湖南省娄底市第三中学2023-2024学年高二下学期5月月考数学试题

这是一份湖南省娄底市第三中学2023-2024学年高二下学期5月月考数学试题，共10页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容，如图所示，，则，若复数，且，则，设函数，则等内容，欢迎下载使用。
1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，
1.为了提升学生的文学素养，某校将2024年5月定为读书月，要求每个学生都只选择《平凡的世界》与《麦田里的守望者》中的一本.已知该校高一年级学生选择《平凡的世界》的人数为450，选择《麦田里的守望者》的人数为550.现采用按比例分层随机抽样的方法，从高一学生中抽取20名学生进行阅读分享，则被抽到的这20名学生中选择了《平凡的世界》的人数为（ ）
A.9 B.10 C.11 D.12
2.已知集合，则中元素的个数为（ ）
A.6 B.7 C.8 D.9
3.某班一天上午有4节课，下午有2节课，现要安排该班一天中数学､历史､政治､英语､体育､音乐6节课的课程表，要求体育课排下午，则不同的排法种数是（ ）
A.60 B.120 C.240 D.360
4.已知的内角的对边分别为，且，则（ ）
A. B. C. D.
5.如图所示，，则（ ）
A. B.
C. D.
6.若复数，且，则（ ）
A.-32 B.-16 C.16 D.32
7.将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的零点个数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
8.已知等轴双曲线的左､右焦点分别为，半焦距为，过点的直线与的两条渐近线从左到右依次交于两点，且，则（ ）
A. B. C. D.c
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.某厂生产一批零件，单个零件的尺寸X（单位：厘米）服从正态分布，则（ ）
（附：，，）
A. B.
C. D.
10.设函数，则（ ）
A.是偶函数 B.是奇函数
C.的最小值为 D.的最小值为6
11.如图，该多面体的表面由18个全等的正方形和8个全等的正三角形构成，该多面体的所有顶点都在同一个正方体的表面上.若，则（ ）
A.
B.该多面体外接球的表面积为
C.直线与直线所成的角为
D.二面角的余弦值为
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.
12.已知抛物线的焦点为，点在该抛物线上，且，则到轴的距离为__________.
13.某同学将一张圆心角为的扇形纸壳裁成扇环（如图1）后，制成了简易笔筒（如图2）的侧面，已知，则制成的简易笔筒的高为__________.
14.方程的解为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）
设的整数部分为.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
16.（15分）
如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，分别是棱的中点.
（1）证明：.
（2）若直线与平面所成的角分别为，证明：.
17.（15分）
某考试分为笔试和面试两个部分，每个部分的成绩分为三个等级，其中等级得3分､等级得2分､等级得1分.甲在笔试中获得等级､等级､等级的概率分别为，在面试中获得等级､等级､等级的概率分别为，甲笔试的结果和面试的结果相互独立.
（1）求甲在笔试和面试中恰有一次获得等级的概率；
（2）求甲笔试和面试的得分之和的分布列与期望.
18.（17分）
已知，直线为平面内的一个动点，过点作的垂线，垂足为，且，动点的轨迹记为曲线.
（1）求的方程；
（2）若直线交于两点，交圆于两点，且，当的面积最大时，求的倾斜角.
19.（17分）
若函数存在零点，函数存在零点，使得，则称与互为亲密函数.
（1）判断函数与是否为亲密函数，并说明理由；
（2）若函数与互为亲密函数，求的取值范围.
附：.
高二数学试卷参考答案
1.A 依题意，被抽到的这20名学生中选择了《平凡的世界》的人数为.
2.C 中元素的个数为8.
3.C 不同的排法种数是.
4.B 因为，所以，则.
5.C .
6.B 因为，所以.
7.D 依题意可得.令
，得，作出，的大致图象，如图所示.
由图可知，这两个函数的图象有4个公共点，所以有4个零点.
8.C 由题意得的渐近线方程为，得（为坐标原点），由，得，则，所以.
9.ACD 由题意得，A正确.，B错误.
0.8186，C，D正确.
10.ACD 由，得是偶函数，A正确.，同理可得为偶函数，B错误.，当且仅当1时，等号成立，C正确.，令，因为为减函数，所以的最小值为，D正确.
11.BCD 该多面体的俯视图如图所示.
，A错误.
设多面体外接球的球心为，正方形的中心为（图略），设该多面体外接球的半径为，则，故该多面体外接球的表面积为，B正确.因为，所以直线与直线所成的角即直线与直线所成的角，其大小为，正确.
即二面角的平面角，，D正确.
12.2 由题意得到拋物线的准线的距离为，所以到轴的距离为.
13. 如图，作.设简易笔筒的上､下底面圆的半径分别为，，解得，解得，所以，所以制成的简易笔筒的高为.
14. 设，则，因为，所以，即，解得.
15.解：（1）当时，；
当时，；
当时，，
所以.
故
【备注】的通项公式也可以写成
（2）当时，；
当时，；
当时，
.
因为，所以
16.证明：（1）底面是菱形，.
是棱的中点，.
平面平面.
平面.
平面.
平面.
（2）平面，即.
.
如图，以为坐标原点，所在的直线分别为轴､轴､轴，建立空间直角坐标系，
设的长为2个单位长度，则，得.
设平面的法向量为，
则令，得.
所以，
则，同理可得，则，
故.
17.解：（1）甲在笔试和面试中恰有一次获得等级的概率为.
（2）由题意得的可能取值为，
，
则的分布列为
所以.
18.解：（1）由题意得，即.
设点，则，得.
故的方程为.
（2）设点到的距离为，
，
当时，取得最大值，此时.
当的斜率不存在时，，不符合题意.
当的斜率存在时，设，由，得.
联立得，
则
由，得.
由，得或-2（负根舍去），
即，所以的倾斜角为或.
19.解：（1）记是函数的零点，是函数的零点.
因为在上单调递增，且，所以.
因为，所以当时，.又，所以在上单调递减，在上单调递增.
因为，所以，
所以，故与互为亲密函数.
（2），则在上单调递减，在上单调递增，
所以，故有唯一的零点2.
因为与互为亲密函数，
由，得，
所以在上有解.
由，可得.
设，则.
设，则在上为增函数，
则，所以为增函数，则，
所以，从而为增函数，则，即.
由，得，故的取值范围为.2
3
4
5
6