湖南衡阳市衡阳县第五中学2025-2026学年高二下学期3月月考 数学试题

这是一份湖南衡阳市衡阳县第五中学2025-2026学年高二下学期3月月考 数学试题，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题: 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.每小题四个选项中只有一 项符合题目要求.
1. 已知复数 z 满足 z1+i=2+i ，则 z 在复平面上对应的点所在的象限是( )
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
2. 已知点 F1−4,0,F24,0 ,曲线上的动点 P 到 F1,F2 的距离之差为 6,则曲线方程为 ( )
A. x29−y27=1x>0 B. x29−y27=1
C. y29−x27=1y>0 D. y29−x27=1
3. 若抛物线 y2=4mx 的焦点与椭圆 x27+y23=1 的左焦点重合,则 m 的值为( )
A. −12 B. 12 C. -2 D. 2
4. 直线 3x+2y+1=0 与圆 x+12+y−12=r2r>0 的位置关系是( )
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 与 r 有关
5. 甲、乙、丙等八个人围成一圈，要求甲、乙、丙三人两两不相邻，则不同的排列方法有 ( )
A. 720 种 B. 1440 种 C. 2880 种 D. 4320 种
6. 数列 an,bn 满足 an⋅bn=1,an=n2+3n+2 ,则 bn 的前 100 项之和等于( )
A. 13 B. 2551 C. 12 D. 712
7. 如图，在直三棱柱 ABC−A'B'C' 中， ∠ABC=90∘ ， AB=BC=BB'=1 ， E 、 F 分别为 A'B' ， AB 的中点，则直线 FC 到平面 AEC' 的距离为( )

A. 22 B. 66 C. −66 D. −32
8. 已知函数 fn=n2csnπn∈N∗ ,且 an=fn+fn+1 ,则 a1+a2+a3+⋯+a100= ( )
A. -100 B. 0 C. 100 D. 10200
二、选择题, 本大题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 若椭圆 C:x2m+y2m2−1=1 的一个焦点坐标为 0,1 ，则下列结论中正确的是( )
A. m=2
B. C 的长轴长为 23
C. C 的短轴长为4
D. C 的离心率为 13
10. 设抛物线 y2=2pxp>0 的焦点为 F . 点 M 在 y 轴上,若线段 FM 的中点 B 在抛物线上, 且点 B 到抛物线准线的距离为 324 ，则点 M 的坐标为( )
A. 0,−4 B. 0,−2 C. 0,2 D. 0,4
11. 已知数列 an 满足 a1=1,an+1=an2+3ann∈N∗ ,则下列结论正确的有( )
A. 1an+3 为等比数列
B. an 的通项公式为 an=12n+1−3
C. an 为递增数列
D. 1an 的前 n 项和 Tn=2n+3−3n−4
三、填空题:本大题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 二项式 2x−1x6 的展开式中的常数项为_____.
13. 已知圆 C:x2+y2−8x+15=0 ,直线 y=kx+2 上至少存在一点 P ,使得以点 P 为圆心, 1 为半径的圆与圆 C 有公共点，则实数 k 的最小值是_____.
14. 设椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ， P 是椭圆上一点，
PF1=λPF2,12≤λ≤2,∠F1PF2=π2 ，则椭圆离心率的取值范围为_____.
四、解答题:本大题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.
15. 已知直线 l1:3x+2y+6=0 ，直线 l2:2x−3m2y+18=0 ，直线 l3:2mx−3y+12=0 .
(1)若 l1 与 l2 的倾斜角互补，求 m 的值；
(2)当 m 为何值时，三条直线能围成一个直角三角形.
16. 如图,在三棱柱 ABC−A1B1C1 中，侧面 BCC1B1 为正方形，平面 BCC1B1⊥ 平面 ABB1A1 ， AB=BC=2,M,N 分别为 A1B1,AC 的中点.

(1)求证: MN// 平面 BCC1B1 ；
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线 AB 与平面 BMN 所成角的正弦值.
条件①: AB⊥MN ;
条件②: BM=MN .
注:如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
17. 记 Sn 为数列 an 的前 n 项和,已知 Sn=n2 .
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)用数学归纳法证明: a1+1a1⋅a2+1a2⋅…⋅an+1an>2n+1 .
18. 已知斜率为 3 的直线 l 与抛物线 C:y2=4x 相交于 P,Q 两点.
(1)求线段 PQ 中点纵坐标的值；
(2)已知点 T3,0 ，直线 TP ， TQ 分别与抛物线相交于 M ， N 两点(异于 P ， Q ). 则在 y 轴上是否存在一定点 S ,使得直线 MN 恒过该点? 若存在,求出点 S 的坐标; 若不存在,请说明理由.
19. 已知椭圆 E:x2a2+y2b2=1a>b>0 的离心率为 22 ,椭圆 E 上的点到两焦点的距离之和为 4 .
(1)求椭圆 E 的方程；
(2)设 O 为坐标原点，点 Mx0,y0x0≠0 在椭圆 E 上，直线 x0x+2y0y−4=0 与直线 y=2 ， y=−2 分别交于点 A,B . 设 △OAM 与 △OBM 的面积分别为 S1,S2 ,比较 S1S2 与 OAOB 的大小.
1. D
先由复数的除法运算法则求得复数 z ,再由复数的几何意义求解即可
因为 z1+i=2+i ,
所以 z=2+i1+i=2+i1−i1+i1−i=3−i2=32−12i ,
所以 z 在复平面上对应的点 32,−12 所在的象限是第四象限,
故选: D
2. A
由题意可得 PF1−PF2=60 相交.
故选: A.
5. B
依题意环排问题转换为线排问题, 再根据插空法求解.
环排问题线排策略, 增加一个凳子.
九个凳子排一排, 甲放一号和九号, 中间剩余七个位置可选, 再将其他五人放入中间有 A55=120 种.
∵ 甲、乙、丙两两不相邻. ∴ 乙、丙只能放中间四空中共有 A42=12 种,
由分步计数原理得总数 A55 A42=1440 种.
故选: B.
6. B
利用裂项相消法求和.
∵an⋅bn=1 ,
∴bn=1n2+3n+2=1n+1n+2=1n+1−1n+2 ,
∴S100=12−13+13−14+⋯+1100−1101+1101−1102=12−1102=2551 ,
故选: B.
7. B
以 B' 为原点建立空间直角坐标系,利用空间坐标运算,即可求得点 F 到平面 AEC' 的距离,又可证得 CF// 平面 AEC' ,即可得出直线 FC 到平面 AEC' 的距离.
在直三棱柱 ABC−A'B'C' 中, ∠ABC=90∘ ,
如图所示,以 B' 为原点建立空间直角坐标系,
因为 AB=BC=BB'=1 ， E 、 F 分别为 A'B' ， AB 的中点，
则 A0,1,1,B0,0,1,E0,12,0,F0,12,1,C'1,0,0 ,
所以 AE=0,−12,−1,EC'=1,−12,0,AF=0,−12,0 ,

设平面 AEC' 的法向量为 n=x,y,z ,则 n⋅AE=0n⋅EC'=0 ,
即 −12y−z=0x−12y=0 ,取 z=−1 ,则 y=2,x=1 ,
所以 n=1,2,−1 是平面 AEC' 的一个法向量,
又因为 AF=0,−12,0 ,
所以点 F 到平面 AEC' 的距离为 AF⋅nn=0+−1+06=66 .
因为在直三棱柱 ABC−A'B'C' 中, E、F 分别为 A'B',AB 的中点,
则 EF//CC' 且 EF=CC' ,所以四边形 EFCC' 是平行四边形,
所以 CF//C'E ,又 C'E⊂ 平面 AEC',CF⊄ 平面 AEC' ,
所以 CF// 平面 AEC' ，
则点 F 到平面 AEC' 的距离即为直线 FC 到平面 AEC' 的距离.
故选: B.
8. A
对 n 分成偶数和计算两种情况进行分类讨论,结合分组求和法求得正确答案.
若 n 为偶数,则 csnπ=1,csn+1π=−1 ,
所以 an=fn+fn+1=n2−n+12=−2n−1 ,
所以数列 an 的偶数项是首项为 a2=−5 ,公差为 -4 的等差数列;
若 n 为奇数,则 csnπ=−1,csn+1π=1 ,
所以 an=fn+fn+1=−n2+n+12=2n+1 ,
所以数列 an 的奇数项是首项为 a1=3 ,公差为 4 的等差数列.
所以 a1+a2+a3+⋯+a100=a1+a3+⋯+a99+a2+a4+⋯+a100
=50×3+50×492×4+50×−5+50×492×−4=−100 .
故选: A
9. AB
由题意可得椭圆的焦点在 y 轴上,且 c=1 ,可得 m2−1−m=1 ,求出椭圆的方程, 然后逐一判断各选项即可.
由题意可得椭圆的焦点在 y 轴上,且 c=1 ,
所以 m2−1−m=1 ,且 m>0,m2−1>0 ,
解得 m=2 ,故 A 正确;
所以椭圆 C:x22+y23=1 ,
所以 b2=2,a2=3 ,
所以 C 的长轴长为 23 ，故 B 正确；
所以 C 的短轴长为 22 ，故 C 错误；
所以 e=ca=13=33 ,故 D 错误.
故选: AB.
10. BC
焦点为 Fp2,0 ,准线为 x=−p2 ,由中点坐标公式可得 xB=p4,yM=2yB ,由抛物线定义可列方程解得 p ,即可依次求得 yB、yM .
由题意得,焦点为 Fp2,0 ,准线为 x=−p2 ,
设 B 的坐标为 m,n ,由 B 为 FM 的中点得 m=0+p22=p4,yM+02=n ,即 yM=2n
由点 B 到抛物线准线的距离为 324 得 p4−−p2=324 ,解得 p=2 ,
则抛物线为 y2=22x,m=24 ,则 n2=22×24 ,故 n=±1,yM=±2
故 M 的坐标为 0,2 或 0,−2
故选: BC

11. AB
将给定的递推公式两边取倒数, 构造等比数列, 求出通项并逐项判断作答.
∵an+1=an2+3an,∴1an+1=2+3anan=2an+3 ,
∴1an+1+3=21an+3 ,又 1a1+3=4≠0 ,
∴1an+3 是以 4 为首项,2 为公比的等比数列,故 A 正确;
所以 1an+3=4×2n−1 ,则 1an=2n+1−3 ,
∴an=12n+1−3 ,故 B 正确;
因为 an+1=12n+2−32×1+1 成立,
假设当 n=kk≥1,k∈N∗ 时,不等式成立,
即 a1+1a1⋅a2+1a2⋯⋯ak+1ak>2k+1 ,
则当 n=k+1 时, a1+1a1⋅a2+1a2⋯⋯⋅ak+1ak⋅ak+1+1ak+1>ak+1+1ak+1⋅2k+1 ,
=2k+22k+1⋅2k+1=2k+1+12k+1,
又 2k+1+12k+12=2k+3+12k+1>2k+3 ,
所以 ak+1+1ak+1⋅2k+1>2k+3 ,
所以 a1+1a1⋅a2+1a2⋯⋯ak+1ak⋅ak+1+1ak+1>2k+3 ,
即当 n=k+1 时,不等式也成立.
综上， a1+1a1⋅a2+1a2⋯⋯an+1an>2n+1 .
18. 1233
(2)存在， S 的坐标为 0,−3
(1) 设 Px1,y1,Qx2,y2 ,代入抛物线方程相减(点差法)即可得；
(2)设 y 轴上存在定点 S0,s ，设直线 MN:y=kx+s ，同时设 Py124,y1 ， Qy224,y2 ， My324,y3,Ny424,y4 ,直线方程代入抛物线方程应用韦达定理得 y3+y4,y3y4 ,由三点共线得 y1y3,y2y4 ,结合直线 PQ 的斜率可得 s 值. 即定点坐标.
(1)设 Px1,y1,Qx2,y2 ，其中 x1≠x2 .
由 y12=4x1y22=4x2 ,得 y12−y22=4x1−4x2 . 化简得 y1−y2x1−x2=4y1+y2 .
∴3=4y1+y2 ,即 y1+y22=233 .
∴ 线段 PQ 中点纵坐标的值为 233 .
(2)设 y 轴上存在定点 S0,s ，由题意，直线 MN 斜率存在且不为 0，设直线 MN:y=kx+s, Py124,y1, Qy224,y2, My324,y3, Ny424,y4.
由 y=kx+sy2=4x ,消去 x ,得 ky2−4y+4s=0 .
∵Δ=16−16ks>0,∴ks