重庆市第八中学校高2027级高二下学期阶段性检测（一）暨4月月考数学试题（含答案）

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1 ．A 【详解】对于 A：原数据平均数为 添加数据 3 后平均数为 故 A 正确；
对于 B：原数据中位数为 ，添加数据 3 后中位数为 3 ，故 B 错误；
对于 C：原数据众数为 1 ，添加数据 3 后众数为 1 和 3 ，故 C 错误；
对于 D：原数据方差为 (1_ 3)2 + (1_ 3)2 + (3 _ 3)2 + (7 _ 3)2 = 6 ，添加数据 3 后方差为 故 D 错误.
2 ．B【详解】 f ' = k 因为函数f(x) = kx _ lnx 在区间上单调递增，所以
f' = k 上恒成立，即k 上恒成立. 因为y 上单调递减，所以当x 时， y < 2 ，所以k ≥ 2 ，则k 的取值范围为[2, +∞ ) .
3 ．B【详解】依题意得 a ．故数列{an } 的周期为 3 ，所以a2026 = a1 = 5
4 ．D【详解】解： 由题意知，函数f(x) 的定义域为{x∣x ≠ ±1} ，因为ff (x ) ，所以f(x)为奇函数，排除 A； f ，排除 B ； f ，排除 C.
5 ．D【详解】 由频率分布直方图可知，单峰不对称且右“拖尾” ，最高峰偏左，众数最小.
平均数受极端值影响，与中位数相比，平均数总在“拖尾”那边，故平均数大于中位数，故得c < b < a .
6．D【详解】设该班男生组成绩和女生组成绩的平均分分别为x1 ，x2 ，两个班的总的平均分为x ，则s
7 ．B【详解】根据题意可g → g
所以g 在(_∞, 0)上单调递减，则原不等式等价于 由g → 0 > x +1> _1 ，解之得x ∈(__2, _1) .
8 ．B【详解】 g, (x) = x2 _ x + 3 ， g,, (x) = 2x _1 = 0 ，得x
又g ，所以函数g(x)关于点 对称，
即g (x)+ g (1_ x) = 2 ，则g + g (|( l = g (|( l + g ((| l = ... = g |(( 丿)l + g (|( 丿)l = 2 ，且g g |(( 丿)l + g (|( 丿)l + + g l = 2 × 1011+1 = 2023 .
二、多选题
9 ．BC【详解】若B ≤ A ，则P(AB) = P (B) ，与题干矛盾，故 A 错误；
因为P(AB) > 0 ，所以随机事件 A ，B 可以同时发生，即 A 、B 不是互斥事件，故 B 正确；因为P(A) > P (B) ，所以1_ P(A) 0 ，所以y = ex _ elnx 在(0, 1) 上单调递减，在(1, +∞ )上单调
递增，所以y = f (x)一 eg(x) 的极值点为 1 ，故 A 正确；
对于 B ，设h(x) = f (x) 一 g (x) = ex 一 lnx ，则h, = ex
因函数y = ex 与y 在(0, +∞ )上均单调递增，故h, (x)在(0, +∞ )上单调递增．
又h,( EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 6(1),e)) = e 一 e < 0, h, (1) = e 一1> 0，则存在x 使得h, = ex ，
即ex lnx0 = 一x0 ，所以当x ∈(0, x0) 时． h,(x) < 0 ，当x ∈(x0 , +∞ ) 时． h,(x) > 0 ．所以h(x)在(0, x0)上单调递减．在(x0 , +∞ )上单调递增.
所以hmin = h = ex0 一 lnx x0 ，又x x0 > 2 ，所以▽x ∈(0, +∞ ), f (x) 一 g (x) > 2 ，故 B 错误；
对于 C ，因为函数f(x) = ex 与函数g(x) = lnx 互为反函数，其图象关于y = x 对称，设点P 到y = x 的最小距离为d ，设函数f(x) = ex 上斜率为1的切线为y = x + b ，
f,(x) = ex ，由ex = 1 得x = 0 ，所以切点坐标为(0, 1) ，即b = 1 ，所以d 所以PQ 的最小值为2d = 2 ，故 C 正确；
对于 D ，若f(ax) 一 g (x) ≥ (1一 a)x 对任意的x ∈(0, +∞ )恒成立，则eax + ax ≥ x + lnx = e lnx + lnx 对任意的x ∈(0, +∞ )恒成立，
令F(x) = x + ex ，F(ax) ≥ F(lnx) ，因F, (x) = 1+ ex > 0 ．所以F(x) 在(0, +∞ )上单调递增，故ax ≥ lnx ，即a ≥ , 令u 所以u,
当0 < x < e 时，u,(x) > 0 ，则函数u(x)在(0, e)上单调递增，当x >e 时，u,(x) < 0 ，则函数u(x)在
(e, +∞) 上单调递减，所以u(x)max = u (e ) = lne = 1 ，所以a ≥ 1 ，即a 的最小值为 1 ，故 D 正确. e e e e
三、填空题
12 ． 1 【详解】 f (x) 的定义域为(0, +∞ ) ， f, (x) = ln x +1,令f, (x ) = 0 → x = 1 ， e e
当0 < x < 1 时， f, (x) < 0 ， f (x)单调递减，当x > 1 时， f, (x) > 0 ， f (x)单调递增， e e
所以x 是f(x)的极小值点
13 ． 165.4 【详解】高二年级男生与女生人数比为490 : 510 = 49 : 51，
当样本容量为 100 时，抽取男生人数为x 100 = 49 （人），抽取女生人数为x 100 = 51 （人），高二年级全体学生的平均身高估计为x 160.8 = 165.406 ≈ 165.4
14 ． 【详解】 由原式f(x) = axex +1_ lnx _ x ≥ 0 恒成立，等价于a 恒成立，令g 则a 的最小值为g(x) 的最大值.
则g,
令g, (x) = 0 ，得方程ln x + x = 2 ，解得x = x0 （x0 为唯一解），即ln x0 + x0 = 2，
所以当x ∈(0, x0) ， g, (x) > 0 ， g (x)单调递增，当x ∈(x0 , +∞ ) ， g, (x) < 0 ， g (x)单调递减，因此， x = x0 是g(x) 的极大值点，即最大值点，所以g(x) 的最大值g
由ln x0 + x0 = 2 ，得ln x0 = 2 _ x0 ，即x0 = e2_x0 ，
所以g 所以a ≥ g
四、解答题
15 ．(1)证明见解析
【详解】（1）证明： 由正方体的性质可知 AC / /A1C1 ，
因为 AC C平面 ACD1 ， A1C1 丈 平面 ACD1 ，所以 A1C1 / / 平面 ACD1 4 分
（2）设 AC,BD 交于点 O ，连接D1O ，由正方形的性质可知DO 丄 AC ，且DO = ·2因为正方体ABCD _ A1 B1 C1D1 的棱长为 2 ，所以D1A = D1C = AC = 2 ·2 ，
所以D1O 丄 AC ,且D1O 所以LD1OD 为平面 ABCD 与平面ACD1 所成角的平面角，因为DD1 丄 底面 ABCD ，所以DD1 丄 DB ，
所以sin LD1OD
即平面ABCD 与平面 ACD1 所成角的正弦值为分
（3） 以D 为坐标原点， DA, DC, DD1 所在直线分别为x, y, z 轴，建立空间直角坐标系，
则A(2, 0, 0), C (0, 2, 0), D1 (0, 0, 2), B1 (2, 2, 2) ，
= (-2, 2, 0) , 1 = ( -2, 0, 2) , 1 =( 2, 2, 0)，
设平面ACD1 的一个法向量为 = (x, y, z ) ，则 令x = 1 可得 = (1, 1, 1) ，设B1 到平面 ACD1 的距离为d ，
则d 即点B1 到平面ACD1 的距离为 分
16 ．(1) 0.02 ；(2) 74 ；
【详解】（1） 由已知得10× (m + 0.03 + 2m + 0.01 )= 1 ，解得m = 0.02 ； 4 分
（2） 由已知可估计平均数为
60× 0.02× 10 + 70× 0.03× 10 + 80× 0.04× 10 + 90× 0.01× 10 = 74； 9 分
（3）由频率分布直方图可知得分在[55, 65) ，[ \l "bkmark1" 65, \l "bkmark2" 75] 内的频率分别为0 .02 × 10 = 0.2 ，0.03× 10 = 0.3 ，即分别在两区间内的场数之比为2 : 3 ，
根据分层抽样可知，抽取的5 场比赛中得分在[55, 65) 内的有2 场，设为a ，b ，得分在[ \l "bkmark3" 65, \l "bkmark4" 75] 内的有3 场，设为c ， d ， e ，
则从5 场中随机抽取2 场的情况有( a , b ) ，(a, c) ，(a, d ) ，(a, e) ，(b, c)，(b, d )，(b, e)，(c, d ) ，(c, e) ， (d, e) ，共有10 种情况；
10
其中满足两场都不低于65 分的情况有(c, d ) ， (c, e) ， (d, e) ，共3 种情况，则所求概率为 3 .
17 ．(1)x + y -1 = 0 ；(2)答案见解析；(3) a = 2
【详解】（1）当a = 0 时， ∵ f(x) = -lnx ， ∴ f, (x ) = - 1 ， f,(1) = -1 ， f (1) = 0 x
函数f(x)在点(1, f (1)) 处的切线方程为y = - (x -1) ， x + y-1 = 0 ． 3 分
（2）因为f ax2 - ln x ，函数f(x) 的定义域为(0, +∞ ) ， f, = ax 当a ≤ 0 时， f, (x) < 0 ，函数f(x)在(0, +∞ )上单调递减；
当a > 0 时，令f, ，解得x aa 或x aa （舍去）,
当x 时， f,(x) < 0 ，函数f上单调递减， 当x a , +∞) 时， f,(x) > 0 ，函数fa , +∞ )上单调递增.
综上所述，当a ≤ 0 时，函数f(x)在(0, +∞ )上单调递减；
当a > 0 时，函数f上单调递减，在 a , +∞)上单调递增. … … …8 分
（3）当a ≤ 0 时， f,(x) < 0 ，函数f(x)在[1, e] 上单调递减，所以fmin = f ae2 _1 = 1 ，所以a 不合题意舍去；
当a > 0 时，若 a ≤ 1 即a ≥1 ，函数f(x)在[1, e]上单调递增，所以 fmin = f a _ 0 = 1 ，所以a = 2 ，符合题意；
若 ≥ e 即0 < a ≤ , 函数f(x)在[1, e]上单调递减，所以 fmin = f ae2 _1 = 1 ，
所以a 不符合题意；
若1 < < e 即 < a < 1 ，函数f(x)在 上单调递减，在 a , e]上单调递增，所以f min = f ln 不符合题意；
综上，函数f(x)在区间[1, e]上的最小值为 1 ，则a = 2 15 分
18 ．(1) y2 = 4x (2) (ⅰ) x = y + 2 或l ： x = _y + 2 ；(ⅱ) (10, 0) . 【详解】（1）当l 与x 轴垂直时， yA = yB = 2 ，
4p
则AB = = 4 ·2 ，解得： p = 2 ，即 C ： y2 = 4x 3 分（2）(ⅰ) 由l 与抛物线交于 A ， B 两点知直线斜率不为 0
可设l ： x = my + 2 ， A (x1 , y1) ， B (x2 , y2) ，
联立方程组： 得到： y2 _ 4my__8 = 0 ，由韦达定理： y1 + y2 = 4m ， y1y2 = _8 ，则x1 + x x1x
因为cs LAOB x1xx1x
代入知：cs LAOB 解得： m = ±1 ，即l ： x = y + 2 或l ： x = _y + 2 ； …10 分(ⅱ) 由对称性，不妨取l ： x = y + 2 ，由于 A 故OA： y = x ，
因为PE 丄 OA ，设P(a , 0) ，所以PE ： y
联立解得： E ，同理有： F
所以kEF
由（2）得： y1 + y2 = 4 ， y1y2 = _8 ，代入可知： kEF 故EF ： y
由于yEQ \* jc3 \* hps11 \\al(\s\up 4(2),1) _ 4y1 _ 8 = 0 ，故4y1 = yEQ \* jc3 \* hps11 \\al(\s\up 4(2),1) _ 8 ，
则 即EF ： y 因为kPG = _1 ，所以PG ：y = _ (x _ a ) ，联立解得：G 因为E ，F ，G 三点共线，所以G 在直线EF上，代入得： 解得： a = 10 ，故P 的坐标为(10, 0) . … … 17 分
19 ．(1)（i） _1；(ⅱ) 证明见解析(2)证明见解析
【详解】（1）（i）当a = 0 时， f (x) = xlnx _ x ，其定义域为(0, +∞ )，
又f, = lnx + x lnx ，所以当0 < x 1 时， f, (x) > 0 ，所以f(x)在(1, +∞ )上单调递增，
所以f(x)在x = 1 处取得极小值，也是最小值，即f(x)min = f (1) = 1× ln1_1= _1； 4 分
(ⅱ) 由（i）知，当x > 0 时， f (x) = xlnx _ x ≥ _1 ，即x _ x lnx ≤ 1 ，
令x ，则 lnln n ≤ 1 ，所以2 ln n ≤ n2 _ 1 ，则 ，所以 得证. … … …9 分
（2）函数f(x) = (x _ a)ln x _ x 的定义域为(0, +∞ ) ，又f, = lnx lnx 因为 x1 ， x2 是f(x) 的两个极值点，所以lnx1 _ = 0 ， lnx ，即a = x1lnx1 = x2lnx2 ，
令g (x) = xlnx ， x ∈(0, +∞ ) ，则g, (x) = lnx +1 ，当 时g, ，当x > 时g, (x) > 0 ，所以g(x)在 上单调递减，在 上单调递增，
不妨假设0 < x1 < < x2 ，要证x1 + x2 > ，只需证x2 > _ x1 ，因为0 < x1 < ，所以 因为g(x)在 上单调递增，所以只需证g > g ，
又因为g(x1) = g (x2) ，所以只需证g > g
令h = g _ g 则h, = lnx +1+ ln +1 = ln
因为0 < x < ，所以 则ln< _2 ，所以h,(x) < 0 ，
所以h(x) 在 上单调递减，h > h 所以g > g 即x1 + x2 > . … 17 分