2023年中考数学一轮复习《正方形》课时练习（含答案）

2023年中考数学一轮复习

《正方形》课时练习

一              、选择题

1.如图，已知菱形ABCD，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为(　　)

A.16          B.12          C.24           D.18

2.菱形、矩形、正方形都具有的性质是(　　)

A.对角线相等                             B.对角线互相垂直

C.对角线互相平分                         D.对角线平分一组对角

3.为增加绿化面积,某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖,更换后,图中阴影部分为植草区域,设正八边形与其内部小正方形的边长都为a,则阴影部分的面积为(  )

A.2a2                                       B.3a2                                        C.4a2                                    D.5a2

4.如图,将边长为的正方形ABCD沿对角线AC平移,点A移至线段AC的中点A′处,得新正方形A′B′C′D′,新正方形与原正方形重叠部分(图中阴影部分)的面积是(      )

A.                           B.                           C.1                              D.

5.如图，把一张正方形纸对折两次后，沿虚线剪下一角，展开后所得图形一定是(　　)

A.三角形         B.菱形         C.矩形         D.正方形

6.如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE＝BF＝CG＝DH＝5，则四边形EFGH的面积是(　　)

A.30       B.34       C.36       D.40

7.在一次数学课上，张老师出示了一个题目：“如图，▱ABCD的对角线相交于点O，过点O作EF垂直于BD交AB，CD分别于点F，E，连接DF，BE.请根据上述条件，写出一个正确结论.”

其中四位同学写出的结论如下：

小青：OE＝OF；小何：四边形DFBE是正方形；

小夏：S四边形AFED＝S四边形FBCE；小雨：∠ACE＝∠CAF.

这四位同学写出的结论中不正确的是(　　)

A.小青                          B.小何                         C.小夏                          D.小雨

8.如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，且满足BE＝BC.连接CE并延长交AD于点F，连接AE，过B点作BG⊥AE于点G，延长BG交AD于点H.

在下列结论中：①AH＝DF；②∠AEF＝45°；③S四边形EFHG＝S△DEF＋S△AGH，

其中正确的结论有(　　)

A.①                         B.①②                         C.①③                           D.①②③

二              、填空题

9.若正方形的面积是9，则它的对角线长是     .

10.如图1，在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，再将图中的阴影部分剪拼成一个长方形，如图2．这个拼成的长方形的长为30，宽为20．则图2中Ⅱ部分的面积是        ．

11.把正方形ABCD沿对边中点所在直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE，若AB的长为2，则FM＝       ．

12.如图所示，正方形ABCD的周长为8cm，顺次连结正方形ABCD各边的中点，得到正方形EFGH，则EFGH的周长等于_____cm，面积等于______cm2．

13.如图，四边形ABCD是边长为3的正方形，∠BDC的平分线DE交BC于点E，点M、点N分别是CD和DE上的动点，连接AM，则当MN＋CN的值最小时，AM＝         .

14.如图，在边长为a(a>2)正方形各边上分别截取AE＝BF＝CG＝DH＝1，当∠AFQ＝∠BGM＝∠CHN＝∠DEP＝450时，则正方形MNPQ的面积为__________.

三              、解答题

15.如图，在正方形ABCD中，BC＝2，E是对角线BD上的一点，且BE＝AB.求△EBC的面积．

16.如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N.

(1)求证：∠ADB＝∠CDB；

(2)若∠ADC＝90°，求证：四边形MPND是正方形.

17.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是△ABC的一条角平分线．点O，E，F分别在BD，BC，AC上，且四边形OECF是正方形．

(1)求证：点O在∠BAC的平分线上；

(2)若AC＝5，BC＝12，求OE的长．

18.某数学兴趣小组在数学课外活动中，研究三角形和正方形的性质时，做了如下探究：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点(点D不与B，C重合)，以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF．

(1)观察猜想

如图①，当点D在线段BC上时．

①BC与CF的位置关系为：____________；

②BC，CD，CF之间的数量关系为：____________；(将结论直接写在横线上)

(2)数学思考

如图②，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明；

(3)拓展延伸

如图③，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE．若已知AB＝2,4CD＝BC，请求出GE的长．

参考答案

1.A.

2.C

3.A

4.D

5.B.

6.B.

7.B.

8.B.

9.答案为：3.

10.答案为：100.

11.答案为：．

12.答案为：4；2

13.答案为：.

14.答案为：2.

15.解：作EF⊥BC于F，如图所示：则∠EFB＝90°，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝BC＝2，∠DAB＝∠ABC＝90°，

∴∠ABD＝∠DBC＝∠ABC＝45°，

∴△BEF是等腰直角三角形，

∴EF＝BF，

∵BE＝AB，

∴BE＝BC＝2，

∴EF＝BF＝BE＝，

∴△EBC的面积＝BC•EF＝×2×＝．

16.证明：(1)∵对角线BD平分∠ABC，

∴∠ABD＝∠CBD，

在△ABD和△CBD中，

，

∴△ABD≌△CBD(SAS)，

∴∠ADB＝∠CDB；

(2)∵PM⊥AD，PN⊥CD，

∴∠PMD＝∠PND＝90°，

∵∠ADC＝90°，

∴四边形MPND是矩形，

∵∠ADB＝∠CDB，

∴∠ADB＝45°

∴PM＝MD，

∴四边形MPND是正方形.

17.解：(1)证明：过点O作OM⊥AB于点M，

∵BD是∠ABC的平分线，

∴OE＝OM，

∵四边形OECF是正方形，

∴OE＝OF，

∴OF＝OM，

∵OM⊥AB，OF⊥AD，

∴AO是∠BAC的角平分线，

即点O在∠BAC的平分线上；

(2)∵在Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12，

∴AB＝＝＝13，

设CE＝CF＝x，BE＝BM＝y，AM＝AF＝z，

∴解得

∴OE＝CE＝CF＝2.

18.解：①垂直；

② BC＝CF＋CD

(2)CF⊥BC成立；BC＝CD＋CF不成立，CD＝CF＋BC．

∵正方形ADEF中，AD＝AF，∠BAC＝∠DAF＝90°，

∴∠BAD＝∠CAF，

在△DAB与△FAC中，

，

∴△DAB≌△FAC，

∴∠ABD＝∠ACF，

∴∠BCF＝∠ACF﹣∠ACB＝135°﹣45°＝90°，

∴CF⊥BC．

∵CD＝DB＋BC，DB＝CF，

∴CD＝CF＋BC．        

(3)解：过A作AH⊥BC于H，过E作EM⊥BD于M，EN⊥CF于N，

∵∠BAC＝90°，AB＝AC，

∴BC＝AB＝4，AH＝BC＝2，

∴CD＝BC＝1，CH＝BC＝2，

∴DH＝3，

由(2)证得BC⊥CF，CF＝BD＝5，

∵BC⊥CF，EM⊥BD，EN⊥CF，

∴四边形CMEN是矩形，

∴NE＝CM，EM＝CN，

又∵∠ADH＋∠EDM＝90° ,∠EDM＋∠DEM＝90°,

∴∠ADH＝∠DEM.

在△ADH与△DEM中，

，

∴△ADH≌△DEM，

∴DH＝EM＝CN＝3.

又∵△BCG是等腰直角三角形，

∴CG＝BC＝4，

∴GN＝CG-CN＝1，

∴EG＝．