正方形——初中数学中考一轮分层训练(学生版)练习含答案

这是一份正方形——初中数学中考一轮分层训练(学生版)练习含答案试卷主要包含了基础题，能力题，拓展题等内容，欢迎下载使用。
一、基础题
1．（2022·无锡）下列命题中，是真命题的有（ ）
①对角线相等且互相平分的四边形是矩形②对角线互相垂直的四边形是菱形③四边相等的四边形是正方形④四边相等的四边形是菱形
A．①②B．①④C．②③D．③④
2．（2025·自贡）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的边长为5，AB边在y轴上．B(0，−2)．若将正方形ABCD绕点O逆时针旋转90∘．得到正方形A'B'C'D'．则点D'的坐标为（ ）
A．（-3，5）B．（5，-3）C．（-2，5）D．（5，-2）
3．（2025·乐山）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O．小乐同学欲添加两个条件使得四边形ABCD是正方形，现有三个条件可供选择：①AC⊥BD；②AC＝BD；③∠ADC＝90°．则正确的组合是 （只需填一种组合即可）．
4．（2024·深圳） 如图所示， 四边形 ABCD,DEFG,GHIJ 均为正方形， 且 S正方形ABCD=10,S正方形GHIJ=1，则正方形 DEFG 的边长可以是 . （写出一个答案即可）
5．（2024·黑龙江）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，请添加一个条件 ，使得菱形ABCD为正方形．
6．（2023·滨州）一块面积为5m2的正方形桌布，其边长为 ．
7．（2025九上·衢州月考） 如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上的一点，连接AE、CE，求证：AE=CE．
8．（2025八下·韶关期中）如图，在正方形ABCD中，E是边AB的中点，F是边BC的中点，连接CE、DF，CE与DF交于点O，求证：
（1）CE=DF；
（2）CE⊥DF．
9．（2025·广州模拟）已知：如图，四边形ABCD为正方形，点E在BD的延长线上，连接EA、EC．求证：△EAB≌△ECB．
10．（2018·盐城）在正方形 ABCD 中，对角线 BD 所在的直线上有两点 E 、 F 满足 BE=DF ，连接 AE 、 AF 、 CE 、 CF ，如图所示.
（1）求证： ΔABE≅ΔADF ；
（2）试判断四边形 AECF 的形状，并说明理由.
二、能力题
11．（2025·深圳） 如图，将正方形ABCD沿EF折叠，使得点A与对角线的交点O重合，EF为折痕，则EFCG的值为( )
A．14B．12C．22D．23
12．（2025·滨州）如图，E，F，G，H四点分别在正方形ABCD的四条边上，AF=BG=CH=DE.若AB=17，EF=13，则△GCH的内切圆半径为（ ）
A．1B．2C．3D．4
13．（2024·南充）如图是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成．在正方形ABCD中，AB=10．下列三个结论：①若tan∠ADF=34，则EF=2；②若Rt△ABG的面积是正方形EFGH面积的3倍，则点F是AG的三等分点；③将△ABG绕点A逆时针旋转90°得到△ADG'，则BG'的最大值为55+5．其中正确的结论是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
14．（2024·宁夏）如图，在正五边形ABCDE的内部，以CD边为边作正方形CDFH，连接BH，则∠BHC= °.
15．（2025·威海）如图，小明同学将正方形硬纸板沿实线剪开，得到一个立方体的表面展开图．若正方形硬纸板的边长为12cm，则折成立方体的棱长为 cm．
16．（2024·吉林）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是OA的中点，点F是OD上一点，连接EF．若∠FEO＝45°，则EFBC的值为 ．
17．（2024·河南）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点A的坐标为（-2，0），点E在边CD上.将△BCE沿BE折叠，点C落在点F处.若点F的坐标为（0，6），则点E的坐标为 .
18．（2025·无锡）如图，AC为正方形ABCD的对角线．
（1）尺规作图：作AD的垂直平分线l交AD于点E，在l上确定点F，使得点F到∠BAC的两边距离相等；（不写作法，保留痕迹）
（2）在（1）的条件下，求∠EFA的度数．（请直接写出∠EFA的度数）
19．（2025·浙江）【问题背景】
如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板 ABCD 上剪下机翼状纸板（阴影部分），点 E 在对角线BD 上．
【数学理解】
（1）该机翼状纸板是由两个全等三角形组成，请写出 △ABE≅△CBE 的证明过程．
（2）若裁剪过程中满足 DE=DA ，求＂机翼角＂∠BAE 的度数．
20．（2023·潜江）如图，将边长为3的正方形ABCD沿直线EF折叠，使点B的对应点M落在边AD上（点M不与点A，D重合），点C落在点N处，MN与CD交于点P，折痕分别与边AB，CD交于点E，F，连接BM．
（1）求证：∠AMB=∠BMP；
（2）若DP=1，求MD的长．
三、拓展题
21．（2025·乐山）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：将一条线段AB分割成长、短两条线段AC、CB，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即CBAC=ACAB，则这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点C叫做线段AB的黄金分割点．
（1）【问题初探】
如图1，已知点C为线段AB的黄金分割点（AC＞BC），求黄金比．
解：设AB＝1，AC＝x，则CB＝1﹣x．
∵CBAC=ACAB，
∴⋯⋯
请补全以上解题过程；
（2）【问题再探】
如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，请作出AC的黄金分割点（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（3）【知识迁移】
如图3，点C为线段AB的黄金分割点（AC＞BC），分别以AC、BC为边在线段AB同侧作正方形ACDE和矩形CBFD，连结BD、BE．求证：△EAB∽△BCD；
（4）【延伸拓展】
如图4，在正五边形ABCDE中，对角线AD与BE交于点M．求证：点M是AD的黄金分割点．
22．（2024·青海） 综合与实践
顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形．数学兴趣小组通过作图、测量，猜想：原四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定性作用．
以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究．
【探究一】
如图1，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是各边的中点．
求证：中点四边形EFGH是平行四边形．
证明：∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，
∴EF、GH分别是△ABC和△ACD的中位线，
∴EF=12AC，GH=12AC（ ① ）
∴EF=GH．
同理可得：EH=FG．
∴中点四边形EFGH是平行四边形．
结论：任意四边形的中点四边形是平行四边形．
（1）请你补全上述过程中的证明依据 .
（2）【探究二】
从作图、测量结果得出猜想Ⅰ：原四边形的对角线相等时，中点四边形是菱形．
下面我们结合图2来证明猜想Ⅰ，请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程．
（3）【探究三】
从作图、测量结果得出猜想Ⅱ：原四边形对角线垂直时，中点四边形是 ．
（4）下面我们结合图3来证明猜想Ⅱ，请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程．
（5）【归纳总结】
请你根据上述探究过程，补全下面的结论，并在图4中画出对应的图形．
结论：原四边形对角线 时，中点四边形是 ．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：①对角线相等且互相平分的四边形是矩形，正确，故该命题是真命题；
②对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故原命题错误，是假命题；
③四边相等的四边形是菱形，故原命题错误，是假命题；
④四边相等的四边形是菱形，正确，故该命题是真命题.
故答案为：B.
【分析】根据矩形的判定定理可判断①；根据菱形的判定定理可判断②④；根据正方形的判定定理可判断③.
2．【答案】A
【知识点】坐标与图形性质；正方形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD的边长为5，AB边在y轴上，将正方形ABCD绕点O逆时针旋转90°，得到正方形 A'B'C'D'.
∴AB=BC=A'B'=B'C'=C'D'=5，A'B'在x轴上，A'B'//C'D'，
∵B(0，-2)，
∴B'(2，0)，C'(2，5)，
∴D'(-3，5)，
故答案为：A.
【分析】由正方形与旋转可得A'B'在x轴上，A'B'//CD'，结合B(0，-2)，可得B'(2，0)，C'(2，5)，进一步可得答案.
3．【答案】①③
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∠ADC＝90°
∴四边形ABCD是矩形，OB=OD
∵ AC⊥BD
∴∠AOB=∠AOD=90°
在△AOB与△AOD中，
AO=AO∠AOB=∠AOD=90°OB=OD
∴△AOB≅△AOD(SAS)
∴AB=AD
∴四边形ABCD是正方形
故答案填：①③
【分析】有一个角为直角的平行四边形是矩形，再通过证明△AOB≅△AOD得到对应边AB=AD，邻边相等的矩形就是正方形。
4．【答案】2(答案不唯一)
【知识点】无理数的估值；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵S正方形ABCD=10,S正方形GHIJ=1
∴CD=10，GH=1，
由图知1