湖南衡阳市衡阳县第五中学2025-2026学年高一下册3月月考数学试卷（含答案）

这是一份湖南衡阳市衡阳县第五中学2025-2026学年高一下册3月月考数学试卷（含答案），共2页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题四个选项中只有一项符合题目要求.
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C D.
【正确答案】B
【分析】由集合的并集运算即可求解
【详解】因为，
所以，
故选：B
2. 在平面直角坐标系中，已知角的终边上有一点，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】先根据三角函数定义求出，再由正切二倍角公式求解即可.
【详解】由题意可得，又.
故选：C
3. 函数是指数函数，则a的值为（ ）
A. B. 1C. D. 1或
【正确答案】A
【分析】直接根据指数函数的定义可得所求值.
【详解】因为函数是指数函数，所以且，
即且，解得.
故选：A.
4. 已知2tanθ–tan(θ+)=7，则tanθ=（ ）
A. –2B. –1C. 1D. 2
【正确答案】D
【分析】利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案.
【详解】，，
令，则，整理得，解得，即.
故选：D.
本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，属于中档题.
5. 已知函数，则图像有如下性质（ ）
A. 关于点中心对称B. 关于直线轴对称
C. 关于点中心对称D. 关于点中心对称
【正确答案】D
【分析】根据解析式可得，故可得正确选项.
【详解】由题意，函数的定义域为，
且
，
故，
故图像关于点中心对称，
故选：D.
6. 已知正数a，b满足，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】方法一：将所求因式通分后利用基本不等式计算即可.
方法二：将所求因式配凑后利用基本不等式计算即可.
方法三：根据柯西不等式计算即可.
【详解】方法一：
因为，所以
，
因为a，b为正数，所以，所以，
当且仅当时等号成立，所以，
所以，故的最小值为；
方法二
因为，所以
，
因为a，b为正数，所以，所以，
当且仅当时等号成立，所以，
所以，故的最小值为.
方法三：
因为，所以由柯西不等式得，
当且仅当，即时取等号，故的最小值为.
7. 在中，若，则的形状一定是
A. 等边三角形B. 不含60°的等腰三角形
C. 直角三角形D. 钝角三角形
【正确答案】C
【分析】结合三角形的性质，对等式进行恒等变换，可以得到，进而求出角是直角，即可选出答案．
【详解】由题意知，，，
所以题中等式可转化为：，
即，
则，
故，
所以角为直角，
即的形状一定是直角三角形．
故答案为C.
本题考查了三角形性质，及三角恒等变换，属于基础题．
8. 已知函数，则不等式解集是（ ）．
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【分析】作出函数和的图象，观察图象可得结果.
【详解】因为，所以等价于，
在同一直角坐标系中作出和的图象如图：
两函数图象的交点坐标为，
不等式的解为或.
所以不等式的解集为.
故选：D.
本题考查了图象法解不等式，属于基础题.
二、选择题，本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知角的终边在第四象限，则的终边可能在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
【正确答案】BCD
【分析】根据角的终边在第四象限，得，即，然后分类讨论，再结合象限角定义可判断.
【详解】由为第四象限角，得，
得，
令，时，，，得的终边在第四象限；
令，时，，，得的终边在第二象限，
令，时，，，得的终边在第三象限，
故选：BCD.
10. 若函数，且）是指数函数，则下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】AC
【分析】根据指数函数的定义求出函数解析式，再对选项作出判断．
【详解】解：因为函数是指数函数，所以，所以，所以，所以，，故B、D错误，A．C正确．
故选
本题考查指数函数的定义，及函数值的求解，属于基础题．
11. 为了得到函数的图象，只需把正弦曲线上所有的点（ ）
A. 先向右平移个单位长度，再将横坐标缩短到原米的，纵坐标不变
B. 先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
C. 先将横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度
D. 先将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度
【正确答案】AC
【分析】根据三角函数图象平移、变换求解解析式方法即可判断选项．
【详解】正弦曲线先向右平移个单位长度，得到函数的图象，
再将所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，
得到函数的图象，故A正确，B错误；
先将正弦曲线上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，
得到函数图象，再向右平移个单位长度，
得到函数的图象，故C正确，D错误．
故选：AC.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知单位向量,的夹角为45°，与垂直，则k=__________.
【正确答案】
【分析】首先求得向量的数量积，然后结合向量垂直的充分必要条件即可求得实数k的值.
【详解】由题意可得：，
由向量垂直的充分必要条件可得：，
即：，解得.
故．
本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
13. 在中，角的对边分别为，且，若点是的中点，，则__________.
【正确答案】3
【分析】根据题意利用余弦定理求，代入运算求解即可.
【详解】
在中，因，，由余弦定理可得：，
在中，由余弦定理可得：
，
因为，即，
可得，解得.
故3.
14. 已知实数，且，则的最小值是__________.
【正确答案】16
【分析】变形后，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【详解】因为，且，故，
所以
，
当且仅当，即，时，等号成立，
故的最小值是16.
故16
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合.
（1）若中只有一个元素，求的值，并求集合；
（2）若中至多有一个元素，求的取值范围.
【正确答案】（1）的值为或者，当时，；当时，.
（2）
【分析】（1）谈论和两种情况，当时，，解出即可；
（2）方程无解时，且，解出不等式，结合（1）中的结论，即可求得.
【小问1详解】
当，集合，
当时，，解得
此时，
综上可知，的值为或者，当时，；当时，.
【小问2详解】
当集合中无元素时，方程无解，
则且，
解得，
又当中只有一个元素时，或者
故中至多有一个元素时，的范围为或者，
所以的取值范围为
16. 已知函数且是定义在上的奇函数.
（1）若，求不等式的解集；
（2）若，且，求函数在上的值域.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】(1)利用奇函数的性质确定参数，由判断函数单调性，结合奇函数性质转化不等式，再根据定义域列不等式组求解，得到不等式的解集；
(2)由求出底数，通过换元法将转化为关于的二次函数，根据的取值范围确定的区间，再利用二次函数的单调性求解值域.
【小问1详解】
由为定义在上的奇函数，得，即，
故，.
由，结合，得，故.
在上单调递增，且.
由，得.
所以，解得.
所以不等式的解集为.
【小问2详解】
由，整理得，
解得（舍去），故.
，令，
则，故.
当时，单调递增，得.
函数，开口向上，对称轴为.
当时，；当时，，
故函数在上的值域为.
17. 某企业生产某款空调预计全年需投入固定成本万元，生产千台空调，需另投入资金万元，且，经测算，当生产千台空调时需另投入的资金为万元．已知每台空调的售价为万元，且当年生产的空调能全部销售完．
（1）求该企业生产并销售该款空调所获年利润（单位：万元）关于年产量（单位：千台）的函数关系式．
（2）当年产量为多少时，该企业所获年利润最大？最大年利润为多少？（注：利润销售额成本）
【正确答案】（1）
（2）当年产量为千台时，该企业的年利润最大，最大年利润为万元
【分析】（1）由题意可知时，，代入函数中可求出，然后由年利润等于销售总额减去投入资金，再减去固定成本，可求出年利润（万元）关于年产量（千台）的函数关系式，
（2）分别当和求出函数的最大值，比较即可得答案
【小问1详解】
当时，，解得，
故，
当时，；
当时，.
所以.
【小问2详解】
当时，，所以当时，有最大值，最大值为；
当时，，
当且仅当，即当时，有最大值，最大值为.
因为，
所以当年产量为千台时，该企业的年利润最大，最大年利润为万元.
18. 在中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，在①；②.两个条件中任选一个，补充在下面问题中（将选的序号填在横线处），
已知，______．
（1）若，求b；
（2）求面积S的最大值．
【正确答案】（1）选①或②，都有
（2）
【分析】（1）若选①，根据两角差余弦公式得到，若选②，根据余弦定理得到，再利用正弦定理求解即可.
（2）利用余弦定理结合基本不等式求解最值即可.
【小问1详解】
若选①
，则
所以，即
由，，得，
可得，所以．
若选②
，则
所以，由，得
中，由正弦定理，可得.
【小问2详解】
中，，
所以，即
解得，当且仅当取等号．
所以面积，
所以当时，面积S取得最大值.
19. 已知函数，．
（Ⅰ）求函数的最小正周期和最大值；
（Ⅱ）将函数的图象向左平移个单位长度，得到图象．若对任意，当时，都有成立，求实数的最大值．
【正确答案】（Ⅰ）函数的最小正周期为，最大值是（Ⅱ）
【分析】（Ⅰ）化简函数得，从而得函数周期和最值；
（Ⅱ）由平移得，记，由条件可得在上是增函数，化简，利用三角函数的单调性求解即可.
【详解】(Ⅰ）
．
函数的最小正周期为，最大值是．
（Ⅱ）因为对任意，当时，都有，
即，
记，即，所以在上是增函数，
又．
所以．
因为的单调增区间为，，
所以实数的最大值为．
本题主要考查了三角函数的恒等变换及三角函数的性质，涉及到函数的平移及构造函数的思想，属于中档题.