广西百色市平果市铝城中学高三上学期期末考试数学试题（解析版）-A4

这是一份广西百色市平果市铝城中学高三上学期期末考试数学试题（解析版）-A4，共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数满足，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】利用复数的四则运算法则可求，进而可得共轭复数在复平面内对应的点所在的象限.
【详解】由，可得，
所以，所以.
所以复数的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第三象限.
故选：C.
2. 已知向量，，若，则（ ）
A. 1B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】由向量平行，先求出的值，再由模长公式求解模长.
【详解】由，则，即
则，所以
则
故选：B
3. 已知等差数列中，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据等差数列的性质计算，即可得答案.
【详解】由题意等差数列中，
可得，
故选：B
4. 命题“”的否定为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.
【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“”的否定为：命题“”.
故选：C
5. 已知双曲线：（，）的离心率为3，双曲线的一个焦点到它的一条渐近线的距离为，则双曲线的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由离心率为3可得，又焦点到渐近线的距离为，从而可得答案.
【详解】∵，∴，设双曲线的焦点，其中
双曲线：的渐近线方程为：，即
所以焦点到渐近线的距离为，所以，
故双曲线的方程为：
故选：C.
6. 已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，，，则
C. 若，，则，则
D. 若，，则
【答案】B
【解析】
【分析】若，，则或，A错；由线面平行的性质可判断B正确；由面面垂直的性质定理判断C错；由线面平行的判定定理即可得出D错.
【详解】对于A，若，，则或，故A错误；
对于B，若，，过m作平面与，分别交于直线a，b，
由线面平行的性质得，，所以，
又，，所以，
又，，所以，所以，故B正确；
对于C，由面面垂直的性质定理可得，
当时，，否则不成立，故C错误；
对于D，若，，则或，故D错误.
故选：B
7. 是椭圆上一点，、分别是椭圆左、右焦点，若，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由椭圆的方程，结合已知可得，，再结合可求出的值； 然后在中，利用余弦定理求出的值，从而得到的度数.
【详解】是椭圆上一点，、分别是椭圆的左、右焦点，
则，，
又，由，
得，
中，由余弦定理，
而为三角形内角，所以.
故选：B.
8. 已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，，则球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，利用正弦、余弦定理，求得的外接圆的半径，记的外心为，证得平面，求得，结合球的截面圆的性质，列出方程求得球的半径，利用球的表面积公式，即可求解.
【详解】设的外接圆半径为，因为，，
由余弦定理得，，
所以，
由正弦定理得，所以，
记的外心为，连接，，，则，
取，的中点分别为，，则，，
又因为，可得，，
因为，，
因为平面，平面，
所以平面，平面，
又因为平面，平面，
所以，，
因为，平面，
所以平面，可得，
由题意可得外接球的球心在上，或在的延长线上，设外接球的半径为，
则球心到的距离为，
则有，解得，
所以球的表面积，
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于先确定所在截面小圆的半径，再通过几何关系确定球心所在直线，进而确定球心位置，将球心到的距离表示出来，再用勾股定理解出球半径，进而得到结果.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，答案有两个选项只选一个对得3分，错选不得分；答案有三个选项只选一个对得2分，只选两个都对得4分，错选不得分.
9. 函数的部分图象如图所示，则（ ）
A. 该函数的解析式为
B. 该函数的单调递增区间为
C. 在区间上不存在、，使得
D. 把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，可得到的图象
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用图象求出函数的解析式，可判断A选项的正误；利用余弦型函数的单调性可判断B选项的正误；取、可判断C选项的正误；利用三角函数图象变换可判断D选项的正误.
【详解】由图知，函数的最小正周期满足，即，，
所以，
因为，所以，可得，
因为，则，所以，故A项正确；
由，解得，
故B项正确；
当时，，当时，，此时，
故C项不正确；
由题知，
把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得，故D项正确.
故选：ABD.
【点睛】方法点睛：根据三角函数或的部分图象求函数解析式的方法：
（1）求、，；
（2）求出函数的最小正周期，进而得出；
（3）取特殊点代入函数可求得的值.
10. 已知函数的定义域为，满足，且时，，则（ ）
A. 时，函数的最大值为
B. 函数在区间上单调递减
C. 方程有两个实根
D. 若，则的最大值为
【答案】BC
【解析】
【分析】根据题意作出在的图像，再逐一分析各个选项，数形结合，即可得出答案．
【详解】因为，所以，
当时，，则，
当时，，则，
当时，，则，
作出图像，如图所示，

对于A，当时，，
当时，，故A错误；
对于B，当时，，
因为二次函数对称轴为直线，所以时，单调递减，故B正确；
对于C，方程实数根的个数函数与交点的个数，
在同一直角坐标系中做出图像，如图所示，

由图像可得，函数与有2个交点，即方程有两个实根，故C正确；
对于D，当时，，
令，解得，

所以，的最大值为，故D错误，
故选：BC．
11. 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，在阳马中，平面ABCD，若，E，F分别为PD，PB的中点，则 （ ）
A. 平面PAC
B. 平面EFC
C. 点到直线的距离为
D. AC与平面EFC的所成角的正弦值为
【答案】AC
【解析】
【分析】利用线面垂直的性质定理和判定定理证明选项A;利用空间向量的坐标运算证明线面位置关系求解选项B；利用空间向量的坐标运算求点到直线的距离求解选项C；利用间向量的坐标运算求解线面夹角的正弦值.
详解】对A，连接，则
因为E，F分别为PD，PB的中点，所以,
因为平面ABCD，平面ABCD，所以,
且平面，
所以平面，则平面，A正确；
对B，因为平面ABCD，平面ABCD，
所以,且,
所以以为轴建立空间直角坐标系，如图，
设平面的一个法向量为，
则有令，则，所以，
因为，所以与平面EFC不平行，B错误；
对C，设到直线距离为，
则，所以，C正确；
设AC与平面EFC的所成角为，
,
所以，D错误；
故选:AC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数，若曲线在点处的切线与直线平行，则__________.
【答案】6
【解析】
【分析】求导得切线斜率，利用直线平行求解即可.
【详解】由题意知，所以，解得.
故答案为：6.
13. 已知，则______.
【答案】
【解析】
【分析】先由条件，求出，再由二倍角公式求出，由求出所求式子的分母，从而得到答案.
【详解】，，
，
，
.
故答案为：
【点睛】本题考查正切的和角公式的应用，考查二倍角公式，主要考查三角恒等变形的能力，属于中档题.
14. 设P为ΔABC内一点，且，则的面积与ΔABC面积之比为 __________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，作出平行四边形ACED，B为AD中点，G、F满足，．根据向量的加法法则，得到且，根据平行线的性质和三角形面积公式，分别得到△PAB的面积等于平行四边形ACED的，且△ABC的面积等于平行四边形ACED的，由此即可得到它们的面积之比．
【详解】∵
设向量，，
可得
点P在以AG、AF为邻边的平行四边形的第四个顶点处，如图所示
平行四边形ACED中，
B为AD中点，得，
∴△PAB的面积S1S△ADES平行四边形ACED
又∵△ABC的面积S2S平行四边形ACED
∴S1：S2：，即△PAB的面积与△ABC的面积的比值为
故答案为.
【点睛】本题给出三角形中的向量关系式，求两个三角形的面积之比．着重考查了向量的加法法则、平行四边形的性质和三角形面积公式等知识，属于中档题
四．解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. a，b，c分别为内角A，B，C的对边.已知.
（1）求；
（2）若，，求的周长.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理边换角，再用和差公式化简，代入倍角公式即可求解；
（2）利用余弦定理的变形公式代入即可求解.
【小问1详解】
，
由正弦定理得：
，，
，
，
即：.
【小问2详解】
，，
①，
又②，③，
联立①②③解得：，，
.
即的周长为：16.
16. 某企业从生产的一批零件中抽取100件产品作为样本，检测其质量指标值m（其中：，得到频率分布 并依据质量指标值划分等级如表所示：
（1）根据频率分布直方图估计产品的质量指标值的中位数；
（2）从样本的B级零件中随机抽3件，记其中质量指标值在[350，400]的零件的件数为，求的分布列和数学期望；
（3）该企业为节省检测成本，采用混装的方式将所有的零件按500个一箱包装，已知一个A级零件的利润是10元，一个B级零件的利润是5元，以样本分布的频率作为总体分布的概率，试估计每箱零件的利润.
【答案】（1）275 （2）分布列见解析，
（3）4750元
【解析】
【分析】(1)根据中位数在频率分布直方图表示的意义计算即可；
(2)先计算出零件为B级的个数，然后求出相应概率，得到分布列，计算出数学期望；
(3)设每箱零件中A级零件有个，每箱零件的利润为元，运用期望知识求解利润.
【小问1详解】
由题意知，设中位数为，则
，
解得，所以产品质量指标值的中位数为275；
【小问2详解】
样本的B级零件个数为10个，质量指标值在[350,400]的零件为5个，
可能取的值为0，1，2，3，相应的概率为：
，，
，.
随机变量分布列为
所以期望.
【小问3详解】
设每箱零件中A级零件有个，每箱零件的利润为元，则级零件有个，
由题意知，
因为，
所以，
所以(元).
17. 如图，梯形ABCD中，，E为AD中点，且，，将沿CE翻折到，使得．连接PA，PB．

（1）求证：；
（2）Q为线段PA上一点，若，若二面角Q-BC-A的平面角的余弦值为时，求实数的值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理进行证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.
【小问1详解】
因为．所以．．
又，PE，平面PAE．
所以平面PAE．平面ABCE．所以平面平面PAE．
在梯形ABCD中，，所以．
所以在四棱锥P-ABCE中，．
因为．所以为正三角形．
取AE中点O．连接PO，OB，OC．易得，．
由面面垂直的性质可得平面ABCE．
又，，，
所以四边形OBCE为正方形，所以．
又．OC、平面POC，所以平面POC．
又平面POC，所以；
【小问2详解】
由（1）知OA、OB、OP两两垂直．以O为坐标原点．以OA，OB，OP所在直线建立如图所示的坐标系，则：，，，，由得．
则，．设平面QBC的法向量，故，，，即．
易知平面ABC的一个法向量为
所以．
解得或（舍）．所以．

18. 已知函数，
（1）讨论函数的单调区间；
（2）当时，设，为两个不相等的正数，且，证明：.
【答案】（1）上单调递增，上单调递减.
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用导数研究函数的单调性；
（3）利用切割线放缩证明.
【小问1详解】
,,
,,
上单调递增，上单调递减.
【小问2详解】
,,
在上单调递增，上单调递减.
，
，
因为，所以函数在区间上为上凸函数，
函数在区间的图象如图所示.
不妨设，则.

连接和点的直线l2的方程为：,
当时，,
由图可知,所以要证明，只需证明，即只需证明，
连接的直线的方程为,设函数的图象的与平行的切线是直线，
，，
直线的方程为,即，
令,得直线与直线的交点横坐标为,
由图可知，，
故要证不等式成立.
19. 下面是某同学在学段总结中对圆锥曲线切线问题的总结和探索，现邀请你一起合作学习，请你思考后，将答案补充完整．
（1）圆上点处的切线方程为 ?请说明理由.
（2）椭圆上一点处的切线方程为 ?
（3）是椭圆外一点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为A，B，如图，则直线的方程是 ?这是因为在，两点处，椭圆的切线方程为和．两切线都过点，所以得到了和，由这两个“同构方程”得到了直线的方程；

（4）问题（3）中两切线，斜率都存在时，设它们方程的统一表达式为，由，得，化简得，得．若，则由这个方程可知点一定在一个圆上，这个圆的方程为 ?
【答案】（1），理由见解析；
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】（1）分情况讨论斜率存在与否，斜率存在时根据直线垂直的斜率表示，利用点斜式即可求得方程，易知斜率不存在时也满足方程，即可得出结果；
（2）斜率存在时设出直线方程，联立直线和椭圆方程利用得出表达式，代入整理即可得切线方程，当斜率不存在时切线方程为满足上式；
（3）根据同构方程可知点都满足方程，即可知直线的方程；
（4）由可知方程的两根乘积为，即可得，即可知点一定在圆上.
【小问1详解】
圆上点处的切线方程为．
理由如下：
①若切线的斜率存在，设切线的斜率为，则，所以，
又过点，由点斜式可得，
化简可得，，
所以切线的方程为；
②若切线的斜率不存在，则，
此时切线方程为，满足方程；
综上所述，圆上点处的切线方程为．
【小问2详解】
①当切线斜率存在时，设过点的切线方程为，
联立方程，整理得，
由可得，
所以
由韦达定理可知，即，
把代入中，得，
所以
化简得．
②当切线斜率不存在时，过的切线方程为，满足上式．
综上，椭圆上一点的切线方程为．
【小问3详解】
在，两点处，椭圆的切线方程为和，
因为两切线都过点，
所以得到了和，
由这两个“同构方程”得到了直线的方程为；
【小问4详解】
问题（3）中两切线斜率都存在时，设它们方程的统一表达式为
由，可得，
由，得，（*）
因为，
则，
所以（*）式中关于的二次方程有两个解，且其乘积为，
则，
可得，
质量指标值m
50≤m