湖南省衡阳2023_2024高三数学上学期第二次月考试题

这是一份湖南省衡阳2023_2024高三数学上学期第二次月考试题，共25页。试卷主要包含了 若集合，则， 定义在上的偶函数满足， 设函数， 已知向量，则下列结论正确的是等内容，欢迎下载使用。

注意事项：本试卷满分为150分，时量为120分钟
一､单选题（本大题共8小题，每题5分，共40分）
1. 若集合，则（ ）
A. B.
C. D. 或
【答案】A
【分析】解集合B中的不等式，得到集合B，再求两个集合的交集.
【详解】不等式解得，则，
又，所以，
故选：A.
2. 在复平面内，复数对应的点的坐标为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】先进行复数的除法运算，进而可得对应点的坐标.
【详解】，所以对应点的坐标为．
故选：A
3. 定义在上的偶函数满足：对任意的，，有，则（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】A
【详解】由对任意x1，x2 [0，＋∞)(x1≠x2)，有 <0，得f(x)在[0，＋∞)上单独递减，所以，选A.
点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的性质构造某个函数，然后根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行
4. 已知等差数列的公差为d，前n项和为，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】利用等差数列的前项公式，分别从充分性和必要性两个方面进行判断即可求解.
【详解】因为数列是公差为的等差数列，所以，
，
所以，
若等差数列的公差，则，所以，故充分性成立；
若，则，所以，故必要性成立，
所以“”是“”充分必要条件，
故选：C.
5. 某校高三有1000人参加考试，统计发现数学成绩近似服从正态分布N(105，σ2)，且成绩优良（不低于120分）的人数为360，则此次考试数学成绩及格（不低于90分）的人数约为（ ）
A. 360B. 640C. 720D. 780
【答案】B
【分析】利用正态分布的性质可解.
【详解】因为，所以，所以此次考试数学成绩及格（不低于90分）的人数约为.
故选：B
6. 椭圆的左、右焦点分别为，，为上顶点，若的面积为，则的周长为（ ）
A. 8B. 7C. 6D. 5
【答案】C
【分析】设椭圆的半焦距为，由条件利用表示的面积，由条件列方程求，再由关系求，根据椭圆定义求，由此可求的周长.
【详解】设椭圆的半短轴长为，半焦距为，
则，的面积
由题知，
所以，，
由椭圆的定义知，又，
所以的周长为.
故选：C.
7. 设函数（其中为自然对数的底数），若存在实数a使得恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】由题意可得，令，函数和函数的图象，一个在直线上方，一个在直线下方，等价于一个函数的最小值大于另一个函数的最大值，即可得出答案．
【详解】函数的定义域为，
由，得，所以，
令，
由题意知，函数和函数的图象，一个在直线上方，一个在直下方，等价于一个函数的最小值大于另一个函数的最大值，
由，得，
所以当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以，没有最小值，
由，得，
当时，在上单调递增，
在上单调递减，
所以有最大值，无最小值，不合题意，
当时，在上单调递减，
在上单调递增，
所以，
所以即，
所以，即m的取值范围为．
故选：A．
8. 如图，在三棱锥中，，二面角的正切值是，则三棱锥外接球的表面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】利用二面角的正切值求得，由此判断出，且两两垂直，由此将三棱锥补形成正方体，利用正方体的外接球半径，求得外接球的表面积.
【详解】设是的中点，连接，由于，
所以，所以是二面角的平面角，所以，
由得.
在中，，
在中，，
在中，由余弦定理得：，
所以，
由于，所以 两两垂直.
由此将三棱锥补形成正方体如下图所示，正方体的边长为2，则体对角线长为.
设正方体外接球的半径为，则，所以外接球的表面积为，
故选：A.
二､多选题（本大题共4小题，每题5分，共20分）
9. 已知向量，则下列结论正确的是（ ）.
A. B.
C. 向量的夹角为D. 在方向上的投影向量是
【答案】AC
【分析】对于A，根据向量的加法和数量积的坐标表示，可得答案；
对于B，根据向量的数乘以及加法坐标公式，结合模长的坐标公式，可得答案；
对于C，根据向量夹角公式，可得答案；
对于D，根据投影的定义，结合向量数乘的几何意义，可得答案.
【详解】对于A，，由，则，故A正确；
对于B，，，故B错误；
对于C，，，，则，即向量的夹角为，故C正确；
对于D，在方向上的投影向量是，故D错误.
故选：AC.
10. 设等比数列的前项和为，前项积为，若满足，，，则下列选项正确的是（ ）
A. 为递减数列B.
C. 当时，最小D. 当时，的最小值为4047
【答案】BC
【分析】首先讨论数列的单调性，判断A；根据单调性，确定，判断B；根据的意义，结合AB选项的判断，再判断C；结合等比数列的性质，以及AB选项的判断，即可判断D.
【详解】A.由条件可知，，与同号，所以，则，
而，则公比，
若，数列单调递减，则，那么，与已知矛盾，
若，则，则那么，与已知矛盾，
只有当，才存在，使，所以等比数列单调递增，故A错误；
B.因为，单调递增，所以，
则，即，故B正确；
C.因为，且，所以当时，最小，故C正确；
D.根据等比数列的性质可知，，，
所以当时，的最小值为4046，故D错误.
故选：BC
11. 已知函数，则（ ）
A. 函数在区间上单调递增
B. 直线是函数图象的一条对称轴
C. 函数的值域为
D. 方程最多有8个根，且这些根之和为
【答案】BCD
【分析】根据函数的周期性与对称性，结合复合函数的单调性作出图象即可解决问题.
【详解】，
，
则是偶函数，图象关于轴对称.
，
周期函数，周期.
又
且，
，即图象关于轴对称，
故直线都是的对称轴.
当时，，
则，
令，则可看成由与复合而成的函数，
单调递增，
当，则，单调递增，则单调递增；
当，则，单调递减，则单调递减；
且.
结合以上性质，作出函数的大致图象.
选项A，函数在区间上单调递减，故A项错误；
选项B，直线是函数图象的一条对称轴，故B项正确；
选项C，当时，函数的值域为，由函数周期，函数的值域为，故C项正确；
选项D，如图可知，方程最多有8个根，设为，不妨设，
当时，函数的图象关于对称，
则，
即这些根之和为，故D项正确.
故选：BCD.
12. 已知直线交轴于点P，圆，过点P作圆M的两条切线，切点分别为A，B，直线与交于点C，则（ ）
A. 若直线l与圆M相切，则
B. 当时，四边形的面积为
C. 直线经过一定点
D. 已知点，则为定值
【答案】ACD
【分析】根据圆心到直线距离等于半径建立等式，解出即可判断A；根据求出，进而求出，根据相切可得四边形面积等于两个全等的直角三角形面积和，根据三角形面积公式即可求出结果；根据相切可知四点共圆，且为直径，求出圆的方程即可得弦所在的直线方程，进而判断C；根据直线过定点及可得，即C在以为直径的圆上，求出圆的方程可发现圆心为点，即可判断D.
【详解】解：对于A，若直线l与圆M相切，则圆心到直线的距离，
解得，所以A正确；
对于B，当时，，，，
因为为圆的两条切线，所以，
所以四边形的面积，
所以B错误；
对于C，因为，，且，
所以四点共圆，且为直径，
所以该圆圆心为，半径为，
所以圆的方程为：，
因为是该圆和圆的相交弦，
所以直线的方程为两圆方程相减，
即，
化简可得：，
所以直线经过定点，所以C正确；
对于D，因为，所以，
因为在直线上，所以
即点C在以为直径的圆上，因为，，
所以圆心为，半径为，
所以圆的方程为：，圆心为，
因为点C在该圆上，所以为定值，所以D正确．
故选：ACD
三､填空题（本大题共4题，每小题5分，共20分）
13. 在数学中，有一个被称为自然常数（又叫欧拉数）的常数．小明在设置银行卡的数字密码时，打算将自然常数的前6位数字2，7，1，8，2，8进行某种排列得到密码．如果排列时要求两个2相邻，两个8不相邻，那么小明可以设置的不同密码共有______个．
【答案】36
【分析】根据相邻问题用捆绑法和不相邻问题用插空法即可求解．
【详解】如果排列时要求两个2相邻，两个8不相邻，
两个2捆绑看作一个元素与7，1全排列，排好后有4个空位，两个8插入其中的2个空位中，注意到两个2，两个8均为相同元素，
那么小明可以设置的不同密码共有．
故答案为：36.
14. 曲线在点处的切线与直线垂直，则______.
【答案】1
【分析】根据导数的几何意义和垂直关系可知，由此可构造方程求得结果.
【详解】在处的切线与直线垂直，，
又，，解得：.
故答案为：1.
15. 底面为菱形且侧棱底面的四棱柱被一平面截取后得到如图所示的几何体.若.则三棱雃的体积为__________.

【答案】##
【分析】先证明四边形为平行四边形，可得，进而证明平面，进而利用求解即可.
【详解】连接，相交于点，连接交于点，连接，
由已知可得：平面平面，
因为平面平面，平面平面，
所以，同理可得：，所以四边形为平行四边形，
所以为的中点，为的中点，
所以，所以，所以.
所以.
因为平面女平面，
所以平面，
所以点到平面的距离等于点到平面的距离，为.
所以.
故答案为：.
【点睛】求三棱锥的体积的时候，要注意利用图形的特点，看把哪个点当成顶点更好计算.
16. 设，平行于轴的直线分别与函数和的图像交于点，，若函数的图像上存在点，满足为等边三角形，则_________．
【答案】
【分析】根据给定条件，利用指数、对数互化关系求出的坐标，及的中点的坐标，进而表示出点的坐标即可求解作答.
【详解】直线，由，得，即点，
由，得，即点，于是，
如图，取的中点，连接，由正，得，，
显然点不可能在直线上方，因此点，而点在函数的图象上，
则，即，解得，
所以.
故答案为：
四､解答题（本大题共6小题，共70分）
17. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为，且．
（1）求角A的大小；
（2）设M为BC的中点，且，求a的长度．
【答案】（1），
（2）
【分析】（1）由三角形的面积公式，向量的数量积公式列方程，两方程相除，可求出的值，从而可求出角A的大小；
（2）在中由余弦定理得，在中由余弦定理得，在中由余弦定理得，结合可求出a的值.
【小问1详解】
因为△ABC的面积为，
所以，即，
因为，
所以，
所以，得，
因为，所以
【小问2详解】
因为，所以，得，
在中，由余弦定理得，
在中，，，
由余弦定理得，
在中，，，
由余弦定理得，
因为，
所以，
所以，
所以，得，
所以，得，
所以
18. 某工艺品加工厂加工某工艺品需要经过a，b，c三道工序，且每道工序的加工都相互独立，三道工序加工合格率分别为，，．三道工序都合格的工艺品为特等品；恰有两道工序合格的工艺品为一等品；恰有一道工序合格的工艺品为二等品；其余为废品．
（1）求加工一件工艺品不是废品的概率；
（2）若每个工艺品为特等品可获利300元，一等品可获利100元，二等品将使工厂亏损20元，废品将使工厂亏损100元，记一件工艺品经过三道工序后最终获利X元，求X的分布列和数学期望．
【答案】（1）；
（2）分布列见解析，数学期望为.
【分析】（1）三道工序都不合格为废品，求事件的概率，利用对立事件，求不是废品的概率；
（2）由X的取值，计算相应的概率，列出分布列，由公式求数学期望.
【小问1详解】
记“加工一件工艺品为废品”为事件A，
则，
则加工一件工艺品不是废品的的概率．
小问2详解】
由题意可知随机变量X的所有可能取值为-100，-20，100，300，
，
，
，
，
则随机变量X的分布列为：
故．
19. 在图1中，为等腰直角三角形，，，为等边三角形，O为AC边中点，E在BC边上，且，沿AC将进行折叠，使点D运动到点F的位置，如图2，连接FO，FB，FE，使得．

（1）证明：平面．
（2）求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【分析】（1）由等边三角形三线合一，得出，再由勾股定理逆定理得出，即可证明；
（2）方法一：建立空间直角坐标系，由面面夹角的向量法计算即可；方法二：作，垂足为M，作，垂足为N，连接，首先由线面垂直得出，则二面角的平面角为，在中，求出即可．
【小问1详解】
证明：连接OB，
因为为等腰直角三角形，，，
所以，
因为O为AC边的中点，
所以，
在等边三角形中，，
因为O为AC边的中点，
所以，则，
又，
所以，即，
因为，平面，平面，
所以平面．
【小问2详解】
方法一：因为是等腰直角三角形，，为边中点，
所以，
由（1）得平面，则以O为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，

则，，，
所以，，
设平面的法向量为，
由，得，令，得，
易知平面的一个法向量为，
设二面角的大小为θ，
则，
由图可知二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为．
方法二：
作，垂足为M，作，垂足为N，连接，
因为平面，平面，
所以，
又因为，平面，
所以平面，
又平面，
所以，
又，，平面，
所以平面，
又平面，
所以，
又平面平面，
所以二面角的平面角为，
因为，所以，
所以，，
在中，，，
所以，
所以，
所以，即二面角余弦值为．

20. 若数列满足，则称数列为“平方递推数列”．已知数列中，，点在函数的图象上，其中n为正整数，
（1）证明：数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列；
（2）设，定义，且记，求数列的前n项和．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【分析】(1)根据“平方递推数列”的定义和等比数列的定义进行证明
(2)由的新定义和，可得出表达式，再分段求前n项和即可.
【小问1详解】
点在函数的图象上，，
是“平方递推数列”．
因为，
对两边同时取对数得，
∴数列是以1为首项，2为公比的等比数列．
【小问2详解】
由（1）知，
由数列的通项公式得，
当时，；当时，．
又由，得
当且时，；
当且时，
，
综上，
21. 已知双曲线的右焦点，右顶点分别为，，，，点在线段上，且满足，直线的斜率为1，为坐标原点.
（1）求双曲线的方程.
（2）过点的直线与双曲线的右支相交于，两点，在轴上是否存在与不同的定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）存在，
【分析】（1）由，，直线的斜率为1，求得之间的关系式，解得的值，进而求出双曲线的方程；
（2）设直线的方程，与双曲线的方程联立，可得两根之和及两根之积，由等式成立，可得为的角平分线，可得直线的斜率之和为0，整理可得参数的值，即求出的坐标．
【小问1详解】
设，所以，，，
因为点在线段上，且满足，所以点，
因为直线的斜率为1，所以，所以，
因为，所以，解得，，.
所以双曲线的方程为.
【小问2详解】
假设在轴上存在与不同的定点，使得恒成立，

当直线l的斜率不存在时，E在x轴上任意位置，都有；
当直线l的斜率存在且不为0时，设，直线l的方程为，
直线与双曲线的右支相交于，两点，则且，
设，，
由，得， ，，
所以，，
因为，即，所以平分，，
有，即，得，
所以，由，解得.
综上所述，存在与不同的定点，使得恒成立，且.
【点睛】方法点睛：
解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，要强化有关直线与双曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
22. 已知函数，.
（1）讨论极值点的个数；
（2）若恰有三个零点和两个极值点.
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）若，且，证明：.
【答案】（1）当时, 无极值点;当时,所以有两个极值点；
（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析.
【分析】（1）先求导，对进行讨论，研究单调性可得函数的极值；
（2）(i)由(1)知: ,且,,又得出，即可得证；
(ii)易得，令,可得，要证明:，只需证:，只需证: (显然,易证)，即证明:，又因为,所以，令,,利用导数证明即可.
【小问1详解】
由题知:，
设函数,
当时,开口向上,,
所以,在上单调递减,无极值点；
当时, 在上有两个解,
又因为,
所以在上单调递减,在上单调递增,在上单调递减.
所以有两个极值点.
综上:当时, 无极值点;当时,所以有两个极值点.
【小问2详解】
(i)由(1)知: ,且,
又因为,
所以.
(ii)由(i)知:,,,
所以,所以.
令,,
所以在上单调递减,在上单调递增.
因为时,>0;时,<0.
所以.
所以,要证明:,
只需证:,
只需证: ,
​​​​​​​只需证: ,
只需证:,
又因为在上单调递增,
所以只需证:.
令，所以，
所以函数在上单调递减；
所以，即.
所以，要证：，只需证：，即证明:.
因为,所以,所以.
又因为,
所以,所以.
令,,则,
所以在上单调递增,所以,
所以,所以成立.
【点睛】方法点睛：
利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式 （或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见结论放缩；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
X
-100
-20
100
300
P