24.正方形——初中数学中考一轮分层训练（含答案解析）2026学年中考一轮复习

这是一份24.正方形——初中数学中考一轮分层训练（含答案解析）2026学年中考一轮复习，共6页。试卷主要包含了基础题，能力题，拓展题等内容，欢迎下载使用。
一、基础题
1．下列命题中，假命题是（ ）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
2．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的边长为5，AB边在y轴上．B(0，−2)．若将正方形ABCD绕点O逆时针旋转90∘．得到正方形A'B'C'D'．则点D'的坐标为（ ）
A．（-3，5）B．（5，-3）C．（-2，5）D．（5，-2）
3．如图所示，菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O，若再补充一个条件能使菱形ABCD成为正方形，则这个条件是 ．（只填一个条件即可）
4．如图，在4×4的方格图中，阴影正方形的边长是 ，这个长度介于两个相邻整数 之间。（每个小正方形的边长为1个单位）
5．在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点Q，请添加一个条件： 使得矩形ABCD是正方形．（只写一个）
6． 如图，在平面直角坐标系中，正方形 ABCD 的对角线交点为坐标原点 O，点 A，C 在 x 轴上，点 B，D 在 y 轴上，若正方形的边长为 2，则顶点 A 的坐标为 .
7． 如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上的一点，连接AE、CE，求证：AE=CE．
8．已知：如图，四边形ABCD为正方形，点E在BD的延长线上，连接EA、EC．求证：△EAB≌△ECB．
9．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且BE=CF，求证：AE=BF．
10．如图，正方形ABCD，点E，F是对角线AC上的两点，∠EBF=45°，连接BE，BF，△ABE和△GBE关于直线BE对称.点G在BD上，连接FG.
（1）求∠FBC的度数；
（2）如备用图，延长BF交CD于点H.连接HG
①求证：四边形GHCF是菱形；
②求CDCH的值.
二、能力题
11．如图，在⊙O中，点C 在优弧AB上，将BC⏜沿BC 折叠后刚好经过AB 的中点 D，若⊙O 的半径为 5，AB=4，则 BC 的长是( ).
A．23B．32C．523D．652
12．如图，E，F，G，H四点分别在正方形ABCD的四条边上，AF=BG=CH=DE.若AB=17，EF=13，则△GCH的内切圆半径为（ ）
A．1B．2C．3D．4
13．如图是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成．在正方形ABCD中，AB=10．下列三个结论：①若tan∠ADF=34，则EF=2；②若Rt△ABG的面积是正方形EFGH面积的3倍，则点F是AG的三等分点；③将△ABG绕点A逆时针旋转90°得到△ADG'，则BG'的最大值为55+5．其中正确的结论是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
14．将正六边形与正方形按如图所示摆放，且正六边形的边AB与正方形的边CD在同一条直线上，则∠BOC的度数是 ．
15．如图，小明同学将正方形硬纸板沿实线剪开，得到一个立方体的表面展开图．若正方形硬纸板的边长为12cm，则折成立方体的棱长为 cm．
16．如图，将边长为 8cm 的正方形纸片 ABCD 折叠，使点 D 落在 BC 边中点 E 处，点 A 落在点 F 处，折痕为 MN ，则线段 FM 的长度为 cm ．
17．如图， 正方形 ABCD 的边长为 10，G 是边 CD 的中点， 点 E 是边 AD 上一动点， 连结 BE， 将 △ABE 沿 BE 翻折得到 △FBE， 连结 GF， 当 GF 最小时， AE 的长是
18．如图，AC为正方形ABCD的对角线．
（1）尺规作图：作AD的垂直平分线l交AD于点E，在l上确定点F，使得点F到∠BAC的两边距离相等；（不写作法，保留痕迹）
（2）在（1）的条件下，求∠EFA的度数．（请直接写出∠EFA的度数）
19．【问题背景】
如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板 ABCD 上剪下机翼状纸板（阴影部分），点 E 在对角线BD 上．
【数学理解】
（1）该机翼状纸板是由两个全等三角形组成，请写出 △ABE≅△CBE 的证明过程．
（2）若裁剪过程中满足 DE=DA ，求＂机翼角＂∠BAE 的度数．
20．如图，将边长为3的正方形ABCD沿直线EF折叠，使点B的对应点M落在边AD上（点M不与点A，D重合），点C落在点N处，MN与CD交于点P，折痕分别与边AB，CD交于点E，F，连接BM．
（1）求证：∠AMB=∠BMP；
（2）若DP=1，求MD的长．
三、拓展题
21．两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：将一条线段AB分割成长、短两条线段AC、CB，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即CBAC=ACAB，则这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点C叫做线段AB的黄金分割点．
（1）【问题初探】
如图1，已知点C为线段AB的黄金分割点（AC＞BC），求黄金比．
解：设AB＝1，AC＝x，则CB＝1﹣x．
∵CBAC=ACAB，
∴⋯⋯
请补全以上解题过程；
（2）【问题再探】
如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，请作出AC的黄金分割点（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（3）【知识迁移】
如图3，点C为线段AB的黄金分割点（AC＞BC），分别以AC、BC为边在线段AB同侧作正方形ACDE和矩形CBFD，连结BD、BE．求证：△EAB∽△BCD；
（4）【延伸拓展】
如图4，在正五边形ABCDE中，对角线AD与BE交于点M．求证：点M是AD的黄金分割点．
22． 综合与实践
顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形．数学兴趣小组通过作图、测量，猜想：原四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定性作用．
以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究．
【探究一】
如图1，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是各边的中点．
求证：中点四边形EFGH是平行四边形．
证明：∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，
∴EF、GH分别是△ABC和△ACD的中位线，
∴EF=12AC，GH=12AC（ ① ）
∴EF=GH．
同理可得：EH=FG．
∴中点四边形EFGH是平行四边形．
结论：任意四边形的中点四边形是平行四边形．
（1）请你补全上述过程中的证明依据 .
（2）【探究二】
从作图、测量结果得出猜想Ⅰ：原四边形的对角线相等时，中点四边形是菱形．
下面我们结合图2来证明猜想Ⅰ，请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程．
（3）【探究三】
从作图、测量结果得出猜想Ⅱ：原四边形对角线垂直时，中点四边形是 ．
（4）下面我们结合图3来证明猜想Ⅱ，请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程．
（5）【归纳总结】
请你根据上述探究过程，补全下面的结论，并在图4中画出对应的图形．
结论：原四边形对角线 时，中点四边形是 ．
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】A.对角线互相平分的四边形是平行四边形，是真命题；
B.对角线互相平分且相等的四边形是矩形，是真命题；
C.对角线互相垂直平分的四边形是菱形，是真命题；
D.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形，是假命题；
故答案为：D.
【分析】根据平行四边形的判定方法可知A是真命题，根据矩形的判定方法可知B是真命题，根据菱形的判定方法可知C是真命题，根据对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，可知D是假命题.
2．【答案】A
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD的边长为5，AB边在y轴上，将正方形ABCD绕点O逆时针旋转90°，得到正方形 A'B'C'D'.
∴AB=BC=A'B'=B'C'=C'D'=5，A'B'在x轴上，A'B'//C'D'，
∵B(0，-2)，
∴B'(2，0)，C'(2，5)，
∴D'(-3，5)，
故答案为：A.
【分析】由正方形与旋转可得A'B'在x轴上，A'B'//CD'，结合B(0，-2)，可得B'(2，0)，C'(2，5)，进一步可得答案.
3．【答案】AC=BD（答案不唯一）
【解析】【解答】解：添加AC=BD，理由：
∵四边形ABCD是菱形，AC=BD，
∴四边形ABCD是正方形．
故答案为：AC=BD（答案不唯一）
【分析】根据正方形的判定方法“对角线相等的菱形是正方形”可以添加AC=BD；根据正方形的判定方法“有一个内角是直角的菱形是正方形”可以添加∠BAD=90°.
4．【答案】10；3和4
【解析】【解答】解：设阴影正方形的边长为a，
根据勾股定理可得：
a2=12+32=1+9=10，
所以a=10。
∵9