重庆市第八中学2023-2024学年高一下学期2月阶段测试数学试卷（Word版附解析）

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先确定集合，再求交集.
【详解】由已知集合，
所以.
故选：B
2. 定义在上的奇函数，当时，，则（ ）
A. 6B. 10C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用奇函数可得即可求解
【详解】定义在上的奇函数，当时，，
则
故选：D．
3. 是第一象限角或第二象限角，则是（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】由题可得时的范围，再根据充分必要条件的概念即得．
【详解】由，可得是第一象限角或第二象限角或终边在轴非负半轴，
所以由推不出，而由是第一象限角或第二象限角，可得，
所以由可推出，
所以是的必要不充分条件．
故选：B．
4. 下列说法正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
C. 两个单位向量的长度相等
D. 若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等
【答案】C
【解析】
【分析】A. 由判断；B.由平面向量的定义判断；C. 由单位向量的定义判断； D.由共线向量判断.
【详解】A. 当时，满足，，而不一定平行，故错误；
B.两个有共同起点，且长度相等的向量，方向不一定相同，所以它们的终点不一定相同，故错误；
C. 由单位向量的定义知，两个单位向量的长度相等，故正确；
D.若两个单位向量平行，则方向相同或相反，但大小不一定相同，则这两个单位向量不一定相等，故错误；
故选：C
5. 设是第二象限角，P（－4，y）为其终边上的一点，且，则等于（ ）
A. －B. －C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据任意角三角函数的定义即可求解.
【详解】因为，所以，解得，
又是第二象限角，所以，所以．
故选：A．
6. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】判断函数的奇偶性，再判断函数值的正负，从而排除错误选项，得正确选项.
【详解】因为
所以
得，
所以为奇函数，
排除C；
在，设，，单调递增，因此，
故在上恒成立，
排除A、D，
故选：B.
【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：
（1）从函数定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置.
（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.
7. 已知函数是定义在上的偶函数，若，，且，都有成立，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，构造函数，求出函数的单调性和奇偶性，即可求出不等式的解集.
【详解】令，由题意知在上为减函数，
又为上的偶函数，所以为上的奇函数，
又在上为减函数，，
所以在上为减函数，
①当时，，即，
所以，所以，解得；
②当时，，即，
所以，所以，解得.所以或.
故选：D.
8. 设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题设条件画出函数的简图，由图象分析得出的取值范围.
【详解】当时，，则，
即当时，，
同理当时，；
当时，.
以此类推，当时，都有.
函数和函数在上的图象如下图所示：
由图可知，，解得，
即对任意，都有，即的取值范围是.
故选：D
【点睛】关键点睛：解决本题的关键对的理解，并结合图象，非常直观的得出满足条件的m的取值范围.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分．
9. 噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级：
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据题意可知，结合对数运算逐项分析判断.
【详解】由题意可知：，
对于选项A：可得，
因为，则，即，
所以且，可得，故A正确；
对于选项B：可得，
因为，则，即，
所以且，可得，
当且仅当时，等号成立，故B错误；
对于选项C：因为，即，
可得，即，故C正确；
对于选项D：由选项A可知：，
且，则，
即，可得，且，所以，故D正确；
故选：ACD
10. 设函数（），已知在有且仅有3个零点，下列结论正确的是（ ）
A. 在上存在，，满足
B. 在有且仅有1个最小值点
C. 在单调递增
D. 的取值范围是
【答案】AB
【解析】
【分析】由题意根据在区间，有3个零点画出大致图象，可得区间长度介于周期，，再用表示周期，得的范围．
【详解】画出函数大致图象如图所示，
当时；
又，
所以时在轴右侧第一个最大值区间内单调递增，
函数在，仅有3个零点时，则的位置在之间（包括，不包括，
令，则得，，
轴右侧第一个点横坐标为，周期，
所以，
即，解得，所以错误；
在区间，上，函数达到最大值和最小值，
所以存在，，满足，所以正确；
由大致图象得，在内有且只有1个最小值，正确；
因为最小值为，所以时，，，
所以时，函数不单调递增，所以错误．
故选：AB
【点睛】本题考查了三角函数图象及周期的计算问题，由题意求出的范围，再判断命题的真假性，是解题的关键．
11. 已知定义在上的函数满足，当时，，且，则（ ）
A.
B. 为偶函数
C. 在上单调递减
D. 任意，存在，使得
【答案】ACD
【解析】
【分析】运用赋值法，结合函数定义逐项判断即可得.
【详解】对A：令，，则有，又，
故，即，故A正确；
对B：由，则有，
即，即有，
又定义域为，故为奇函数，故B错误；
对C：令，则有，，，由当时，，
故，，则，
即时，有，故在上单调递减，
即C正确；
对D：等价于，
由为奇函数，设函数，
则对任意，
都有，
故函数为奇函数，
故对任意，存在，使，
即任意，存在，使得，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点睛：本题关键在于运用赋值法，结合函数性质的定义解决函数的性质问题.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填写在答题卡相应位置．
12. 如图，在正六边形ABCDEF中，______．
【答案】
【解析】
【分析】根据正六边形的性质与平面向量运算即可得答案.
【详解】由题意，根据正六边形的性质
.
故答案为：
13. 已知且为第四象限角，若，则值是_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据已知条件求得，进而求得.
【详解】依题意，且为第四象限角，
所以，.
，，
，
所以.
故答案为：
14. 函数满足，且均大于，且， 则的最小值为____________
【答案】
【解析】
【分析】求出函数的解析式，利用给定等式，结合基本不等式求解即得.
【详解】由，得，由，得，
由均大于，知，则，
解得，当且仅当时取等号，
所以
故答案为：
四、解答题：本题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知集合，．
（1）求；
（2）记关于的不等式的解集为，若，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）或.
【解析】
【分析】（1）先解不等式求得集合，然后根据补集、交集的知识求得正确答案.
（2）根据集合的包含关系列不等式，由此求得的取值范围.
【小问1详解】
由解得，所以.
由得或，解得或，
所以，，
所以.
【小问2详解】
由，解得，
所以，要使，
则需或，解得或.
16. 已知函数（其中）的图象如图所示．
（1）求函数的解析式；
（2）若将函数的图象上的所有点向右平移，再将横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，若函数在有零点，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据函数图象，依次求得的值，从而求得的解析式.
（2）根据三角函数图象变换的知识求得，根据在区间上的值域求得正确答案.
【小问1详解】
由图可知，，，
，由于，
所以，所以.
【小问2详解】
将函数的图象上的所有点向右平移，得到，
再将横坐标伸长到原来的2倍，得到函数，
由得，此时，
所以要使函数在有零点，则.
17. 已知函数，．
（1）解不等式；
（2）方程在上有解，求a取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用换元法可得，即可根据指数函数的单调性即可求解，
（2）根据对数的运算性质可将问题转化为在上有解，利用换元法，结合函数的单调性即可求解.
【小问1详解】
，令（），
，
得（舍）或，
故，
所以解集为；
【小问2详解】
，
，
故（）在上有解，
等价于在上有解，
令，，，
故函数在上单调递增，
则当，，当，，故.
18. 随着私家车的逐渐增多，居民小区“停车难”问题日益突出．本市某居民小区为缓解“停车难”问题，拟建造地下停车库，建筑设计师提供了该地下停车库的入口和进入后的直角转弯处的平面设计示意图．
（1）按规定，地下停车库坡道口上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入，为标明限高，请你根据该图1所示数据计算限定高度CD的值．（精确到0.1m）（下列数据提供参考：，，）
（2）在车库内有一条直角拐弯车道，车道的平面图如图2所示，车道宽为3米，现有一辆转动灵活的小汽车，在其水平截面图为矩形ABCD，它的宽AD为1.8米，直线CD与直角车道的外壁相交于E、F．
①若小汽车卡在直角车道内（即A、B分别在PE、PF上，点O在CD上）（rad），求水平截面的长（即AB的长，用表示）
②若小汽车水平截面的长为4.4米，问此车是否能顺利通过此直角拐弯车道？
【答案】（1）2.8m；
（2）①，；②小汽车能够顺利通过直角转弯车道.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，在两个直角三角形中，利用直角三角形边角关系计算作答.
（2）①利用给定图形结合直角三角形锐角三角函数定义，用表示EF，BE，CF即可作答；
②由①的结论，利用换元法并借助函数单调性，求出AB长的最小值作答.
【小问1详解】
图1中：在中，，，，又，
则(m)，而m，有(m)，
在中，，，，
则(m)，
结合实际意义，四舍五入会使车辆卡住，可以使用去尾法，则m，
所以限定高度的值约为2.8m.
【小问2详解】
①图2中：依题意，则，，，，
又，设，
，；
②由①知，设，则，，，
则，
而，函数在上单调递增，则在上是减函数，
于是得当，即时，，
所以小汽车能够顺利通过直角转弯车道.
【点睛】思路点睛：涉及含有和的三角函数值域或最值问题，可以通过换元转化为整式函数或分式函数在某区间上的值域或最值问题解答.
19 已知函数．
（1）求方程在上的解集；
（2）设函数；
（i）证明：有且只有一个零点；
（ii）记函数的零点为，证明：．
【答案】（1）
（2）（i）证明见详解
（ii）证明见详解
【解析】
【分析】（1）利用余弦二倍角公式化简方程，再结合辅助角公式即可
（2）（i）根据三角函数的性质分区间研究函数的性质，利用零点存在定理可证明；（ii）然后利用换元法求值域即可证明.
【小问1详解】
所以.
所以或
当时,，则，又，所以
当，则，又.
所以或，所以
所以方程在上的解集为
【小问2详解】
（i）设
当，则，
此时在单调递增
在也单调递增，所以在单调递增
所以在时有唯一零点
当，所以
所以在没有零点
当时，，所以，所以
所以在没有零点
综上,在有唯一零点
（ii）记函数的零点为，
所以，且，所以
所以
令，因为，所以
又，则
所以声源
与声源的距离
声压级
燃油汽车
10
混合动力汽车
10
电动汽车
10
40