广西百色市平果市铝城中学高一上学期期末考试数学试题（解析版）-A4

这是一份广西百色市平果市铝城中学高一上学期期末考试数学试题（解析版）-A4试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合,，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】解方程组可得集合.
【详解】解方程组可得或或，
又因为,，则.
故选：D.
2. 当x为第二象限角时， （ ）
A. 1B. 0
C. 2D. －2
【答案】C
【解析】
【分析】根据正弦、余弦函数的正负性进行求解即可.
【详解】因为是第二象限角，
所以，
故选：C
3. 设函数，则，则b=（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出，然后分段讨论即可求解.
【详解】解：，
或，
（舍）或，
，
故选：D.
4. 函数是幂函数，且在上单调递增，则 （ ）
A. B.
C. 或D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】由幂函数的性质得出解析式，再求函数值.
【详解】由题意可知，，解得，.
故选：B
5. 已知，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由二倍角公式得到，再根据同角三角函数的基本关系求出，最后根据二倍角正弦公式计算可得；
【详解】解：由，得，
即，解得（舍去），或．
∵，则，故．
故选：D
6. 已知函数若函数在区间内有且仅有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据条件，将问题转化成的图象与直线在区间内有且仅有两个公共点，利用基本函数的图象，得到的图象，数形结合，即可求解.
【详解】函数在区间内有且仅有两个零点，等价于在区间内有且仅有两个实数根，
又等价于函数的图象与直线在区间内有且仅有两个公共点，
因为，
由图知，即，解得．
故选：C．
7. 函数满足若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】对的式子适当变形，即可直接求出.
【详解】因为，
所以，则.
故选：A.
8. 已知函数的图象关于直线对称，且，则的最小值为（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数的性质和条件列出关于的解析式即可.
【详解】由题设知直线与点分别为函数图象的对称轴与对称中心，
故，，
于是（，），即，
又，且，故的最小值是2；
故选：A.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，答案有两个选项只选一个对得3分，错选不得分；答案有三个选项只选一个对得2分，只选两个都对得4分，错选不得分.
9. 下列命题中的假命题是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】AB
【解析】
【分析】根据全称命题与特称命题真假判定方法，逐项判断，即可得出结果.
【详解】对于A，因为时，不成立，所以A为假命题；
对于B，因为，但，所以B是假命题，
对于C，显然对于二次方程，，所以有实根，故C是真命题；
对于D，当时，成立，故D为真命题.
故选：AB.
10. 已知函数，下列说法正确的是（ ）
A. 函数的图像可以由的图像向右平移个单位得到
B. 函数的一条对称轴是
C. 函数的对称中心是
D. 函数的单调递增区间是
【答案】BD
【解析】
【分析】由三角函数图象变换与性质对选项逐一判断，
【详解】对于A，的图像可以由的图像向右平移个单位得到，故A错误，
对于B，，为最大值，故B正确，
对于C，由得，
函数的对称中心是，故C错误，
对于D，由得，
函数单调递增区间是，故D正确，
故选：BD
11. 已知为正实数，，则（ ）
A. 的最大值为B.
C. 的最大值为D. 的最小值为
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用基本不等式可判断ABC选项，利用二次函数的基本性质可判断D选项.
【详解】因为、为正实数，，
对于A选项，因为，则，
故，当且仅当时，等号成立，
所以的最大值为，故A对；
对于B选项，，当且仅当时，等号成立，
所以也正确，故B对；
对于C选项，，
当且仅当时，即当时，等号成立，故的最大值为，故C对.
对于D选项，，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为，故D错；
故选：ABC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若直线与函数的图象有两个公共点，则的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意画出函数的图象，利用函数图象结合交点个数求出a的取值范围.
【详解】函数，则函数的图象如下：
观察图象知，当，即时，直线与函数的图象有两个公共点，
所以的取值范围为.
故答案为：
13. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数，符号表示不超过的最大整数，例如，，定义函数，则函数的值域为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据高斯函数定义，可得函数的图象，即可的解.
【详解】由高斯函数的定义可得：
当时，，则，
当时，，则，
当时，，则，
当时，，则，
易见该函数具有周期性，绘制函数图象如图所示，
由图象知的值域为.
故答案为：
14. 已知定义域为R的奇函数在区间(0,+∞)上为严格减函数，且，则不等式的解集为___________.
【答案】
【解析】
【分析】先由定义域为R的奇函数在区间(0,+∞)上为严格减函数，且，画出的草图，结合图像对进行等价转化，解不等式即可.
【详解】是定义域为R的奇函数，且在区间(0,+∞)上为严格减函数，有，
∴在区间上为严格减函数且，可作出的草图：
不等式可化为：
或
对于，当时，无解；
对于，当时，由图像观察，
解得：
所以不等式的解集为.
故答案为：
【点睛】常见解不等式的类型：
(1)解一元二次不等式用图像法或因式分解法；
(2)分式不等式化为标准型后利用商符号法则；
(3)高次不等式用穿针引线法；
(4)含参数的不等式需要分类讨论．
四．解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 计算：
（1）；
（2）.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由对数的运算法则计算；
（2）由幂的运算法则计算．
【详解】（1）解：原式.
（2）解：原式.
16. （1）化简：．
（2）若、为锐角，且，，求的值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）根据诱导公式及同角三角函数关系式将其化简．
（2）根据角的范围及同角三角函数的基本关系求出，．再根据利用两角差的余弦公式计算可得．
【详解】解：（1）
（2）、为锐角，，．
，，
，．
．
17. 为了充分挖掘乡村发展优势，某新农村打造“有机水果基地”．经调查发现，某水果树的单株产量（单位：千克）与施用发酵有机肥（单位：千克）满足如下关系：，单株发酵有机肥及其它成本总投入为元．已知该水果的市场售价为25元/千克，且销路畅通供不应求，记该水果树的单株利润为（单位：元）．
（1）求函数的解析式；
（2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）；
（2）当施用肥料为5千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润为390元.
【解析】
【分析】(1)利用：利润收入成本，即可写出的解析式；
(2)分别求当和时的最大值，再比较大小，即可得到最大利润.
【小问1详解】
由题意，，
故；
【小问2详解】
当时，，
其对称轴为，故当时，函数取得最大值；
当时，，
当且仅当，即时取等号，所以的最大值为390．
因为，
所以当施用肥料为5千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润为390元．
18. 已知函数，求：
（1）的最小正周期；
（2）的单调减区间；
（3）在区间上值域？
【答案】（1）；（2），；（3）.
【解析】
【分析】
化简函数得正弦型函数，（1）根据正弦型函数周期公式直接求得周期；（2）利用整体代入法求函数单调递减区间；（3）利用换元法求值域.
【详解】函数
，
（1）周期；
（2）令，
解得，
所以函数的单调递减区间为；
（3）由，
设，，
故当或，即或时，函数取最小值为，
故当，即时，函数取最小值为，
即函数值域为.
【点睛】对于三角函数，求最小正周期和最值时可先把所给三角函数式化为或的形式，则最小正周期为，最大值为，最小值为；奇偶性的判断关键是解析式是否为或的形式．
19. 已知函数为偶函数.
（1）求实数的值；
（2）证明：函数在区间上单调递增；
（3）若函数，当时，函数与函数的值域相同，求的最大值.
【答案】（1） （2）证明见详解.
（3）
【解析】
【分析】（1）可先用特殊值求出的可能值，再代入验证证明其正确；
（2）利用函数单调性定义进行证明；
（3）根据已知，结合两个函数的单调性求出的最小值和的最大值即可求解.
【小问1详解】
由已知是偶函数，代入.
，；得，.
代入，.
满足.
可得.
【小问2详解】
在区间内选择任意的，，
因
，其中，，，，.
可得，，即.
综上，证得在单调递增.
【小问3详解】
由(2)已证，，又有，若要满足当时，与的值域相同，则且
由在单调递增，在(1,+∞)单调递减，且，,
根据的单调性，且；又由,则只需要满足且即可.
，，，
，.
的最大值为
【点睛】方法点睛：在一些比较复杂的根据奇偶性求参数的问题中，不妨设特殊值先求出可能的参数值，再根据奇偶性的定义进行验证得到最后的答案.