贵州省贵阳市观山湖区第一高级中学2024-2025学年高一下学期3月检测 数学试题（含解析）

这是一份贵州省贵阳市观山湖区第一高级中学2024-2025学年高一下学期3月检测 数学试题（含解析），共16页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案写在答题卡上.）
1. 若向量，满足，，且，则向量与夹角的大小是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量的夹角公式进行计算即可．
【详解】设向量与的夹角是，则，
又因为，所以．
故选：C．
2. 下列命题中正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则是平行四边形
C. 若，，则D. 若，，则
【答案】D
【解析】
【分析】利用向量相等可判断AD选项的正误，取、、、四点共线可判断B选项的正误，取可判断C选项的正误.
【详解】对于A选项，若，但、方向不相同时，，A选项错误；
对于B选项，若、、、四点共线且，则、、、无法构成四边形，B选项错误；
对于C选项，取，虽然有，，但、不一定平行，C选项错误；
对于D选项，若，，则，D选项正确.
故选：D.
3. 已知实数集合，，若，则（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据得到，或，，然后解方程，再根据集合中元素的互异性得到，，最后计算即可．
【详解】当，时，，或任意，（不符集合元素的互异性，舍）；
当，时，，，不符集合元素的互异性，
所以，，．
故选：A．
4. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状是（ ）
A. 钝角三角形B. 直角三角形
C. 锐角三角形D. 等边三角形
【答案】A
【解析】
【分析】利用余弦定理可以判断出B为钝角，则的形状为钝角三角形.
【详解】由，可得，即
则，又，则
则的形状为钝角三角形
故选：A
5. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先判断函数的奇偶性，再根据函数值的大小，结合排除法进行排除即可.
【详解】记函数，定义域为R，，
则是偶函数，图象关于y轴对称，排除AC，
又，排除D.
故选∶B.
6. 若实数、满足，且，则的最小值为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据对数运算化简条件得，再利用基本不等式求的最小值.
【详解】因为，所以，
实数x、y满足，
所以（当且仅当时等式成立），
则的最小值为．
故选：A．
7. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由条件根据二倍角余弦公式可求，再结合诱导公式求．
【详解】因为，
所以
故选：C．
8. 已知是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（ ）
A. 4B. C. 2D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】先确定向量所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值．
详解】设，共起点，
由可得得，
如图终点在直径的圆上，
设中点为，，夹角为，
因此，的最小值为圆心到向量所在直线的距离2减去半径1，为1.
故选：D.
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，至少有两个选项符合题目要求，部分选对得部分分，选错的0分.）
9. 已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D. 的解集为
【答案】BC
【解析】
【分析】根据题意，由条件可得和3为方程的根，且，进而结合韦达定理得到，进而判断ABC；将不等式化简可得，求解即可判断D.
【详解】由题意得，和3为方程的根，且，
则，即，故A错误；
，故B正确；
，故C正确；
由，即，
即，解得，故D错误.
故选：BC.
10. 中，为上一点且满足．若为线段上一点，且为正实数），则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. 的最大值为D. 的最小值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据平面向量基本定理，结合三点共线的向量性质、基本不等式逐一判断即可．
【详解】，故A正确；
由，
又，三点共线，
，故B正确；
由为正实数，，得，当且仅当时等号成立，故C错误；
，当且仅当时等号成立，故D正确．
故选：ABD．
11. 在中，内角，，所对的边分别为，，，下列与有关的结论，正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 若是锐角三角形，则
C. 若，则一定是等腰三角形
D. 若为非直角三角形，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用正弦定理、三角形内角和定理、比例的性质，结合诱导公式、正弦函数的单调性逐一判断即可.
【详解】A：由正弦定理可知：
，因此本选项正确；
B：因为是锐角三角形，
所以，
因为是锐角三角形，
所以，
因此由，所以本选项正确；
C：根据正弦定理由，
因为，所以，
因此由，或，
由，此时该三角形是等腰三角形，
由，此时该三角形是直角三角形，
所以本选项不正确，
D：在非直角三角形中，
有
，所以本选项正确，
故选：ABD
【点睛】关键点睛：本题的关键在于应用正弦定理和比例的性质.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，请将所有答案写在答题卡上.）
12. 已知轮船A和轮船B同时离开C岛，A船沿北偏东30°的方向航行，B船沿正北方向航行（如图）．若A船的航行速度为30n mile/h，1小时后，B船测得A船位于B船的北偏东45°的方向上，则此时A，B两船相距______n mile．
【答案】
【解析】
【分析】利用正弦定理即可求出结果.
【详解】由题意得，
，，，
由正弦定理，
即，解得．
故答案为：．
13. 已知向量，，则在上的投影向量的坐标为_____．
【答案】
【解析】
【分析】利用投影向量公式即可得到结果．
【详解】由题意得，，因为，所以，
所以在上的投影向量的坐标为．
故答案为：
14. 如图，某公园内有一块边长为2个单位的正方形区域市民健身用地，为提高安全性，拟在点A处安装一个可转动的大型探照灯，其照射角始终为（其中，分别在边，上），则的取值范围______．
【答案】
【解析】
【分析】设，可得,，以点为坐标原点,所在直线分别为轴建立坐标系,然后求出的坐标,结合数量积的运算和对勾函数的性质求解.
【详解】设,
则，.
以点为坐标原点,所在直线分别为轴建立坐标系,
则，,
所以.
令，，则，.
由对勾函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增，
所以.
又，所以在上值域为，
所以.
故答案为：.
四、解答题（本大题共5个小题，共77分，解答时要求写出必要的文字说明或推演步骤，请将所有答案写在答题卡上.）
15. 已知平面向量，．
（1）求的值；
（2）若向量与夹角为，求实数的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，由平面向量坐标运算的模长公式，代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，由平面向量坐标运算的夹角公式，代入计算，即可得到结果．
【小问1详解】
因为，，
所以，
故．
【小问2详解】
因为，且，
所以，
于是有，
两边平方得，整理得，
解得或，经检验，为增根，
所以.
16. 的内角，，的对边分别为，，，已知．
（1）求；
（2）若为锐角三角形，，求周长的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理边化角，再结合，即可求解；
（2）由正弦定理结合辅助角公式得到，进而可求解.
【小问1详解】
因为，由正弦定理得，
故，
中，，，所以，，则，
可得，所以，所以．
【小问2详解】
由正弦定理可得（为外接圆的半径），
所以，
因为，则，，
所以，
因为为锐角三角形，则，解得，
则，，
故周长范围为．
17. 类似于平面直角坐标系，定义平面斜坐标系:设数轴、的交点为，与、轴正方向同向的单位向量分别是、，且与的夹角为，其中，由平面向量基本定理:对于平面内的向量，存在唯一有序实数对，使得，把叫做点在斜坐标系中的坐标，也叫做向量在斜坐标系中的坐标，记为，在平面斜坐标系内，直线的方向向量（与直线平行的向量）、法向量（与直线垂直的向量）、点方向式方程等概念与平面直角坐标系内相应概念以相同方式定义，如时，方程表示斜坐标系内一条过点，且方向向量为的直线．
（1）若，，，求；
（2）若，已知直线；求的一个法向量；
【答案】（1）；
（2）；
【解析】
【分析】（1）利用定义求出
（2）先求出l的方向向量为，由得法向量
【小问1详解】
由已知，，，
则，且，
则
∴；
【小问2详解】
直线l的方程可变形为：，直线l的方向向量为；
设的一个法向量为，由得，；
令，则，；
18. 已知函数的部分图像如图所示，且，的面积等于.
（1）求函数的解析式；
（2）将图像上所有点向左平移个单位长度，得到函数的图像，若对于任意的，当时，恒成立，求实数的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）的面积求出，即，可求出，图像过点，求出，可得函数解析式；
（2）由函数图像的平移，求出解析式，设，化简函数解析式，依题意在区间上单调递减，利用正弦型函数的单调性求的最大值.
【小问1详解】
由题意可得，
，
所以，由解得，所以，
图像过点，则，又因为，所以，
所以，
【小问2详解】
由题意可得，
设
，当时，恒成立，
即恒成立，即恒成立，
在区间上单调递减，
令，解得，
因为，所以，则，
故，解得，
所以最大值为.
19. 已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数．
（1）记向量的相伴函数为，若且，求的值；
（2）设（），试求函数的相伴特征向量，并求出与方向相反的单位向量﹔
（3）已知，，，为函数（）的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）
（2），
（3）存在，
【解析】
【分析】（1）先根据相伴函数定义再结合两角和差公式计算即可；
（2）结合相伴函数定义及反向定义求解；
（3）先设点P的坐标，再应用函数求解计算可解.
【小问1详解】
由题意知，向量的相伴函数为
由题意，且，，，
故；
【小问2详解】
因为
故函数的相伴特征向量，
则与反向的单位向量为
【小问3详解】
因为，
其相伴特征向量，
故，所以，
则，
设点，
又，，
所以，，
若，则，
即，，
因为，，
故，
又，故当且仅当时，成立
故在的图象上存在一点，使得