2026届高三数学一轮复习试题微专题11圆锥曲线中常见的二级结论（Word版附解析）

这是一份2026届高三数学一轮复习试题微专题11圆锥曲线中常见的二级结论（Word版附解析），共9页。试卷主要包含了已知椭圆C，已知F1，F2是椭圆C1，在椭圆C等内容，欢迎下载使用。
已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝θ，e1，e2分别是椭圆和双曲线的离心率，则eq \f(sin2\f(θ,2),e\\al(2,1))＋eq \f(cs2\f(θ,2),e\\al(2,2))＝1．
例1 (1) 已知共焦点的椭圆和双曲线，焦点为F1，F2，记它们其中的一个交点为P，且∠F1PF2＝eq \f(2π,3)，则该椭圆离心率e1与双曲线离心率e2必定满足的关系式为( )
A．eq \f(1,4)e1＋eq \f(3,4)e2＝1B．eq \f(3,4)eeq \\al(2,1)＋eq \f(1,4)eeq \\al(2,2)＝1
C．eq \f(3,4e\\al(2,1))＋eq \f(1,4e\\al(2,2))＝1D．eq \f(1,4e\\al(2,1))＋eq \f(3,4e\\al(2,2))＝1
(2) 已知F1，F2为椭圆C1：eq \f(x2,a\\al(2,1))＋eq \f(y2,b\\al(2,1))＝1(a1＞b1＞0)与双曲线C2：eq \f(x2,a\\al(2,2))－eq \f(y2,b\\al(2,2))＝1(a2＞0，b2＞0)的公共焦点，M是它们的一个公共点，且∠F1MF2＝eq \f(π,3)，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则e1e2的最小值为( )
A．eq \f(\r(,3),2)B．eq \r(,3)
C．2D．3
焦点弦问题
(1) 若倾斜角为α的直线l过焦点F与椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)或与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)交于A，B两点，则|AB|＝eq \f(2ab2,|a2－c2·cs2α|)；
(2) 若焦点弦被焦点分成两部分m，n，则eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)＝eq \f(2a,b2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(抛物线中为\f(1,m)＋\f(1,n)＝\f(2,p)))；
(3) 已知焦点在x轴上的椭圆或双曲线，经过其焦点F的直线交曲线于A，B两点，直线AB的倾斜角为θ，eq \(AF,\s\up6(→))＝λeq \(FB,\s\up6(→))，则曲线的离心率满足等式|ecsθ|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(λ－1,λ＋1)))．
例2 (1) 已知椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1，直线l1：x－y－1＝0，l2：x－y＋1＝0与该椭圆分别交于点A，B和C，D，则|AB|＋|CD|的值为____．
(2) 已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过C的右焦点F2的直线l与C的右支分别交于A，B两点，且|AB|＝3|BF2|，2|OB|＝|F1F2|(O为坐标原点)，则双曲线C的离心率为__ __．
(3) 已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq \f(\r(,3),2)，过右焦点F且斜率为k(k＞0)的直线与椭圆交于A，B两点．若eq \(AF,\s\up6(→))＝3eq \(FB,\s\up6(→))，则k的值为____．
切线问题
(1) 若P(x0，y0)是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(双曲线\f(x2,a2)－\f(y2,b2)＝1))上一点，则点P处的切线方程是eq \f(x0x,a2)＋eq \f(y0y,b2)＝1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x0x,a2)－\f(y0y,b2)＝1))；若P(x0，y0)是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(双曲线\f(x2,a2)－\f(y2,b2)＝1))外一点，过点P作两条切线PA，PB，则切点弦AB所在直线的方程是eq \f(x0x,a2)＋eq \f(y0y,b2)＝1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x0x,a2)－\f(y0y,b2)＝1))．
(2) 若P(x0，y0)是抛物线y2＝2px(x2＝2py)上一点，则点P处的切线方程为yy0＝p(x＋x0)(xx0＝p(y＋y0))；若P(x0，y0)是抛物线y2＝2px(x2＝2py)外一点，过点P作两条切线PA，PB，则切点弦AB所在直线的方程是yy0＝p(x＋x0)(xx0＝p(y＋y0))．
例3 (1) 过点(eq \r(,2)，eq \r(,3))作曲线eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1的切线，则切线方程为____．
(2) 过点P(－1，－2)作曲线eq \f(x2,8)－eq \f(y2,4)＝1的两条切线，切点分别为A，B，则AB所在直线方程为____．
蒙日圆
设椭圆的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，则该椭圆两条互相垂直的切线PA，PB的交点P的轨迹是蒙日圆x2＋y2＝a2＋b2．
例4 (2024·武汉5月训练)(多选)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：eq \f(x2,4)＋y2＝1，圆O：x2＋y2＝5，P为圆O上任意一点，Q为椭圆C上任意一点．过P作椭圆C的两条切线l1，l2，当l1，l2与坐标轴不垂直时，记两切线斜率分别为k1，k2，则( )
A．椭圆C的离心率为eq \f(\r(,3),2)B．|PQ|的最小值为1
C．|PQ|的最大值为eq \r(,5)＋2D．keq \\al(2,1)＋keq \\al(2,2)≥3
双曲线焦点三角形的内切圆
双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)中，左、右焦点分别是F1，F2，MN是右支上的焦点弦，则：
(1) △MF1F2的内切圆圆心在直线x＝a上(切于右顶点)；
(2) △MNF1的内切圆圆心在直线x＝eq \f(a2,c)上．
注：MN是左支上的焦点弦时，则分别是x＝－a和x＝－eq \f(a2,c)．
例5 (1) 已知P(2eq \r(,2)，eq \r(,5))在双曲线eq \f(x2,4)－eq \f(y2,b2)＝1上，其左、右焦点分别为F1，F2，若△PF1F2的内切圆切x轴于点M，则eq \(MP,\s\up6(→))·eq \(MF2,\s\up6(→))＝___．
(2) (2024·如皋模拟)已知离心率为2的双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)与抛物线E：y2＝2px(p＞0)有相同的焦点F，过F的直线与C的右支相交于A，B两点．过E上的一点M作其准线l的垂线，垂足为N，若|MN|＝3|OF|(O为坐标原点)，且△MNF的面积为12eq \r(,2)，则△ABF1(F1为C的左焦点)内切圆圆心的横坐标为( )
A．eq \f(1,4)B．eq \f(\r(,2),4)
C．eq \f(\r(,2),2)D．eq \f(1,2)
配套热练
1．过点(4,2)作双曲线eq \f(x2,8)－eq \f(y2,4)＝1的切线，则切线方程为___．
2．已知抛物线C：x2＝4y，过直线l：x＋2y＝4上的动点P可作C的两条切线，记切点为A，B，则直线AB过定点____．
3．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，过F且斜率为eq \r(,3)的直线交双曲线于A，B两点，若eq \(AF,\s\up6(→))＝4eq \(FB,\s\up6(→))，则双曲线的离心率为___．
4．已知椭圆C：eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,5)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线l交椭圆C于A，B两点．若eq \(BF2,\s\up6(→))＝2eq \(F2A,\s\up6(→))，则|AB|＝____．
5．已知P是双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1右支上一点，F1，F2分别为其左、右焦点，△PF1F2的内切圆与x轴相切于点N，若N为线段OF2(O为坐标原点)的中点，则双曲线的离心率为____．
6．已知F1，F2是椭圆C1：eq \f(x2,a\\al(2,1))＋eq \f(y2,b\\al(2,1))＝1(a1＞b1＞0)与双曲线C2：eq \f(x2,a\\al(2,2))－eq \f(y2,b\\al(2,2))＝1(a2＞0，b2＞0)的公共焦点，e1，e2分别是C1与C2的离心率，且P是C1与C2的一个公共点，满足eq \(PF1,\s\up6(→))·eq \(PF2,\s\up6(→))＝0，则eq \f(1,e\\al(2,1))＋eq \f(1,e\\al(2,2))＝____；eq \f(\r(,3),e1)＋eq \f(1,e2)的最大值为___．
7．已知F1，F2分别为双曲线x2－eq \f(y2,3)＝1的左、右焦点，P为双曲线右支上异于顶点的任意一点，若A为△PF1F2内切圆上一动点，当|AF1|的最大值为4时，△PF1F2的内切圆半径为____．
8．在椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)中，其所有外切矩形的顶点在一个定圆Γ：x2＋y2＝a2＋b2上，称此圆为该椭圆的蒙日圆，该圆由法国数学家G·Mnge(1746—1818)发现．若过椭圆C：eq \f(x2,2)＋y2＝1的蒙日圆上一点P作椭圆的一条切线，与蒙日圆交于点Q，若kOP，kOQ存在，则kOP·kOQ＝____．
微专题11 圆锥曲线中常见的二级结论
例1 (1) C 【解析】 不妨设焦点在x轴上，如图，设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，则根据椭圆及双曲线的定义得|PF1|＋|PF2|＝2a1，|PF1|－|PF2|＝2a2，所以|PF1|＝a1＋a2，|PF2|＝a1－a2.设|F1F2|＝2c，∠F1PF2＝ eq \f(2π,3) ，则在△PF1F2中，由余弦定理得4c2＝(a1＋a2)2＋(a1－a2)2－2(a1＋a2)(a1－a2)cs eq \f(2π,3) ，化简得3a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＋a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＝4c2，该式可化为 eq \f(3,4e eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ) ＋ eq \f(1,4e eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ) ＝1.
(例1(1))
(2) A 【解析】 设椭圆C1、双曲线C2的共同半焦距为c，由椭圆、双曲线的对称性不妨令点M在第一象限，F1(－c，0)，F2(c，0).由椭圆、双曲线定义知|MF1|＋|MF2|＝2a1，且|MF1|－|MF2|＝2a2，则有|MF1|＝a1＋a2，|MF2|＝a1－a2.在△F1MF2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|MF1|2＋|MF2|2－2|MF1||MF2|·cs ∠F1MF2，即4c2＝(a1＋a2)2＋(a1－a2)2－2(a1＋a2)(a1－a2)cs eq \f(π,3) ，整理得4c2＝a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＋3a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ，于是得4＝ eq \f(a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ,c2) ＋ eq \f(3a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ,c2) ＝ eq \f(1,e eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ) ＋ eq \f(3,e eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ) ≥2 eq \r(,\f(1,e eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) )·\f(3,e eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) )) ＝ eq \f(2\r(,3),e1e2) ，当且仅当 eq \f(1,e eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ) ＝ eq \f(3,e eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ) ，即e1＝ eq \f(\r(,2),2) ，e2＝ eq \f(\r(,6),2) 时取等号，从而有e1e2≥ eq \f(\r(,3),2) ，所以e1e2的最小值为 eq \f(\r(,3),2) .
例2 (1) eq \f(48,7) 【解析】 由题知直线AB经过右焦点F2，且倾斜角α＝ eq \f(π,4) ，所以|AB|＝ eq \f(2ab2,|a2－c2·cs2α|) ＝ eq \f(2×2×3,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(4－1×\f(1,2)))) ＝ eq \f(24,7) .由椭圆的对称性知|AB|＝|CD|，所以|AB|＋|CD|＝ eq \f(48,7) .
(2) eq \f(\r(,17),3) 【解析】 方法一：如图，连接AF1，BF1.因为2|OB|＝|F1F2|，所以BF1⊥BF2.设|BF2|＝t，因为|AB|＝3|BF2|，所以|AF2|＝2t. 因为 eq \f(1,2t) ＋ eq \f(1,t) ＝ eq \f(2a,b2) ，所以t＝ eq \f(3b2,4a) .由双曲线定义可得|BF1|－|BF2|＝2a，又|BF2|＝ eq \f(3b2,4a) ，所以|BF1|＝2a＋ eq \f(3b2,4a) .由勾股定理可得|BF1|2＋|BF2|2＝|F1F2|2，即 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2a＋\f(3b2,4a))) eq \s\up12(2) ＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3b2,4a))) eq \s\up12(2) ＝4c2，整理得17a2＝9c2，所以C的离心率为 eq \f(\r(,17),3) .
方法二：由2|OB|＝|F1F2|，知∠F1BF2＝90°.设|BF2|＝t，则|AF2|＝2t，|BF1|＝2a＋t，|AF1|＝2a＋2t.在△BF1F2和△BF1A中，由勾股定理得4c2＝(2a＋t)2＋t2①，(2a＋2t)2＝(2a＋t)2＋(3t)2②，由②得t＝ eq \f(2a,3) ，代入①得9c2＝17a2，从而可得e＝ eq \f(\r(,17),3) .
方法三：设B(x0，y0)，则A(3c－2x0，－2y0)，所以有 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＋y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＝c2，,\f(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ,a2)－\f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ,b2)＝1，,\f(（3c－2x0）2,a2)－\f(4y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ,b2)＝1，)) 可得x0＝ eq \f(3c2＋a2,4c) ，所以 eq \f(（3c2＋a2）2,16c2) · eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(b2,a2))) －b2＝c2，则(3c2＋a2)2＝16a2(2c2－a2)，即9c4－26a2c2＋17a4＝0，(9c2－17a2)(a2－c2)＝0，所以9c2－17a2＝0，从而e＝ eq \f(c,a) ＝ eq \f(\r(,17),3) .

(例2(2))
(3) eq \r(,2) 【解析】 设直线AB的倾斜角为θ，则由|e cs θ|＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(λ－1,λ＋1))) ，可得 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(\r(,3),2)cs θ)) ＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(3－1,3＋1))) ，所以cs θ＝ eq \f(\r(,3),3) ，所以k＝tan θ＝ eq \r(,2) .
例3 (1) x＋ eq \r(,6) y－4 eq \r(,2) ＝0 【解析】 因为椭圆在点P(x0，y0)处的切线方程是 eq \f(x0x,a2) ＋ eq \f(y0y,b2) ＝1，所以过点( eq \r(,2) ， eq \r(,3) )作曲线 eq \f(x2,8) ＋ eq \f(y2,4) ＝1的切线方程为 eq \f(\r(,2)x,8) ＋ eq \f(\r(,3)y,4) ＝1，即x＋ eq \r(,6) y－4 eq \r(,2) ＝0.
(2) x－4y＋8＝0 【解析】 由切点弦的方程得AB所在直线的方程为 eq \f(－x,8) － eq \f(－2y,4) ＝1，即x－4y＋8＝0.
例4 AC 【解析】 对于A，根据题意得a＝2，b＝1，则c＝ eq \r(3) ，故e＝ eq \f(c,a) ＝ eq \f(\r(3),2) ，故A正确．对于B，C，设Q(x，y)，－2≤x≤2，则 eq \f(x2,4) ＋y2＝1，而圆O：x2＋y2＝5的圆心O(0，0)，半径为r＝ eq \r(5) ，则|OQ|＝ eq \r(x2＋y2) ＝ eq \r(x2＋1－\f(x2,4)) ＝ eq \r(\f(3,4)x2＋1) .因为－2≤x≤2，所以0≤x2≤4，则1≤ eq \f(3,4) x2＋1≤4，所以1≤ eq \r(\f(3,4)x2＋1) ≤2，即1≤|OQ|≤2，所以|PQ|的最小值为r－2＝ eq \r(5) －2，最大值为r＋2＝ eq \r(5) ＋2，故B错误，C正确．对于D，设P(x0，y0)，x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＋y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＝5，过点P的切线方程为y－y0＝k(x－x0)，联立 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y－y0＝k（x－x0），,\f(x2,4)＋y2＝1，)) 可得(1＋4k2)x2＋8k(y0－kx0)x＋4(y0－kx0)2－4＝0，则Δ＝[8k(y0－kx0)]2－4(1＋4k2)[4(y0－kx0)2－4]＝0，化简得(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) －4)k2－2x0y0k＋y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) －1＝0，可知k1，k2是方程的两个根，所以k1k2＝ eq \f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) －1,x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) －4) ＝ eq \f(4－x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ,x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) －4) ＝－1，所以k eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＋k eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ≥2|k1k2|＝2，当且仅当|k1|＝|k2|时取等号，故D错误．
(例4)
例5 (1) 2 eq \r(,2) －2 【解析】 由点P(2 eq \r(,2) ， eq \r(,5) )在双曲线 eq \f(x2,4) － eq \f(y2,b2) ＝1上，可得b＝ eq \r(,5) ，所以F1(－3，0)，F2(3，0).由双曲线的焦点三角形内切圆性质得xM＝2，即M(2，0)，所以 eq \(MP,\s\up6(→)) ·MF2＝(2 eq \r(,2) －2， eq \r(,5) )·(3－2，0)＝2 eq \r(,2) －2.
(2) D 【解析】 如图(1)，|MN|＝3|OF|＝3· eq \f(p,2) ，xM＋ eq \f(p,2) ＝ eq \f(3p,2) ，所以xM＝p，y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(M)) ＝2p2，|yM|＝ eq \r(2) p，S△MNF＝ eq \f(1,2) · eq \f(3p,2) · eq \r(2) p＝12 eq \r(2) ，解得p＝4，则F(2，0).双曲线C中，c＝2，e＝ eq \f(c,a) ＝2，所以a＝1，b2＝3，故双曲线C的方程为x2－ eq \f(y2,3) ＝1，如图(2)，△ABF1内切圆圆心在直线x＝ eq \f(a2,c) ＝ eq \f(1,2) 上．
图(1) 图(2)
(例5)
配套精炼
1. x－y－2＝0 【解析】 因为点(4，2)在双曲线上，且双曲线在点P(x0，y0)处的切线方程是 eq \f(x0x,a2) － eq \f(y0y,b2) ＝1，所以过点(4，2)的双曲线 eq \f(x2,8) － eq \f(y2,4) ＝1的切线方程为 eq \f(4x,8) － eq \f(2y,4) ＝1，即x－y－2＝0.
2. (－1，－2) 【解析】 如图，令P(m，n)，则m＋2n＝4，则直线AB的方程为mx＝2(y＋n)，即mx－2y－2n＝0，所以(4－2n)x－2y－2n＝0，即(2x－y)－n(x＋1)＝0，所以直线AB过定点(－1，－2).
(第2题)
3. eq \f(6,5) 【解析】 因为|e cs θ|＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(λ－1,λ＋1))) ，所以 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(e×\f(1,2))) ＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(4－1,4＋1))) ，解得e＝ eq \f(6,5) .
4. eq \f(15\r(,6),8) 【解析】 由椭圆焦点弦公式，设|AF2|＝t，则|BF2|＝2t，则 eq \f(1,2t) ＋ eq \f(1,t) ＝ eq \f(2a,b2) ，所以 eq \f(3,2t) ＝ eq \f(2\r(,6),5) ，所以t＝ eq \f(5\r(,6),8) ，从而|AB|＝3t＝ eq \f(15\r(,6),8) .
5. 2 【解析】 设△PF1F2的内切圆圆心为I，记I的横坐标为x0，则N(x0，0).由双曲线焦点三角形内切圆的性质得x0＝a.又N为线段OF2的中点，所以c＝2a，故e＝2.
6. 2 2 eq \r(,2) 【解析】 如图，PF1·PF2＝0，即∠F1PF2＝ eq \f(π,2) ，|PF1|＋|PF2|＝2a1，|PF1|－|PF2|＝2a2，故|PF1|＝a1＋a2，|PF2|＝a1－a2，故(a1＋a2)2＋(a1－a2)2＝4c2，即a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＋a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＝2c2，即 eq \f(1,e eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ) ＋ eq \f(1,e eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ) ＝2.设 eq \f(1,e1) ＝ eq \r(,2) sin θ， eq \f(1,e2) ＝ eq \r(,2) cs θ，则 eq \f(\r(,3),e1) ＋ eq \f(1,e2) ＝ eq \r(,6) sin θ＋ eq \r(,2) cs θ＝2 eq \r(,2) sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6))) ，当θ＋ eq \f(π,6) ＝ eq \f(π,2) ＋2kπ，k∈Z，即θ＝ eq \f(π,3) ＋2kπ，k∈Z时取最大值2 eq \r(,2) ，此时e1＝ eq \f(\r(,6),3) ，e2＝ eq \r(,2) ，满足题意．
(第6题)

eq \f(7,8) 【解析】 设△PF1F2的内切圆分别与PF1，PF2切于点N，B，与F1F2切于点M，如图，则|PN|＝|PB|，|F1N|＝|F1M|，|F2B|＝|F2M|.又点P在双曲线右支上，所以|PF1|－|PF2|＝2a，故|F1M|－|F2M|＝2a，而|F1M|＋|F2M|＝2c，设点M的坐标为(x，0)，可得(x＋c)－(c－x)＝2a，解得x＝a＝1.设内切圆半径为r，则内切圆圆心为(1，r)，则AF1的最大值为|CF1|＋r＝4，即 eq \r(（1＋2）2＋（r－0）2) ＝4－r，解得r＝ eq \f(7,8) .
(第7题)
8. － eq \f(1,2) 【解析】 由题意可知，蒙日圆Γ：x2＋y2＝3，当PQ的斜率存在时，可设直线PQ的方程为y＝kx＋m，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝kx＋m，,x2＋y2＝3，)) 可得(k2＋1)x2＋2kmx＋m2－3＝0，则x1＋x2＝－ eq \f(2km,k2＋1) ，x1x2＝ eq \f(m2－3,k2＋1) ，则y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝ eq \f(m2－3k2,k2＋1) .因为直线PQ与椭圆C相切，由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝kx＋m，,\f(x2,2)＋y2＝1，)) 消去y得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，所以Δ＝16k2m2－4(2k2＋1)·(2m2－2)＝0，化简得2k2＋1＝m2，所以kOP·kOQ＝ eq \f(y1y2,x1x2) ＝ eq \f(m2－3k2,m2－3) ＝－ eq \f(1,2) .当PQ的斜率不存在时，则P( eq \r(2) ，1)，Q( eq \r(2) ，－1)或P(－ eq \r(2) ，1)，Q(－ eq \r(2) ，－1)，此时kOP·kOQ＝－ eq \f(1,2) .综上，kOP·kOQ＝－ eq \f(1,2) .