湖南省岳阳市第一中学等多校2023-2024学年高二下学期5月月考数学试题

这是一份湖南省岳阳市第一中学等多校2023-2024学年高二下学期5月月考数学试题，共13页。试卷主要包含了6 B，若直线与圆相切，则圆的半径为等内容，欢迎下载使用。

本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在本试卷和答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知，则（ ）
A.2 B. C.4 D.
2.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
3.已知变量的部分数据如下表，由表中数据得之间的经验回归方程为，现有一测量数据为，若该数据的残差为1.2，则（ ）
A.25.6 B.28 C.29.2 D.24.4
4.若直线与圆相切，则圆的半径为（ ）
A.2 B. C.4 D.8
5.已知向量，则的最小值为（ ）
A. B. C.3 D.
6.从装有2个白球､3个红球的箱子中无放回地随机取两次，每次取一个球，表示事件“两次取出的球颜色相同”，表示事件“两次取出的球中至少有1个是红球”，则（ ）
A. B. C. D.
7.已知函数在上单调递增，且是奇函数，则满足的的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8.若不等式在上恒成立，则的最小值为（ ）
A. B. C.1 D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知函数，对任意实数都有，则下列结论正确的是（ ）
A.的最小正周期为
B.
c.的图象关于对称
D.在区间上有且仅有一个零点
10.设数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（ ）
A.若，则为等差数列
B.若，则
C.若，则是公差为的等差数列
D.若，则的最大值为1
11.已知抛物线的焦点为为上的两点，过作的两条切线交于点，设两条切线的斜率分别为，直线的斜率为，则（ ）
A.的准线方程为
B.
C.若在的准线上，则
D.若在的准线上，则的最小值为
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，
12.的展开式中的系数为__________.
13.已知为坐标原点，若双曲线的右支上存在两点，使得，则的离心率的取值范围是__________.
14.已知某圆锥内切球的半径为1，则该圆锥侧面积的最小值为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.
15.（本小题满分13分）
在数列中，已知.
（1）求证：数列为等比数列；
（2）求满足不等式的最大整数.
16.（本小题满分15分）
近年来，我国青少年近视问题呈现高发性､低龄化､重度化趋势.已知某校有学生200人，其中40人每天体育运动时长小于1小时，160人每天体育运动时长大于或等于1小时，为研究体育运动时长与青少年近视的相关性，研究人员采用比例分配的分层随机抽样方法从学生中抽取50人进行调查，得到以下数据：
（1）请完成上表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为学生是否近视与体育运动时长有关？
（2）为进一步了解近视学生的具体情况，现从调查的近视学生中随机抽取3人进行进一步的检测，设随机变量为体育运动时长小于1小时的人数，求的分布列和数学期望附：
参考公式：，其中.
17.（本小题满分15分）
如图，在四棱锥中，平面是等边三角形，为的中点，
（1）证明：；
（2）若，求平面与平面夹角的正弦值.
18.（本小题满分17分）
已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，点为等腰直角三角形.
（1）求椭圆的标准方程：
（2）设点为上的一个动点，求面积的最大值；
（3）若直线与交于两点，且，证明：直线过定点
19.（本小题满分17分）
已知函数有且仅有两个零点､
（1）求的取值范围；
（2）函数，若与的值域相同，求的值，并证明：
2024年上学期高二5月大联考·学
参考答案､提示及评分细则
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.【答案】D
【解析】，则，故选D.
2.【答案】C
【解析】.故选C.
3.【答案】B
【解析】由题意可知，，
将代入，即，解得，
所以，
当时，，
则.故选B.
4.【答案】B
【解析】依题意，，解得，所以圆的半径为，故选.
5.【答案】C
【解析】，
，
，
当且仅当，即时取等号，
的最小值为3.故选C.
6.【答案】D
【解析】，所以，故选D.
7.【答案】A
【解析】由是奇函数及在上单调递增可知，关于对称，且当时，，当时，，所以当或时，，故选A.
8.【答案】C
【解析】由，得在上单调递减，
①当时，时，单调递减，，符合题意；
②当时，存在，使得，
当时，单调递减，，不符合题意，舍去；
③当时，存在，使得.
当时，单调递减，
.
令，则在上单调递减，，符合题意.综上所述，的最小值为1.故选C.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.【答案】BD（全部选对得6分，选对1个得3分，有选错的得0分）
【解析】选项，故A错误；
选项B，易知为最大值或最小值，是的一条对称轴的方程.
，故B正确；选项C，，不是最值，故C错误；选项D，当时，，此区间上有且仅有一个零点.故选BD.
10.【答案】ABD（全部选对得6分，选对1个得2分，选对2个得4分，有选错的得0分）
【解析】当时，，所以为等差数列，A选项正确；
，所以是公差为-1的等差数列，C选项错误；
当时，，所以，B选项正确；
由可知，，所以，D选项正确，故选ABD.
11.【答案】BCD（全部选对得6分，选对1个得2分，选对2个得4分，有选错的得0分）
【解析】，抛物线的准线方程为，选项错误；
设，B选项正确；
设直线，解得，
，C选项正确；
，当且仅当时取等号，D选项正确，故选BCD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.【答案】112
【解析】展开式的通项为.令，得，则的展开式中的系数为.
13.【答案】
【解析】设渐近线的倾斜角为，则，即，所以，离心率.
14.【答案】
【解析】设圆锥底面半径为，母线长为，且母线与底面所成角为，
则，
圆锥侧面积为
，
设，则，
当且仅当，即时，取得最小值.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.
15.【答案】（1）略（2）7
【解析】（1），
，
又，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列；
（2）由（1）得，
设数列的前项和为，
则
，
，
数列单调递增，，
的最大整数为7.
16.【答案】（1）表格见解析，学生是否近视与体育运动时长有关（2）分布列见解析，
【解析】（1）
零假设：学生是否近视与体育运动时长无关，
，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断出成立，因此可以认为不成立，即认为学生是否近视与体育运动时长有关；
（2）的可能取值为，
，
，
所以的分布列为
.
17.【答案】（1）略（2）
【解析】（1）证明：是等边三角形，为的中点.
是等边的中线，所以，
平面平面，
平面平面平面，
平面；
（2）解：取的中点，连接，
平面平面，
以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
.
设平面的法向量为，
由
令，则.
显然平面的一个法向量为，
，
故平面与平面夹角的正弦值为.
18.【答案】（1）（2）（3）略
【解析】（1）设的焦距为，依题意，，
又，所以，
所以椭圆的标准方程为；
（2）易知，，直线的斜率为-1，且，
设直线，联立椭圆方程可得，
令可得，，解得，
当时，直线与直线的距离为，
所以的面积为，
当时，直线与直线的距离为，
所以的面积为，
所以面积的最大值为；
（3）证明：易知直线的斜率存在，不妨设直线，
依题意，，即，
，
同理可得，，
所以，即，
整理可得，所以，
所以直线，
所以直线过定点.
19.【答案】（1）（2）-2，略
【解析】（1），
令，则，故有唯一零点：，
且在上，为减函数；在上，为增函数，
而时，时，，
故有且仅有两个零点等价于；
（2）是偶函数，
当时，，
在上单调递增，，
的值域为，由（1）知的最小值为，值域为
易知，
设，
在上单调递增，，即对恒成立，故，
设，显然为极小值点，，即对恒成立，故，
综上，对恒成立，因此原不等式成立.21
23
25
27
15
18
19
20
体育运动时长小于1小时
体育运动时长大于或等于1小时
合计
近视
4
无近视
2
合计
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
D
C
B
B
C
D
A
C
BD
ABD
BCD
体育运动时长
小于1小时
体育运动时长
大于或等于1小时
合计
近视
8
4
12
无近视
2
36
38
合计
10
40
50
0
1
2
3