贵州省遵义航天高级中学高一上学期期末考试数学试题（解析版）

这是一份贵州省遵义航天高级中学高一上学期期末考试数学试题（解析版），共37页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1. 设集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接根据交集的概念求出答案即可.
【详解】因为，所以.
故选：D
2. 若一个扇形的半径为3，圆心角为，则这个扇形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据扇形面积公式直接求解即可.
【详解】若扇形的半径为，圆心角弧度数为，
则扇形的面积为.
故选：C.
3. 已知函数，则（ ）
A. 2B. 1C. D. 0
【答案】D
【解析】
【分析】根据分段函数的解析式计算直接得出结果.
【详解】由题意知，，，
所以.
故选：D
4. 函数的最小正周期（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据余弦型函数的周期公式计算可得.
【详解】函数的最小正周期.
故选：B
5. 当x为第二象限角时， （ ）
A. 1B. 0
C. 2D. －2
【答案】C
【解析】
【分析】根据正弦、余弦函数的正负性进行求解即可.
【详解】因为是第二象限角，
所以，
故选：C
6. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据对数函数的性质得到，再根据指数函数的性质判断即可.
【详解】因为在定义域上单调递减，又，
所以，
又在定义域上单调递增，所以.
故选：B
7. 函数的部分图像如图（粗实曲线），则（ ）
A. 8B. 6C. 4D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】由函数图像知道定义域，从而求出参数的值，再代入点即可求出的值.
【详解】由函数图像可知，函数定义域，
即的解集为，也就是即的解为,
∴，∴，∴，
∵函数图像经过点，∴，∴.
故选：B.
8. 已知函数的图象关于直线对称，且，则的最小值为（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数的性质和条件列出关于的解析式即可.
【详解】由题设知直线与点分别为函数图象的对称轴与对称中心，
故，，
于是（，），即，
又，且，故的最小值是2；
故选：A.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列叙述中正确的是（ ）
A. 若，则
B. “，”的否定是“，”
C. a，b，，则“”的充要条件是“”
D. 若命题“，”为假命题，则实数m的取值范围是
【答案】AD
【解析】
【分析】利用不等式的性质判断A；利用存在量词命题的否定判断B；利用充要条件的定义判断C；求出m的范围判断D.
【详解】对于A，，则，则，A正确；
对于B，“，”是存在量词命题，其否定是：“，”，B错误；
对于C，若，，则，因此不是的充要条件，C错误；
对于D，命题“，”为假命题，则，为真命题，因此，解得，D正确.
故选：AD.
10. 已知函数的图象如图所示，则下列说法正确的有（ ）
A. 函数有5个零点
B. 点是函数的一个零点
C. 函数在区间上单调递增
D. 函数在区间上单调递减
【答案】AD
【解析】
【分析】结合图形和零点的定义，依次判断选项即可.
【详解】A：由图可知，共有5个零点，故A正确；
B：零点是函数图象与轴的交点的横坐标，
由图可知，点不是的一个零点，故B错误；
C：由图可知，在上单调递，故C错误.
D：由图可知，在上单调递减，故D正确.
故选：AD
11. 在单位圆中，已知角的始边和终边分别与单位圆的交点为和，则（ ）
A. B.
C. 扇形的面积D. 角所对的弧长
【答案】BC
【解析】
【分析】根据三角函数的定义求出、，，即可判断A、B，由扇形的面积公式及弧长公式判断C、D.
【详解】因为角的始边和终边分别与单位圆的交点为和，
所以，，，故A错误；
，故B正确；
又，则，
所以扇形的面积，故C正确；
角所对的弧长，故D错误.
故选：BC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若角的终边经过点，则的值为______．
【答案】##0.25
【解析】
【分析】根据三角函数的定义求出，再由同角三角函数的基本关系将弦化切，代入计算可得结果.
【详解】因为角的终边经过点，所以，
所以，
故答案为：.
13. 计算：__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据对数运算性质计算可得.
【详解】.
故答案为：
14. 函数的零点个数为__________.
【答案】2
【解析】
【分析】根据函数零点个数与其对应方程的根、函数图象的交点个数之间的关系，结合函数和的图象，利用数形结合的思想即可求解.
【详解】函数的定义域为，由得，
函数的零点即方程的根，
作函数和的图象，如图，
由图可知在上有个交点，故函数在上有个零点．
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合．
（1）若，求；
（2）若，求实数a的取值范围．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）把的值代入求出集合，然后即可求出；
（2）讨论和两种情况，分别求满足题意的取值范围即可.
【小问1详解】
当时，，
∵，
因此，；
【小问2详解】
∵．
①当时，即，
∴，此时满足题意；
②当时．则或，
解得或．
综上所述，实数a的取值范围是．
16. 某企业生产，两种产品，根据市场调查和预测，产品的利润（万元）与投资额（万元）成正比，其关系如图（1）所示；产品的利润（万元）与投资额（万元）的算术平方根成正比，其关系如图（2）所示．
（1）分别将，两种产品的利润表示为投资额的函数；
（2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入，两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元（精确到1万元）？
【答案】（1），；
（2）当产品投入3.75万元，产品投入6.25万元，企业获得最大利润约为4万元．
【解析】
分析】（1）由已知给出的函数模型设出解析式，代入已知数据即可算出结果；
（2）设产品投入万元，则产品投入万元，设企业的利润为万元，则有，再利用换元法转化为求二次函数在给定区间上的最值问题即可求解．
【小问1详解】
设投资额为万元，产品的利润为万元，产品的利润为万元，
由题设，，
由图可知（1），所以，又（4），所以，
所以，；
【小问2详解】
设产品投入万元，则产品投入万元，设企业的利润为万元，
，，
令，则，，
所以当时，，此时，
所以当产品投入3.75万元，产品投入6.25万元，企业获得最大利润为万元，约为4万元．
17. 求证：
（1）；
（2）.
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用正弦和差公式进行证明；
（2）在（1）的基础上，变形即可.
【小问1详解】
证明：因为,
将以上两式的左右两边分别相加，得
，
故
【小问2详解】
由（1）可得①，
设，
把代入①，即得.
18. 已知函数.
（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；
（2）求在区间上的最大值和最小值.
【答案】（1），
（2）最大值为1，最小值为
【解析】
【分析】（1）根据三角恒等变换化简函数解析式，结合周期公式以及整体代入法即可求解函数的周期和单调递增区间；
（2）先求范围，进一步即可求解函数在区间上的最值.
【小问1详解】
最小正周期，
由，，
得，，
单调递增区间为；
【小问2详解】
，，
，
在上最大值为1（当时取到），
最小值为（当时取到）.
19. 阅读材料：“同构法”是通过函数单调性解决问题时的常用方法，如下面的典型例题.已知实数，满足，则的最小值是多少？
解析：，
有，
得，
设函数，则在上单调递增，
因为，所以，
则，
当且仅当，即时等号成立.
阅读参考以上材料，解答下列问题：
（1）判断函数在上的单调性，并用定义证明；
（2）已知，求的值.
【答案】（1）函数在上的单调递增，证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据函数单调性的定义，按照：设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可；
（2）依题意可得，即，根据（1）的结论得到，最后根据对数的运算性质计算可得.
【小问1详解】
函数在上的单调递增，证明如下：
设且，
所以，
因为且，所以，，
则，
所以，即，即，
所以在上的单调递增；
【小问2详解】
由，则，即，
显然，即，
因，所以，，所以，则，
由（1）知在上的单调递增，所以，
即，即.
【点睛】关键点点睛：本题第二问解答的关键是“同构”得到，结合（1）中函数的单调性得到.