
，，
令，则，则，，
当，即时，的最小值为，
所以，解得；
当，即时，的最小值为，
所以，解得（舍去）；
当，即时，的最小值为，
所以，解得（舍去）．
综上所述，的值为．
【小问3详解】
函数在上存在“优美区间”，设是一个优美区间，
在上递减，在上递增，
若，则，即有两个不等的非负根，
即，可得，当，即时，
设方程两根分别为，
则，则，所以；
若，则，即，
两式相减得，即，
所以，所以方程有两个不等的非正根，
方程整理为，
由，解得，
又满足题意，由，解得，
所以；
综上所述，的取值范围是或．