28.与圆相关的计算——初中数学中考一轮分层训练（含答案解析）2026学年中考一轮复习

这是一份28.与圆相关的计算——初中数学中考一轮分层训练（含答案解析）2026学年中考一轮复习试卷主要包含了基础题，能力题，拓展题等内容，欢迎下载使用。
一、基础题
1．已知扇形的半径为3，圆心角为120°，则这个扇形的面积为（ ）
A．9πB．6πC．3πD．2π
2．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，正六边形的周长是12，则⊙O的半径是（ ）
A．1B．3C．2D．23
3．若一个正多边形的每一个内角的度数都是150°，则这个正多边形是( )
A．正九边形B．正十边形C．正十一边形D．正十二边形
4．如图，在矩形ABCD中，点E在对角线BD上，分别以点B和点D为圆心，线段BE、DE的长为半径画圆弧，若BC=BE=2，DE=1，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．25−5π4B．23−5π4C．25−3π4D．23−3π4
5．如图，在矩形ABCD中，边AB绕点B顺时针旋转到EB的位置，点A的对应点E落在CD边的中点，若CE=2，则点A旋转到点E的路径长为（ ）
A．23πB．43πC．83πD．233π
6．如图所示，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，将△ABC绕顶点B逆时针旋转40°后得到△DBE，点C经过的路径为CE，则图中阴影部分的面积为 ．
7．正六边形的每一个外角都是 °．
8． 一个多边形的每个内角都是108°，那么这个多边形是 ．
9．如图，已知AB是⊙O直径，C是⊙O上的点，点D在AB的延长线上，∠BCD=∠BAC．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若∠D=30°，BD=2，求图中阴影部分的面积．
二、能力题
10．如图，在直径BC为 22的圆内有一个圆心角为90°的扇形ABC.随机地往圆内投一粒米，该粒米落在扇形内的概率为（ ）
A．15B．14C．13D．12
11．如图，⊙O的内接正六边形ABCDEF的边长为1，则BD的长为（ ）
A．π4B．π3C．2π3D．π
12．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分别以点B，C为圆心、BC的长为半径画弧，与BA，CA的延长线分别交于点D，E.若BC=4，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．2π-4B．4π-4C．8π-8D．4π-8
13．如图，在 Rt△ABC中，∠A=35∘,∠ACB=90∘,CD是AB边上的中线，其中AB=2，以C为圆心，CD为半径画弧交AB于点E，则DE⏜的长为（ ）
A．19πB．29πC．1136πD．718π
14．如图，在菱形ABCD中，AB=2,∠B=120°，点O是对角线AC的中点，以点O为圆心，OA长为半径作圆心角为60°的扇形OEF，点D在扇形OEF内，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．π2−34B．π−34C．π2−14D．无法确定
15．如图，在正六边形ABCDEF中，AB=2，连接AC，AE，以点D为圆心、CD的长为半径作圆弧CE，则图中阴影部分的面积是 .
16． 已知一个扇形的圆心角为60°，其弧长为π3，则该扇形的面积为 ．
17．如图，在扇形AOB中，∠AOB=30°，OA=23，点C在OB上，且OC=AC．延长CB到D，使CD=CA．以CA，CD为邻边作平行四边形ACDE，则图中阴影部分的面积为 （结果保留π）．
18．我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”时的一个图形，AB所在圆的圆心为点O，四边形ABCD为矩形，边CD与⊙O相切于点E，连接BE,∠ABE=15°，连接OE交AB于点F．若AB=4，则图中阴影部分的面积为 ．
19．如图，正六边形ABCDEF的边长为4，中心为点O，以点O为圆心，以AB长为半径作圆心角为120°的扇形，则图中阴影部分的面积为 .
20．如图，C是圆O被直径AB分成的半圆上一点，过点C的圆O的切线交AB的延长线于点P，连接CA，CO，CB．
（1）求证：∠ACO＝∠BCP；
（2）若∠ABC＝2∠BCP，求∠P的度数；
（3）在（2）的条件下，若AB＝4，求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．
21．如图，四边形ABCD是平行四边形，以边AB为直径作⊙O，⊙O与边CD相切于点D．点E是⊙O上一点，连接AE，DE．
（1）试判断AD与AB的数量关系，并说明理由．
（2）若AB=10，∠ADE=60°，求AE的长．
22．如图，⊙O为正三角形ABC的外接圆，直线CD经过点C，CD∥AB．
（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若圆的半径为2，求图中阴影部分的面积．
23．如图，PA与⊙O相切于点A，AC为⊙O的直径，点B在⊙O上，连接PB，PC，且PA＝PB．
（1）连接OB，求证：OB⊥PB；
（2）若∠APB＝60°，PA＝23，求图中阴影部分的面积．
三、拓展题
24．绣球是广西民族文化的特色载体．如图，设计某种绣球叶瓣时，可以先在图纸上建立平面直角坐标系，再分别以原点O，O'(5,5)为圆心、以5为半径作圆，两圆相交于A,B两点，其公共部分构成叶瓣①（阴影部分），同理得到叶瓣②．
（1）写出A,B两点的坐标；
（2）求叶瓣①的周长；（结果保留π）
（3）请描述叶瓣②还可以由叶瓣①经过怎样的图形变化得到．
25．综合与实践
【主题】滤纸与漏斗
【素材】如1图所示：
①一张直径为10cm的圆形滤纸；
②一只漏斗口直径与母线均为7cm的圆锥形过滤漏斗.
【实践操作】
步骤1：取一张滤纸：
步骤2：按如2图所示步骤折叠好滤纸；
步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形；
步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如1图所示漏斗中.
【实践探索】
（1）滤纸是否能紧贴此漏斗内壁(忽略漏斗管口处)?用你所学的数学知识说明.
（2）当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥形的体积.（结果保留π)
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：根据扇形面积公式得：
Ｓ扇形＝120×π×32360=3π，
故答案为：C．
【分析】根据扇形面积公式S=nπr2360求解即可.
2．【答案】C
【解析】【解答】解：连接OB，OC，
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BOC=60°，
∵OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB=OC=BC，
∵正六边形的周长是12，
∴BC=2，
∴⊙O的半径是2
故答案为：C。
【分析】连接OB，OC，根据ABCDEF是正六边形，可得∠BOC=60°，进而可得△OBC是等边三角形，然后再根据等边三角形的性质，即可求出⊙O的半径。
3．【答案】D
【解析】【解答】解：360°÷(180°-150°)
=360°÷30°
=12.
故答案为：D.
【分析】先求出正多边形的一个外角的度数，再根据正多边形外角和的性质即可得出答案.
4．【答案】A
【解析】【解答】解：∵BC=BE=2，DE=1，
∴BD=BE+DE=2+1=3，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD=90°，
∴DC=BD2−BC2=32−22=5，
∴阴影部分的面为：2×5−π⋅124−π⋅224=25−5π4，
故答案为：A．
【分析】先求出BD的值，根据矩形的性质得∠BCD=90°，然后利用勾股定理求出DC的值，最后再根据阴影部分的面积为矩形面积减去两个扇形面积求解即可.
5．【答案】B
【解析】【解答】】解：在矩形ABCD中，AB=CD,∠ABC=∠C=90°，
∵边AB绕点B顺时针旋转到EB的位置，点A的对应点E落在CD边的中点，CE=2，
∴BE=AB=CD=2CE=4，
∴sin∠CBE=CEBE=12，
∴∠CBE=30°，
∴∠ABE=∠ABC−∠CBE=60°，
∴点A旋转到点E的路径AE长为60π×4180=43π，
故选：B．
【分析】本题主要对旋转的性质、弧长公式、锐角三角函数，正方形的性质进行考查．根据旋转的性质与正方形的性质可得到BE=AB=CD=2CE=4，∠ABE=60°，再根据弧长公式有AE=60π×4180=43π．
6．【答案】259π
【解析】【解答】解：根据旋转的性质得△ABC≌△DBE，∠EBC=40°，BE=BC，
∴S△DBE=S△ABC，
∴S阴影=S△DBE+S扇形CBE−S△ABC=S扇形CBE=40πBC2360=40π×52360=259π．
故答案为：259π．
【分析】 根据旋转的性质得△ABC≌△DBE，∠EBC=40°，BE=BC， 由全等三角形的面积相等得出S△DBE=S△ABC，利用割补法可得S阴影=S△DBE+S扇形CBE−S△ABC=S扇形CBE，从而根据扇形面积计算公式“s=nπr2360”列式计算即可得出答案.
7．【答案】60
【解析】【解答】
解： ∵正六边形的每一个外角都相等且和为360°
∴ 每一个外角360°6=60°
故答案为：60
【分析】根据正六边形得性质，和外角和为360°，计算即可解答.
8．【答案】五边形
【解析】【解答】解： ∵ 一个多边形的每个内角都是108°，
∴这个多边形的每个外角都是180-108=72°，
∴ 这个多边形 的边数是：36072=5.
故答案为：五边形。
【分析】首先根据邻补关系求出这个多边形的外角，进而根据多边形的外角和，即可求得多边形的边数。
9．【答案】（1）证明：如图，连接OC，
∵OA=OC，
∴∠BAC=∠OCA，
∵∠BCD=∠BAC，
∴∠BCD=∠OCA，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠OCA+OCB=∠BCD+∠OCB=90°
∴∠OCD=90°
∵OC是半径，
∴CD是⊙O的切线
（2）解：设⊙O的半径为r，
∴AB=2r，
∵∠D=30°，∠OCD=90°，
∴OD=2r，∠COB=60°
∴r+2=2r，
∴r=2，∠AOC=120°
∴BC=2，
∴由勾股定理可知：AC=23，
易求S△AOC=12×23×1=3
S扇形OAC=120π×4360=4π3，
∴阴影部分面积为4π3−3.
【解析】【分析】（1）连接OC，先证明∠BCD=∠OCA，再由直径所对的圆周角是90°，即可导出∠OCD=90°，进而证明出结论；
（2）先求出圆的半径和∠AOC的度数，再由弓形面积等于扇形OAC面积减去△AOC面积，即可解答.
10．【答案】D
【解析】【解答】解：已知圆的直径BC＝22，根据半径是直径的一半，可得圆的半径R=2。
∴该圆形的面积S=πR2=2π
∵∠BAC=90°
∴BC为小圆的直径
∴AB=AC
∴三角形BAC为等腰直角三角形
由三角函数可得r=AB=AC=2
∴扇形S=90r2360=π
由几何概率得P=S扇形S圆形=π2π=12
故答案为：D.
【分析】 先分别求出圆的面积和扇形的面积，再用扇形面积除以圆的面积得到米粒落在扇形内的概率。
11．【答案】C
【解析】【解答】解：如图，
连接OB、OC、OD，则：∠BOC＝360°6＝60°，OB=OC，
∴∆OBC为等边三角形，∠BOD=120°，
∴OB=OC＝BC=1，
∴BD⌢＝120π×1180=23π.
故答案为：C．
【分析】连接OB、OC、OD，则OB=OC，再根据圆内接正六边形的性质求出中心角∠BOC=60°，则∠BOD=120°，进一步得∆OBC为等边三角形即得OB=OC=BC=1，然后利用弧长公式即可得．
12．【答案】D
【解析】【解答】解：
∵∠BAC=90°，AB= AC，
∴∠ABC=∠ACB =45°，
∵ BC=4，
∴AB= AC=22 BC=22，
∴S阴=2（S扇形BCD−S∆ABC）=2(45π×42360−12×22×22)=4π−8 ，
故答案为：D.
【分析】根据等腰直角三角形的性质可得∠ABC=∠ACB =45°，即可由勾股定理算出AB= AC=22，再根据S阴=2（S扇形BCD−S∆ABC），计算即可解答.
13．【答案】B
【解析】【解答】解：∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线、AB=2
∴DC=DA=12AB=1
∴∠DCA=∠A=35°
∴∠CDE=∠A+∠DCA=70°
∵CD=CE
∴∠CED=∠CDE=70°
∴∠DCE=180°−2∠CDE=180°−140°=40°
∴DE⏜=40π×1180=29π
故选：B.
【分析】先由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得DC=DA=1，再由等边对等角得∠DCA=∠A=35°，再由三角形的外角性质可得∠CDE=70°，又由尺规作图得CD=CE，则∠CED=∠CDE=70°，再由三角形内角和得∠DCE=40°，最后再应用弧长公式直接计算即可.
14．【答案】A
【解析】【解答】解：如图，连接OD，将OD绕点O顺时针旋转60°得到OD'．
∵∠MOD+∠DON=∠NOD'+∠DON=60°，
∴∠MOD=∠NOD'，
∵在菱形ABCD中，点O是对角线AC的中点，∠B=120°，
∴∠ADC=∠B=120°，OD⊥AC，
∴∠MDO=∠COD=12∠ADC=60°，
∵∠DOD'=60°，
∴∠DD'O=60°，
∴∠DD'O=∠MDO=60°，
∵OD=OD，
∴△MDO≌△ND'OASA，
∴S四边形MDNO=S△DD'O．
∵∠CDO=60°，
∴DO=CD⋅cs∠CDO=12CD=12AB=1,AO=CO=CD⋅sin∠CDO=32CD=32AB=3，
∴S阴影=S扇形EOF−S四边形MDNO=S扇形EOF−S△DOD'=60π×(3)2360−=34×12=π2−34．
故选：A．
【分析】
连接OD，则由菱形的性质知∠ADO=∠CDO=12∠ADC=60°，∠DCO=12∠BCD=30°、∠DOC=90°，则OD=12CD，取CD中点D`，则△DOD'是等边三角形，则∠DOD'=∠DD'O=60°，又已知∠MON=60°，则∠DOM=∠D'ON，则可证△MDO≌△ND'O，即推出S四边形MDNO=S△DD'O，则S阴影=S扇形EOF−S△DOD'，下来分别求出扇形EOF和等边△DOD'的面积即可．
15．【答案】43−4π3
【解析】【解答】解：连接AD，
∵正六边形ABCDEF，
∴DC=DE=AB=BC=2，∠B=∠CDE=∠BCD=120°，∠ADC=∠ADE=12∠CDE=60°，
∴∠BAC=∠ACB=12（180°-∠B）=12（180°-120°）=30°，
∴∠ACD=∠BCD-∠ACB=120°-30°=90°，
∴AC=CDtan∠ADC=2tan60°=23，
在△ACD和△AED中
CD=DE∠ADC=∠ADEAD=AD
∴△ACD≌△AED（SAS）
∴S△ACD=S△AED，
∴S阴影部分=2S△ACD-S扇形CDE，
∴S阴影部分=2×12AC·CD−120π×2360=2×12×23×2−120π×22360=43−4π3
故答案为：43−4π3.
【分析】连接AD，利用正六边形的性质可证得DC=DE=AB=BC=2，∠B=∠CDE=∠BCD=120°，同时可证得∠ADC=∠ADE=60°，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求出∠ACB的度数，即可证得∠ACD=90°，利用解直角三角形求出AC的长，再利用SAS可证得△ACD≌△AED，利用全等三角形的性质可推出S△ACD=S△AED，然后根据S阴影部分=2S△ACD-S扇形CDE，利用三角形和扇形的面积公式进行计算.
16．【答案】π6
【解析】【解答】解：设该扇形的半径为r，
∵一个扇形的圆心角为60°，其弧长为π3，
∴60πr180=π3
∴r=1
∴该扇形的面积为60π×12360=π6
故答案为：π6 .
【分析】设该扇形的半径为r，由弧长公式求出r=1，再由扇形面积公式计算即可得解.
17．【答案】33−π
【解析】【解答】
解：如图，过点A作AH⊥OD于点H，
∵∠AOB=30°， 0A=23
∴AH=12OA=3，
∵OC=AC， .
∴∠OAC=∠AOB=30°，
∴∠ACB=30°+30°=60° ，
∴∠CAH=30° ，
∴AC=2CH，
设CH=x，则AC=2x，
在△ACH中，由勾股定理得，
x2+ (3)2= (2x)2，
解得x=1 (取正值) ，
即CH=1，AC=2，
∴CD=CA=OC=2，
∴S阴影部分=S∆AOC+S▱ACDE−S扇形OAB，
=12×2×3+2×3−30π×(23)2360=33−π，
故答案为：33−π.
【分析】过点A作AH⊥OD于点H，先根据30° 直角三角形的性质得到AH的值，推导出AC=2CH，设CH=x，则AC=2x，利用勾股定理计算出x的值，再根据S阴影部分=S∆AOC+S▱ACDE−S扇形OAB， 计算即可解答.
18．【答案】4π3−23
【解析】【解答】解：∵CD与⊙O相切
∴OE⊥CD
∵四边形ABCD是矩形
∴AB∥CD
∴OE⊥AB
∴AF=BF=12AB=2、∠AOB=2∠AOE=2×2∠BAE=60°
∵OA=OB
∴△AOB是等边三角形
∴OA=AB=4、∠OAB=∠AOB=60°
∴OF=OA·cs∠OAF=4×32=23
∴S△OAB=12AF·AB=12×23×4=43
∴S扇形OAB=60π×42360=8π3
∴S阴影=S扇形AOB−S△OAB2=8π3−432=4π3−23
故答案为：4π3−23.
【分析】先由切线的性质知OE垂直CD，由于矩形的对边平行，则OE垂直AB，由垂径定理得OE垂直平分AB，即AF=2，弧AE等于弧BE，再由圆周角定理可得∠AOB等于∠ABE的4倍即60°，由于半径都相等，可判定△AOB是等边三角形，即AO=AB=4，∠OAB=60°，再解Rt△OAF求出OF，则扇形AOB和△AOB的面积均可求得，则阴影部分面积是弓形AEB面积的一半，利用割补法求解即可.
19．【答案】16π3−83
【解析】【解答】解：如图所示，过点O作AB的垂线段OG，连接OA、OB、OE.
∵六边形ABCDEF是正六边形
∴∠AOB=∠OEF=∠OAF=60°、OA=OB=OE、∠AOE=∠AFE=120°
∵∠MON=120°=∠AOE
∴∠AON=∠EOM
∴△AON≅△EOMASA
∴S△AON≅S△EOM
∴S五边形ANOMF=S四边形AOEF=13S正六边形ABCDEF
∵△AOB是等边三角形
∴OB=AB=4、∠OBA=60°
∵sin∠OBA=OGOB=32
∴OG=OB×32=23
∴S正六边形ABCDEF=6×12×4×23=243
∴S五边形ANOMF=S四边形AOEF=13S正六边形ABCDEF=83
∵S扇形=120π×42360=163π
∴S阴影=S扇形−S四边形AOEF=163−83
故答案为：16π3−83.
【分析】由于正六边形的中心角是60°，因此△AOB是等边三角形，过点O作AB的垂线段OG，则解Rt△BOG可得OG=23，则正六边形ABCD的面积为243；观察图形得阴影部分面积等于扇形面积减去五边形ANOMF的面积，此时连接OA、OE，可利用ASA证明△AON≅△EOM，则五边形ANOMF的面积可转化为四边形AOEF的面积，显然四边形AOEF的面积等于正六边形ABCDEF的面积的13，即阴影部分面积可得.
20．【答案】（1）证明：∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CP是半圆O的切线，
∴∠OCP＝90°，
∴∠ACB＝∠OCP，
∴∠ACO＝∠BCP；
（2）解：由（1）知∠ACO＝∠BCP，
∵∠ABC＝2∠BCP，
∴∠ABC＝2∠ACO，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠A，
∴∠ABC＝2∠A，
∵∠ABC+∠A＝90°，
∴∠A＝30°，∠ABC＝60°，
∴∠ACO＝∠BCP＝30°，
∴∠P＝∠ABC﹣∠BCP＝60°﹣30°＝30°，
答：∠P的度数是30°；
（3）解：由（2）知∠A＝30°，
∵∠ACB＝90°，
∴BC＝12AB＝2，AC＝3BC＝23，
∴S△ABC＝12BC•AC＝12×2×23＝23，
∴阴影部分的面积是12π×(AB2)2﹣23＝2π﹣23，
答：阴影部分的面积是2π﹣23．
【解析】【分析】（1）根据切线的性质和直径所对的直角相等得到∠ACB＝∠OCP，根据等交的余角相等即可得到结论；
（2）根据∠ABC＝2∠BCP，可以得到∠ABC＝2∠A，即可得到∠A＝30°，∠ABC＝60°，解题即可；
（3）根据30°的直角三角形的性质得到BC＝12AB＝2，AC＝3BC，然后求出S△ABC，再利用阴影部分的面积等于半圆面积减去S△ABC解题即可．
（1）∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CP是半圆O的切线，
∴∠OCP＝90°，
∴∠ACB＝∠OCP，
∴∠ACO＝∠BCP；
（2）由（1）知∠ACO＝∠BCP，
∵∠ABC＝2∠BCP，
∴∠ABC＝2∠ACO，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠A，
∴∠ABC＝2∠A，
∵∠ABC+∠A＝90°，
∴∠A＝30°，∠ABC＝60°，
∴∠ACO＝∠BCP＝30°，
∴∠P＝∠ABC﹣∠BCP＝60°﹣30°＝30°，
答：∠P的度数是30°；
（3）由（2）知∠A＝30°，
∵∠ACB＝90°，
∴BC＝12AB＝2，AC＝3BC＝23，
∴S△ABC＝12BC•AC＝12×2×23＝23，
∴阴影部分的面积是12π×(AB2)2﹣23＝2π﹣23，
答：阴影部分的面积是2π﹣23．
21．【答案】（1）解：AB=2AD，理由：
连接OD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∵⊙O与边CD相切于点D，
∴CD⊥OD，
∴OD⊥AB，
∴∠AOD=90°，
∵OA=OD，
∴OA=22AD，
∴AB=2AD．
（2）解：连接OE，
∵∠ADE=60°，
∴∠AOE=120°，
∵AB=10，
∴OA=5，
∴AE=120π×5180=10π3．
​​​​​​​
【解析】【分析】（1）连接OD，根据平行四边形性质可得AB∥CD，再根据切线性质可得∠AOD=90°，再根据等腰直角三角形性质即可求出答案.
（2）连接OE，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠AOE=120°，根据垂径定理可得OA=5，再根据弧长公式即可求出答案.
（1）AB=2AD，理由：
连接OD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∵⊙O与边CD相切于点D，
∴CD⊥OD，
∴OD⊥AB，
∴∠AOD=90°，
∵OA=OD，
∴OA=22AD，
∴AB=2AD．
（2）连接OE，
∵∠ADE=60°，
∴∠AOE=120°，
∵AB=10，
∴OA=5，
∴AE=120π×5180=10π3．
22．【答案】（1）直线CD与⊙O的位置关系是相切，
理由：连接OC，OB，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠A=60°，
∵BC⏜=BC⏜
∴∠BOC=2∠A=120°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=12（180°-120°）=30°，
∵AB∥CD，
∴∠BCD=∠ABC=60°，
∴∠OCD=∠OCB+∠BCD=30°+60°=90°，
∴OC⊥CD，
∵OC是半径，
∴ 直线CD与⊙O的位置关系是相切
（2）解：过点O作OE⊥BC于点E，
∴∠OEB=90°，BC=2BE，
在Rt△OBE中，OE=12OB=1，BE=OBcs∠OBE=2×cs30°=2×32=3，
∴BC=23，
∴S阴影部分=S扇形BOC-S△BOC=120π×22360−12×23×1=4π3−3
【解析】【分析】（1）连接OC，OB，利用等边三角形的性质可求出∠ABC、∠A的度数，利用圆周角定理可求出∠BOC的度数，再利用等边对等角及三角形内角和定理可求出∠OBC和∠OCB的度数，由此可求出∠OCD的度数，然后利用切线的判定定理可证得结论.
（2）过点O作OE⊥BC于点E，利用垂径定理可证得BC=2BE，在Rt△OBE中，利用解直角三角形分别求出OE、BE的值，可得到BC的长，然后根据S阴影部分=S扇形BOC-S△BOC，利用扇形和三角形的面积公式进行计算即可.
23．【答案】（1）证明：如图，连接OP，
∵PA与⊙O相切，
∴OA⊥PA，
∴∠OAP=90°，
在△AOP和△BOP中，
OA=OBPA=PBOP=OP，
∴△AOP≅△BOPSSS，
∴∠OBP=∠OAP=90°，
∴OB⊥PB
（2）解：如图，连接BC，
∵∠OBP=∠OAP=90°，∠APB=60°，
∴∠AOB=120°，
∴∠COB=60°，
∵OB=OC，
∴△BOC为等边三角形，
∴∠OCB=60°，
由（1）得△AOP≅△BOP，
∴∠AOP=∠BOP=12∠AOB=60°，
∴∠AOP=∠OCB，
∴OP∥BC，
∴S△PCB＝S△OCB，
∵PA=23，tan∠AOP=tan60°=PAOA=3，
∴OA=PA3=233=2，
∴S阴影=S扇形OCB=60π×22360=23π
【解析】【分析】（1）连接OP，根据切线的性质得∠OAP=90°，然后证明△AOP≅△BOPSSS，得∠OBP=∠OAP=90°，即可得证结论；
（2）连接BC，先求出∠AOB=120°，从而得∠COB=60°，进而证明△BOC为等边三角形，于是得∠OCB=60°，然后由（1）中的全等三角形得到∠AOP=∠BOP=60°，则∠AOP=∠OCB，即可证明OP∥BC，得到S△PCB＝S△OCB，接下来解直角三角形求出OA=2，利用扇形面积公式得到S阴影=S扇形OCB的值.
24．【答案】（1）解：∵以原点O，O'(5，5)为圆心、以5为半径作圆，两圆相交于A,B两点
∴OA=OB=O'A=O'B=5
∴OAO'B是正方形
∴∠AOB=OBO'=BO'A=O'AO=90°
∴A(0,5),B(5,0)
（2）解：∵原点O，O'(5，5)为圆心、以5为半径作圆
∴两个圆是等圆
∵∠AOB=AO'B=90°
∴叶瓣①的周长为：2π×OA×90°360°×2=5π；
（3）解：叶瓣②还可以由叶瓣①逆时针旋转90°得到．
【解析】【分析】（1）由题意可得OA=OB=O'A=O'B=5，根据正方形判定定理可得OAO'B是正方形，则∠AOB=OBO'=BO'A=O'AO=90°，即A(0,5),B(5,0)，即可求出答案.
（2）由题意可得两个圆是等圆，再根据弧长公式即可求出答案.
（3）根据旋转性质即可求出答案.
25．【答案】（1）解：漏斗形成的圆锥形展开侧面图为扇形，
其圆心角度数=7π2×7π×360°=180°，
滤纸折叠后圆心角度数为360°÷2=180°，
此时，滤纸所对展开图圆心角与漏斗展开图圆心角相等，故滤纸能紧贴此漏斗内壁.
（2）解：∵滤纸折叠后所对圆心角为180°，此时形成的底面圆形周长为：
180°360°×2πR=12×2π×5=5π.，
即圆锥底面半径r=5π2π=52，
又∵滤纸母线长为5 cm，
此时由勾股定理得，圆锥高h=52−522=532，
∴圆锥体积V=13×πr2ℎ=13×π×522×532=125324π.
答：滤纸围成的圆锥形体积为125324π.
【解析】【分析】（1）将圆锥是否能贴紧内壁问题转化为求圆锥侧面展开图圆心角是否相等，代入公式计算并比较得出结果；
（2）为求圆锥体积，进一步转换利用勾股定理求出圆锥的高，代入公式即可.