湖南省衡阳市衡阳县第二中学2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题

这是一份湖南省衡阳市衡阳县第二中学2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1．在(2+x)5的展开式中，x2项的系数为（ ）
A．1 B．10 C．40 D．80
2．某宿舍6名同学排成一排照相，其中甲与乙必须相邻，丙与丁互不相邻的不同排法有（ ）
A．72种 B．144种 C．216种 D．256种
3．已知函数fx=sinx，则limΔx→0fπ6+Δx−fπ6Δx=（ ）
A．12 B．1 C．32 D．3
4．已知抛物线C：x2=4y，过直线l：x+2y=4上的动点P可作C的两条切线，记切点为A,B，则直线AB（ ）
A．斜率为2 B．斜率为±2 C．恒过点0,−2D．恒过点−1,−2
5．已知数列an的前n项和为Sn=3n−1，则a5=（ ）
A．81 B．162 C．243 D．486
6．抛物线y=ax2上一点P−1,2到其焦点的距离为（ ）
A．52 B．178 C．12 D．78
7．已知圆C:x2+2x+y2−1=0，直线l:x+ny−1=0与圆C（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切
8．正方体ABCD−A1B1C1D1中，M是A1D1中点，则直线CM与线A1B1所成角的余弦值是（ ）

A．23 B．32 C．26 D．36
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分）
9．正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点．则（ ）
D1D⋅AF=0
B．若n是平面AEF的法向量，则n⋅A1G=0
C．平面AEF截正方体所得的截面面积为98
D．点C与点G到平面AEF的距离相等
10．抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，抛物线上一点P1,t到焦点F的距离为2，过焦点F的直线l与抛物线交于A,B两点，下列说法正确的是（ ）
A．p=1 B．若直线l的倾斜角为π4，则AB=8
C．1AF+1BF=1 D．若AF=2FB,A在x轴的上方，则直线AB的斜率为22
11．数列3，−6，…的通项公式可能是（ ）
A．an=−3⋅2n−1B．an=3⋅(−2)n−1C．an=−9n+12D．an=9n−6
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．若1−2x2022=a0+a1x+a2x2+⋯+a2022x2022则a12+a222+的值 ．
13．已知函数fx=x3+ax2+x+b在x=1处取得极值5，则a−b= ．
14．已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，若P是该抛物线上一点，点Q4,3，则PF+PQ的最小值 .
四、解答题（本题共5小题，共77分）
15．（13分）如图所示，在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，AB=AA1=4，M，N分别为A1B1，AD的中点．
(1)求证：A1N//平面BDM；
(2)若∠BAD=60°，求AM与平面DD1M所成角的正弦值；
16．（15分）已知圆C和直线l1:2x−y−4=0,l2:x−y−2=0，若圆C的圆心为(0,0)，且圆C经过直线l1和l2的交点．
(1)求圆C的标准方程；
(2)过定点(1,2)的直线l与圆C交于M，N两点，且MN=23，求直线l的方程．
17．（15分）已知Sn为数列an的前n项和，且an+2Sn=1.
(1)求数列an的通项公式；
(2)设Tn=a1+3a2+5a3+⋯+2n−1an，求Tn.
18．（17分）如图所示，椭圆x216+y29=1的左、右焦点分别为F1，F2，一条直线l经过F1与椭圆交于A，B两点．
(1)求焦点坐标，焦距，短轴长；
(2)若直线l的倾斜角为45°，求△ABF2的面积．
19．（17分）已知函数f(x)=xlnx．
(1)求f(x)的最小值；
(2)若对所有x≥1都有f(x)≥ax−1，求实数a的取值范围；
答案
1．【答案】D
【解析】通项公式为Tr+1=C5r25−rxr，
当r=2时，T3=C5223x2=80x2，
所以x2项的系数为80.
故选：D
2．【答案】B
【解析】先把甲与乙捆绑与另外两人排列，有A22A33=12种方法，
再把丙与丁插入空中，有A42=12种方法，由分步计数原理可得共有12×12=144种排法.
故选：B.
3．【答案】C
【解析】由导数的定义可知limΔx→0fπ6+Δx−fπ6Δx=f'π6，又f'x=csx，
f'π6=csπ6=32
故选：C
4．【答案】D
【解析】设Ax1,y1,Bx2,y2，则x12=4y1，x22=4y2，
由于y'=12x，故过点Ax1,y1的切线方程为y−y1=12x1x−x1，
即y−y1=12x1x−12x12=12x1x−2y1，即y+y1=12x1x，
同理可得过点B的切线方程为y+y2=12x2x，
设P4−2n,n，过点Ax1,y1,Bx2,y2的两切线交于点P4−2n,n，
故n+y1=12x14−2n，整理得y1+n=2−nx1，
同理n+y2=12x24−2n，整理得y2+n=2−nx2，
故直线AB的方程为y+n=2−nx，
斜率不为定值，AB错误，当x=−1时，y=−2，恒过点−1,−2，C错误，D正确.
故选：D
5．【答案】B
【解析】数列an的前n项和为Sn=3n−1，所以a5=S5−S4=35−34=162.
故选：B
6．【答案】B
【解析】由抛物线y=ax2上一点P−1,2，可得2=a×(−1)2，解得a=2，即x2=12y，
可得抛物线的焦点坐标为F(0,18)，准线方程为y=−18，
又由抛物线的定义，可得PF=2−(−18)=178.
故选：B.
7．【答案】D
【解析】根据题意，直线l的方程为l:x+ny−1=0，恒过定点(0,1)，
设P为(0,1)，又由圆C:x2+2x+y2−1=0，即(x+1)2+y2=2，
其圆心为(−1,0)，半径r=2，
由|PC|2=12+12=2=r2，则P在圆C上，
则直线l与圆C相交或相切.
故选：D．
8．【答案】A
【解析】依题意建立空间直角坐标系，如图，

不妨设AB=2，则M1,0,0,A12,0,0,B12,2,0,C0,2,2，
故CM=1,−2,−2,A1B1=0,2,0，
所以csCM,A1B1=CM⋅A1B1CMA1B1=−41+4+4×2=−23，
所以直线CM与线A1B1所成角的余弦值为23.
故选：A.
9．【答案】BC
【解析】如图所示，以D为坐标原点，分别以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，
则D0,0,0,D10,0,1,A1,0,0,F0,1,12,A11,0,1,E12,1,0,G1,1,12，
则D1D=0,0,−1,AF=−1,1,12，所以D1D⋅AF=−12≠0，故A错误；
设平面AEF的法向量为n=x,y,z，又AE=−12,1,0,AF=−1,1,12,
所以n⋅AE=0n⋅AF=0,即−12x+y=0−x+y+12z=0，取x=2，得y=1,z=2，
所以n=2,1,2，又A1G=0,1,−12，所以n⋅A1G=2,1,2⋅0,1,−12=1−1=0，故B正确；
连接BC1,AD1,则BC1//AD1且BC1=AD1，又EF//BC1,EF=12BC1所以AD1//EF,AD1=2EF,
连接D1F,因此面AEF截正方体所得的截面为四边形AEFD1，易得四边形AEFD1为等腰梯形，
AD1=2,EF=22,AE=D1F=52,过点E作EH⊥AD1于H,
梯形AEFD1的高为EH,EH=AE2−AH2=54−242=324,
则梯形AEFD1的面积为S=12AD1+EF⋅EH =122+22×324=98,故C正确；
VG−AEF=VA−EFG=13⋅AB⋅S△GEF=13×1×12×1×12=112,
VC−AEF=VA−EFC=13⋅AB⋅S△EFC=13×1×12×12×12=124,
故VG−AEF=2VC−AEF,三棱锥C−AEF和三棱锥G−AEF同底，
因此点G到平面AEF的距离是点C到平面AEF的距离的2倍，故D错误，
故选：BC.
10．【答案】BCD
【解析】对于A，1+p2=2,p=2，错误．
对于B，直线l的方程为y=x−1，由y=x−1,y2=4x得x2−6x+1=0．
设Ax1,y1,Bx2,y2，则x1+x2=6，故AB=x1+x2+p=8，正确．
对于C，设过点F的直线方程为y=kx−1，代入抛物线方程，得k2(x−1)2=4x，
化简后为k2x2−2k2+4x+k2=0，设Ax1,y1,Bx2,y2，则有x1x2=1．
根据抛物线性质可知，AF=x1+1,BF=x2+1，
∴1AF+1BF=x1+1+x2+1x1+1x2+1=x1+x2+2x1+x2+x1x2+1=x1+x2+2x1+x2+2=1，正确．
对于D，过A,B分别向准线作垂线，交于点G、H，过B作BC⊥AG于点C，
不妨设FB=1，则BH=|BF|=1,AF=AG=2,|AB|=3,|AC|=1,|BC|=22，
在△ABC中，tan∠BAC=BCAC=22，直线AB的斜率为22，正确．
故选：BCD．
11．【答案】BC
【解析】对于A，把n=1代入an=−3⋅2n−1，即得a1=−3与数列不符，故A错误；
对于B，把n=1,2分别代入an=3⋅(−2)n−1，即得a1=3,a2=−6与数列相符，故B正确；
对于C，分别把n=1,2代入an=−9n+12，即得a1=3,a2=−6，故C正确；
对于D，把n=2代入an=9n−6，即得a2=12，与数列不符，故D错误．
故选：BC．
12．【答案】−1
【解析】由1−2x2022=a0+a1x+a2x2+⋯+a2022x2022，
令x=0，可得a0=1；
令x=12，可得a0+a12+a222+⋯+a202222022=0，
所以a12+a222+−1=−1.
故答案为：−1.
13．【答案】−7
【解析】由函数fx=x3+ax2+x+b，可得f'x=3x2+2ax+1，
因为函数fx在x=1处取得极值5，可得f'1=4+2a=0f1=a+b+2=5，
解得a=−2,b=5，所以a−b=−7.
故答案为：−7.
14．【答案】5
【解析】抛物线的准线方程为x=−1，
则PF+PQ的最小值为Q4,3到准线的距离，即为4+1=5.
故答案为：5.

15．【解析】（1）
如图所示，连接AC∩BD=O，连接ON，OM，
∵M，N分别为A1B1，AD的中点，
∴ON//AB且ON=12AB，
∴ON//A1M且ON=A1M，
∴四边形ONA1M为平行四边形，
∴A1N//OM，
又∵OM⊂平面BDM，A1N⊄平面BDM，
∴A1N//平面BDM；
（2）
如图所示，
连接A1C1，取A1C1中点P，连接OP，
由已知直四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面ABCD为菱形，
∴OP⊥平面ABCD，OA⊥OB，
∴以点O为坐标原点，OA，OB，OP方向分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
又∵AB=AA1=4，∠BAD=60°，
∴OA=23，OB=OD=2，OP=4，
∴A23,0,0，D0,−2,0，D10,−2,4，A123,0,4，B10,2,4，M3,1,4，
则AM=−3,1,4，DD1=0,0,4，DM=3,3,4，
设平面DD1M的法向量n=x,y,z，
则n⋅DD1=4z=0n⋅DM=3x+3y+4z=0，令y=1，则n=−3,1,0，
∴csAM,n=AM⋅nAM⋅n=−3×−3+1×1+4×0−32+12+42⋅−32+12+02=55，
即直线AM与平面DD1M所成角的正弦值为55.
16．【解析】（1）首先由2x−y−4=0x−y−2=0可得x=2y=0，
所以直线l1和l2相交于点(2,0)，
所以圆C的半径r=(2−0)2+(0−0)2=2，
所以圆C的标准方程为x2+y2=4.
（2）当直线l的斜率不存在时，方程为x=1，代入圆C方程为x2+y2=4可得y=±3，
此时MN=23，符合题意，
当直线l的斜率存在时，设直线方程为y=k(x−1)+2，
根据题意圆心到直线l的距离为d=r2−(MN2)2=4−3=1，
所以−k+2k2+1=1，解得k=34，此时直线方程为3x−4y+5=0，
所以直线l的方程为x=1或3x−4y+5=0.
17．【解析】（1）当n=1时，a1+2S1=3a1=1，可得a1=13≠0，
当n≥2时，an+2Sn=1an−1+2Sn−1=1，可得3an=an−1，则anan−1=13，
∴an是首项､公比都为13的等比数列，
故an=13n.
（2）由题设，Tn=13+3⋅132+5⋅133+⋯+2n−1⋅13n，
∴Tn3=132+3⋅133+5⋅134+⋯+2n−3⋅13n+2n−1⋅13n+1，
则2Tn3=13+2⋅132+133+134+⋯+13n−2n−1⋅13n+1，
所以2Tn3=2⋅13+132+133+134+⋯+13n−2n−1⋅13n+1−13
=2⋅131−13n1−13−2n−1⋅13n+1−13=23−2n+23n+1，
所以Tn=1−n+13n.
18．【答案】(1)焦点坐标为F1−7,0，F27,0，焦距为27，短轴长为6；(2)721425.
【解析】（1）设长半轴、短半轴、焦距分别为a,b,2c，由已知方程得到a2=16，b2=9，所以a=4，b=3，由c2=a2−b2=7得c=7，
故焦点坐标为F1−7,0，F27,0，焦距为27，短轴长为6；
（2）设Ax1,y1，Bx2,y2，
由已知得直线l的方程为x−y+7=0，与x216+y29=1联立方程组得25y2−187y−81=0，
则y1+y2=18725，y1y2=−8125，
故y1−y2=y1+y22−4y1y2=72225，
令△ABF2的面积为S，所以S=12F1F2y1−y2 =721425.
故共有576+1728+1152=3456种排法.
19．【答案】(1)−1e；(2)−∞,1
【解析】（1）f(x)的定义域是0,+∞，f'(x)=lnx+1，
令f'(x)>0，解得x>1e，令f'(x)<0，解得0故f(x)在(0,1e)上单调递减，在(1e,+∞)上单调递增，
故f(x)min＝f1e＝1eln1e=−1e．
（2）∵f(x)=xlnx，当x≥1时，f(x)≥ax−1恒成立，
等价于xlnx≥ax−1在1,+∞时恒成立，
等价于a≤lnx+1x在1,+∞时恒成立，
令g(x)=lnx+1x，x≥1，则a≤g(x)min即可；
∵g'(x)=1x−1x2=x−1x2，∴当x≥1时，g'(x)≥0恒成立，
∴g(x)在1,+∞上单调递增，∴g(x)min=g(1)=1，
∴a≤1，即实数a的取值范围为−∞,1．