湖南省湘楚名校2023-2024学年高二下学期5月月考数学试题

这是一份湖南省湘楚名校2023-2024学年高二下学期5月月考数学试题，共14页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，本试卷命题范围，《黄帝内经》二时辰养生法认为等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
3.本试卷命题范围：高考范围.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A.B.C.D.
2.将一组数据按照从小到大的顺序排列如下：12，15，17，a，23，25，27，31，36，37.若该组数据的35%分位数为19，则（ ）
A.19B.20C.21D.22
3.已知双曲线C经过点，离心率为，则C的标准方程为（ ）
A.B.C.D.
4.寒假期间某校6名学生计划去安徽旅游，体验皖北与皖南当地的风俗与文化，现有黄山、宏村、八里河三个景区可供选择.若至少有2人前往黄山，其余两个景区都分别至少有1人前往，则不同方案的种数为（ ）
A.240B.360C.480D.540
5.设是等比数列的前n项和，若，，则（ ）
A.B.C.2D.
6.我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l与太阳天顶距θ（）的对应数表，这是世界数学史上较早的正切函数表.根.根据三角学知识可知，晷影长l等于表高h与太阳天顶距θ正切值的乘积，即.对同一“表高”测量两次，第一次和第二次太阳天顶距分别为，，第二次的“晷影长”是“表高”的2倍，且，则的值为（ ）
A.B.C.D.
7.在中，，，点D与点B在直线AC的两侧，且，，则BD长度的最大值是（ ）
A.5B.C.D.7
8.已知椭圆）的左、右顶点分别为A，B，左焦点为F，P为椭圆上一点，直线AP与直线交于点M，的角平分线与直线交于点N.若，的面积是面积的倍，则椭圆C的离心率是（ ）
A.B.C.D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.《黄帝内经》二时辰养生法认为：子时的睡眠对一天至关重要（子时是指23点到次日凌晨1点）.相关数据表明，入睡时间越晚，沉睡时间越少，睡眠指数也就越低.根据某次的抽样数据，对早睡群体和晚睡群体的睡眠指数统计如图，则下列说法错误的是（ ）
A.在睡眠指数的人群中，早睡人数多于晚睡人数
B.早睡人群睡眠指数主要集中在
C.早睡人群睡眠指数的极差比晚睡人群睡眠指数的极差小
D.晚睡人群睡眠指数主要集中在
10.如图，设Ox，Oy是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量.若，则把有序实数对叫做向量在斜坐标系Oxy中的坐标，记作.则下列说法正确的是（ ）
A.若，则
B.若，则A，B，C三点共线
C.若，则
D.若，，则四边形OACB的面积为
11.已知是定义域为的非常数函数，若对定义域内的任意实数x，y均有，则下列结论正确的是（ ）
A.B.的值域为
C.D.是奇函数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知复数（i是虚数单位），则的共轭复数是__________.
13.已知圆台的轴截面是等腰梯形ABCD，，，，圆台的底面圆周都在球O的表面上.记圆台的体积为，球O的体积为，则__________.
14.已知定义在上的函数可导，且不恒为0，为奇函数，为偶函数，则下列说法正确的是__________.（填序号）
①的周期为4；②的图象关于直线对称；③；④.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15.（13分）
如图，已知正三棱柱，，D，E，F分别为棱，BC，的中点，连接.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的正切值.
16.（15分）
时下流行的直播带货与主播的学历层次有某些相关性，某调查小组就两者的关系进行调查，从网红的直播中得到容量为200的样本，将所得直播带货和主播的学历层次的样本观测数据整理如下：
（1）依据小概率值的独立性检验，分析直播带货的评级与主播学历层次是否有关？
（2）现从主播学历层次为本科及以上的样本中，按比例分配分层随机抽样的方法选出5人组成一个小组，从抽取的5人中再抽取2人参加主播培训，求这2人中，主播带货优秀的人数X的概率分布和数学期望；
（3）统计学中常用表示在事件A条件下事件B发生的优势，称为似然比，当时，我们认为事件A条件下B发生有优势.现从这200人中任选1人，A表示“选到的主播带货良好”，B表示“选到的主播学历层次为专科及以下”，请利用样本数据，估计的值，并判断事件A条件下B发生是否有优势.
附：，.
17.（15分）
已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若，且，证明：，且.
18.（17分）
已知P为抛物线上的动点，Q为圆上的动点，且的最小值为.
（1）求a的值；
（2）若动点P在x轴上方，过P作圆C的两条切线分别交抛物线E于另外两点A，B.若，求直线AB的方程.
19.（17分）
在平面直角坐标系xOy中，利用公式①（其中a，b，c，d为常数），将点变换为点的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①可由a，b，c，d组成的正方形数表唯一确定，我们将称为二阶矩阵，矩阵通常用大英文字母A，B，…表示.
（1）在平面直角坐标系xOy中，将点绕原点O按逆时针旋转得到点（到原点距离不变），求点的坐标；
（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，将点绕原点O按逆时针旋转角得到点（到原点距离不变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵；
（3）向量（称为行向量形式），也可以写成，这种形式的向量称为列向量，线性变换坐标公式①可以表示为：，则称是二阶矩阵与向量的乘积，设A是一个二阶矩阵，，是平面上的任意两个向量，求证：.
2023-2024学年度湘楚名校高二下学期5月联考·数学
参考答案、提示及评分细则
1.D 由，解得，所以.由得，所以，所以.
2.A 这组数据有10个数，所以，则该组数据的分位数为，故.
3.C 由题意知，双曲线的焦点在轴上，设双曲线的方程为，因为双曲线经过点，所以.因为，所以，所以，所以双曲线的标准方程为.
4.B 将6名同学分成三组，其中有三种方案：4，1，1；3，2，1；2，2，2.则不同方案的种数和为（种）.
5.B 设等比数列的公比为，则，
，，故.
6.A 由已知得，易得，，
所以，
解得或（舍去），故.
7.C 由可知，
是，的直角三角形，如图所示.
设，，，则由余弦定理，得，
即，
由正弦定理得，所以.
连接BD，在中，由余弦定理，得.
即.
当时，BD的长度取得最大值，为.
8.D 根据题意可得，，，则，，
由得.设点坐标为，如图所示.
将代入椭圆方程可得，解得，
可得，直线PA方程为，
联立解得，即，
易知的角平分线倾斜角为，斜率为，
直线FN方程为，联立解得，
所以的面积为，
面积为，
即，即，所以离心率.
9.ACD 由图知，每一组中的早睡人群占比与晚睡人群占比都是以早睡与晚睡各自的总人数为基数的，所以每一组中的早睡人数与晚睡人数不能从所占的百分比来判断，故选项A错误；早睡人群睡眠指数主要集中在，晚睡人群睡眠指数主要集中在，选项B正确，选项D错误；早睡人群睡眠指数的极差和晚睡人群睡眠指数的极差的大小无法确定，故选项C错误.
10.ABD 对于A，由题意得，
故，故，正确；
对于B，由题意得，，
所以，所以A，B，C三点共线，正确；
对于C，由题意得，，
所以，故与不垂直，错误；
对于D，连接OC，在中，OA边上的高为，
所以；在中，OB边上的高为，
所以.故，正确.
11.AC 对于A，令，则，
可得，且不恒为0，所以，故A正确；
对于B，例如，可知是定义域为的非常数函数，
且，
可知符合题意，但，故B错误；
对于C，令，则，
可得，即，故C正确；
对于D，例如，可知是定义域为的非常数函数，
且，注意到，，，同号，
可得，
可知符合题意，但，
即为偶函数，故D错误.
12.因为，所以，，
所以，则其共轭复数为.
13. 不妨令，则，，
则圆台上、下底面半径分别为，，高，设，
则，解得，
则，，
，故.
14.①③ 为奇函数，则的图象关于对称.
又为偶函数，则的图象关于直线对称，所以，
可得，则的周期为4，故①正确；
又，则的图象关于对称，故②错误；
又，所以，，故③正确；
由以上可知，，，但是不知道等于多少，函数的周期为4，
则，故④错误.
15.（1）证明：为等边三角形，为中点，.
又三棱柱为正三棱柱，平面.
又平面，.
在和中，
，，
，
又D，平面，平面，平面.
（2）解：取AB中点，连接.由正三棱柱性质得，，，互相垂直，以D为原点，分别以，，所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
不妨设，则，，，，，.
由（1）可知为平面的一个法向量.
设为平面的法向量，
则即即
令，得平面的一个法向量为.
设二面角的平面角为，则.
所以二面角的正弦值为，
故二面角的正切值为.
16.解：（1）由题意得，
由于，依据小概率值的独立性检验，可以认为直播带货的评级与主播的学历层次有关联.
（2）按比例分配分层随机抽样，直播带货优秀的有3人，直播带货良好的有2人，随机变量的可能取值为0，1，2，
，，.
所以的分布列为：
所以数学期望.
（3），
因为，所以认为在事件条件下发生有优势.
17.解：（1）的定义域为，由题意，得，，
当时，恒成立，在上单调递增；
当，且当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
综上，当时，在上单调递增；
当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增.
（2）证明：由，得，是方程的两个实数根，
即，是方程的两个实数根.
令，则，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减，所以.
因为当时，；当时，，所以.
不妨设，因为，是方程的两个实数根，则.
要证，只需证，因为，，
所以只需证，
因为，所以只需证.
令，，
则
在恒成立.所以在区间上单调递减，所以，
即当时，.所以，即成立.
18.解：（1）设，的最小值为，即的最小值为，
则.
当时，，.
（2）连接AB，CP，设，，，
直线PA的斜率，
直线PA的方程为：，
即直线PA的方程为：，
化简得，同理直线AB的方程为：.
则点到直线PA的距离为，
即，同理，
则，是方程的两根，
所以，则直线AB的斜率.
因为PA，PB与圆均相切，所以由对称性可知PC平分，
又，所以，，注意到，
解得，则或（舍去）.
此时方程变为了，
显然满足，且，.
因为直线AB的方程为：，即，
即直线AB的方程为.
19.（1）解：可求得，设，则，，
设点，，故，，所以.
（2）解：设，则，，
故，.
所以坐标变换公式为该变换所对应的二阶矩阵为.
（3）证明：设矩阵，向量，，则.
，
对应变换公式为：
，.
所以，
故对应变换公式也为：
所以得证.主播的学历层次
直播带货评级
合计
优秀
良好
本科及以上
60
40
100
专科及以下
35
65
100
合计
95
105
200
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
0
1
2