广西百色市平果市铝城中学高二上学期期末考试数学试题（解析版）-A4

这是一份广西百色市平果市铝城中学高二上学期期末考试数学试题（解析版）-A4，共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1. 抛物线的焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将抛物线方程化标准方程，再求焦点坐标即可.
【详解】抛物线化为标准方程可得，
故，焦点坐标为.
故选:C.
2. 已知直线的方向向量为，直线的方向向量为，则直线与所成角的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据空间向量夹角公式，代入即可得到向量夹角，同时注意直线夹角的范围.
【详解】直线方向向量,
直线方向向量,
，
所以两向量夹角为，
直线和所成角为，
故选：B.
3. 设，直线，则（ ）是“”的充要条件.
A. B.
C. 或D. 以上均不对
【答案】C
【解析】
【分析】求出的值，再利用充分条件和必要条件的判断方法，即可求解.
【详解】因为直线，
当时，，解得或，
当时，，此时，
又时，，此时，
所以“或 ”是“”的充要条件，
故选：C
4. 已知双曲线的离心率，则曲线的渐近线的方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用离心率找到基本量的关系，得到渐近线方程即可.
【详解】易知，又，故，解得，显然渐近线方程为.
故选：B
5. 已知圆，在所有过点弦中，最短的弦的长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求得圆心和半径，利用两点间距离公式和勾股定理求得最短弦长.
【详解】圆圆心为，半径为
由于，，所以在圆内.
在所有过点的弦中，最短的弦是垂直于的弦，
，
所以最短弦长为.
故选：B
【点睛】本小题主要考查圆的弦长有关计算，属于基础题.
6. 已知点为椭圆左右焦点，点P为椭圆C上的动点，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用三角换元的方法，结合三角函数的值域求得正确答案.
【详解】椭圆的焦点，
设，
，
所以，
由于，，
所以的取值范围为.
故选：A
7. 数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，动点满足，得到动点的轨迹是阿氏圆.若对任意实数，直线与圆恒有公共点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设点，求出动点的轨迹圆的方程，再求出直线过定点坐标，依题意点在圆的内部，即可得到不等式，解得即可.
【详解】设点，，，
所以动点的轨迹为阿氏圆：，
又直线恒过点，
若对任意实数直线与圆恒有公共点，
在圆的内部或圆上，所以，所以，解得，
即的取值范围为.
故选：C
8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆上一点P满足，且，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据椭圆的几何性质列式求解离心率即可.
【详解】解：如图，
设，∴，∵
∴，
∴离心率.
故选：C．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，答案有两个选项只选一个对得3分，错选不得分；答案有三个选项只选一个对得2分，只选两个都对得4分，错选不得分.
9. 已知平面，其中点是平面内的一定点，是平面的一个法向量，若坐标为，，则下列各点中在平面内的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】对各选项中点的坐标是否满足进行验证，即可得出合适的选项.
【详解】对于A选项，，，A满足；
对于B选项，，，B满足；
对于C选项，，，C满足；
对于D选项，，，D不满足.
故选：ABC.
10. 如图，在平行六面体中，，，点，分别是棱，的中点，则下列说法中正确的是（ ）
A.
B. 向量，，共面
C. 平面
D. 若，则该平行六面体高为
【答案】ACD
【解析】
【分析】A选项，利用向量的方法证明；B选项，根据向量共面的基本定理判断；C选项，利用向量的方法得到，，然后根据线面垂直的判定定理证明；D选项，将平行六面体的高转化为正四面体的高，然后利用勾股定理计算.
【详解】
设，
由题意得，，
，
所以，故A正确；
，
若向量，，共面，则存在唯一实数对，使得，
即，而，，不共面，则有，显然不成立，所以向量，，不共面，故B错；
，，
，
，
所以，，
因为，平面，所以平面，故C正确；
连接，，，过点作平面于点，
由题意得，则三棱锥为正四面体，
所以点到平面的距离即为正四面体的高，即平行六面体的高，
，，
所以平行六面体的高为，故D正确.
故选：ACD.
11. 已知双曲线的左､右顶点分别为，，点是上的任意一点，则（ ）
A. 双曲线的离心率为
B. 焦点到渐近线的距离为3
C. 点到两条渐近线的距离之积为
D. 当与､不重合时，直线，的斜率之积为3
【答案】BCD
【解析】
【分析】求出由离心率公式判断A；由距离公式判断B；由结合距离公式判断C；由结合斜率公式判断D.
【详解】对于A，，，故A错误；
对于B，双曲线的右焦点到渐近线的距离为，故B正确；
对于C，设，满足，即，则点到两条渐近线的距离之积为，故C正确；
对于D，设，由C得，，，故D正确；
故选：BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知两平面的法向量分别为，，则两平面所成的二面角为____________.
【答案】45°或135°
【解析】
【分析】根据二面角夹角与法向量的关系，结合夹角公式求解即可.
【详解】因为两平面的法向量分别为，，
则两平面所成的二面角与相等或互补，
因为，且，故.
故两平面所成的二面角为45°或135°.
故答案为：45°或135°
13. 已知数列是等比数列，，，则数列的通项公式________；数列的前9项和的值为__________.
【答案】 ①. ②. 171
【解析】
【分析】根据等比数列基本量的计算即可求解，，进而根据公式即可求解.
【详解】由，可得，，所以，
，
故答案为：，171
14. 已知直线，若直线与关于对称，则的方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】先解方程组得与的交点也在上，然后在上取一点，则该点关于的对称点也在上，用两点式即可求得的方程．
【详解】联立，解得，所以三条直线的交点为
在上取点，依题意该点关于的对称点在上
由两点式得的方程为，化简得
故答案为
【点睛】本题主要考查求关于直线对称的直线方程，熟记直线方程的一般式即可，属于常考题型.
四．解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知等差数列中，，.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据等差数列中，，列出关于首项、公差的方程组，解方程组可得与的值，从而可得数列的通项公式；
（2）由（1）可得 ，利用裂项相消法求解即可.
【小问1详解】
因为是等差数列，则
由，得，解得，
所以数列的通项公式为.
【小问2详解】
由（1）得， ，
所以的前项和 .
所以.
【点睛】方法点睛：
常见的裂项技巧：(1)；（2） ； （3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.
16. 如图所示，在直三棱柱中，，，棱，M，N分别为的中点．
（1）求BN的长；
（2）求与所成角的余弦值；
（3）求证：平面.
【答案】（1）；
（2）；
（3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据给定的几何体，建立空间直角坐标系，利用向量模的坐标表示计算即得.
（2）利用（1）中信息，利用线线角的向量方法求解即得.
（3）利用空间位置关系的向量证明推理即得.
【小问1详解】
在直三棱柱中，，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
由，，M，N分别为的中点，
得，，
所以BN的长为.
【小问2详解】
由（1）得，，
因此，
所以与所成角的余弦值是.
【小问3详解】
由（1）得，，
，
即，因此，
而平面，
所以平面.
17. 椭圆E的焦点分别为、且满足，经过，两点.

（1）求椭圆E的标准方程和椭圆E的离心率e、长轴长、短轴长，并在坐标系中画上椭圆E的草图
（2）设点M为椭圆E上一点且满足，求的周长和面积.
【答案】（1）答案见解析；
（2）周长为，面积为.
【解析】
【分析】（1）首先设椭圆的一般方程，将两点坐标代入方程，即可求解，再根据椭圆的方程画出椭圆的草图，以及求得椭圆的性质；
（2）根据椭圆的定义，以及余弦定理，即可求解周长和面积.
【小问1详解】
设椭圆方程为，，在椭圆上，
则，解得：，
所以椭圆的标准方程为，
所以，，，所以，，，
所以椭圆的离心率，长轴，短轴长；
椭圆E的草图如图所示：
【小问2详解】
由（1）得的周长为，
设， ，，
中，，
即，即，解得，
所以的面积.
18. 在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，面，为棱的中点，经过、、三点的平面交棱于点.
（1）求证：平面；
（2）若直线与平面所成角大小为，求平面与平面所成角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由线面平行的判定、性质可证，进而得到四边形是平行四边形，则，最后应用线面平行判断证结论；
（2）由题设证得面，结合面及已知求相关边长，构建空间直角坐标系，应用向量法求面面角的余弦值.
【小问1详解】
由，平面，平面，则平面，
又，平面，则，
又是的中点，故是的中点，所以且，
又，故且，
所以四边形是平行四边形，则，
又平面，平面，故平面.
【小问2详解】
连接，因且，，
所以且，又面，面，故，
又，面，所以面，
故为直线与平面所成角，从而，且.
如图，以，，为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，.
面的法向量为，设面的法向量为，
则，取，得，
所以，则面与面所成角的余弦值为.
19. 下面是某同学在学段总结中对圆锥曲线切线问题的总结和探索，现邀请你一起合作学习，请你思考后，将答案补充完整．
（1）圆上点处的切线方程为 ?请说明理由.
（2）椭圆上一点处的切线方程为 ?
（3）是椭圆外一点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为A，B，如图，则直线的方程是 ?这是因为在，两点处，椭圆的切线方程为和．两切线都过点，所以得到了和，由这两个“同构方程”得到了直线的方程；

（4）问题（3）中两切线，斜率都存在时，设它们方程的统一表达式为，由，得，化简得，得．若，则由这个方程可知点一定在一个圆上，这个圆的方程为 ?
【答案】（1），理由见解析；
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】（1）分情况讨论斜率存在与否，斜率存在时根据直线垂直斜率表示，利用点斜式即可求得方程，易知斜率不存在时也满足方程，即可得出结果；
（2）斜率存在时设出直线方程，联立直线和椭圆方程利用得出表达式，代入整理即可得切线方程，当斜率不存在时切线方程为满足上式；
（3）根据同构方程可知点都满足方程，即可知直线的方程；
（4）由可知方程的两根乘积为，即可得，即可知点一定在圆上.
【小问1详解】
圆上点处的切线方程为．
理由如下：
①若切线的斜率存在，设切线的斜率为，则，所以，
又过点，由点斜式可得，
化简可得，，
所以切线的方程为；
②若切线的斜率不存在，则，
此时切线方程为，满足方程；
综上所述，圆上点处的切线方程为．
【小问2详解】
①当切线斜率存在时，设过点的切线方程为，
联立方程，整理得，
由可得，
所以
由韦达定理可知，即，
把代入中，得，
所以
化简得．
②当切线斜率不存在时，过的切线方程为，满足上式．
综上，椭圆上一点的切线方程为．
【小问3详解】
在，两点处，椭圆的切线方程为和，
因为两切线都过点，
所以得到了和，
由这两个“同构方程”得到了直线的方程为；
【小问4详解】
问题（3）中两切线斜率都存在时，设它们方程的统一表达式为
由，可得，
由，得，（*）
因为，
则，
所以（*）式中关于的二次方程有两个解，且其乘积为，
则，
可得，
所以圆的半径为2，圆心为原点，其方程为．