【名师导航】2026年中考数学一轮复习专题6.6 圆的相关计算（全国通用版）练习（原卷版）

这是一份【名师导航】2026年中考数学一轮复习专题6.6 圆的相关计算（全国通用版）练习（原卷版）
知识梳理
【考点一】圆的周长
通过操作和计算，我们发现圆的周长都是直径的固定的倍数，我们把这个倍数叫做圆周率，用字母π表示，
π读作“pai”；圆周率π是个无限不循环小数，π≈3.14．
圆的周长÷直径＝圆周率．
用字母C表示圆的周长，d表示直径，r表示半径，那么：C=πd或C=2πr．
【考点二】 弧长公式
1. 弧的概念：
圆上两点之间的部分称为弧，它是圆的一部分.
圆任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫作半圆.
我们把小于半圆的弧叫作劣弧，把大于半圆的弧叫作优弧.
2. 弧长公式：在半径为R的圆中，因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C=2πR，所以1°的圆心角所对的弧长是2πR360，即πR180，于是n°的圆心角所对的弧长为l=n360⋅2πR=nπR180，弧长为l的弧所对的圆心角为n=180lπR度．
【考点三】 扇形的面积公式
1. 扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形．
2. 扇形面积公式：在半径为R的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积S=πR2，所以圆心角是1°的扇形面积是πR2360，于是圆心角为n°的扇形面积是S扇形=nπR2360，还可以用弧长表示扇形面积S扇形=12lR，其中l为扇形的弧长．
【考点四】 圆锥的侧面积和全面积
1. 圆锥的母线：连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．
2. 圆锥的高：连接圆锥顶点和底面圆心的线段叫做圆锥的高．
3. 圆锥的基本特征
（1）圆锥的轴通过底面圆心，并垂直于底面．
（2）圆锥的母线长都相等．
（3）圆锥可以看作是由一个直角三角形绕一条直角边所在的直线旋转而成的图形，所以圆锥的母线l，圆锥的高h，圆锥的底面半径r恰好构成一个直角三角形．
4. 圆锥的侧面积和全面积：母线长为l，底面圆的半径为r的圆锥的侧面积S侧=πrl．全面积就是它的侧面积与它的底面积之和，即S全=πrl+πr2．
例题讲解
【题型一】圆的周长的计算
◇典例1：
如图，一台压路机的前轮直径是1.5m，如果前轮每分钟转动6周，压路机每分钟前进（ ）m
A．28.26B．56.52C．9
◆变式训练
1.小丽要用圆规画一个周长是15.7cm的圆，圆规两脚间应该量取的距离是（ ）cm．（π取3.14）
A．15.7B．5C． 2.5D．3.14
2.杂技艺术在我国已有2000多年的历史．一名杂技演员在一根悬空的钢丝绳上骑独轮车，车轮的半径是30cm，从钢丝绳的一端到另一端，车轮正好转动20周．这名杂技演员骑独轮车在钢丝绳上行驶了多少米？
【题型二】利用弧长公式求弧长
◇典例2：
如图，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A，C，AD为⊙O的弦，连接BD，∠A=∠B=30°．
(1)求证：直线BD是⊙O的切线；
(2)已知BC=2，求DC的长（结果保留π）．
◆变式训练
1.西安“不倒翁小姐姐”再次让全国人民领略了大唐的风采，同时催生了众多富有文化特色的文创产品（如图①），图②是从正面看到该不倒翁的形状示意图（设圆心为O）．已知不倒翁的边缘PA，PB分别与⊙O相切于点A，B．若该圆的半径是3cm，∠P=60°，则AMB的长是（ ）
A．6πcmB．4πcmC．3πcmD．2πcm
2.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(−4,0)，B(0,2)，D(4,0)，且点B，C在AD上．若∠BAC=22.5°，则BC的长为 ．
【题型三】利用弧长公式求长度
◇典例3：
如图，PM切⊙O于点P，弦PQ∥OM，若∠OMP=30°，劣弧PQ的弧长为π3，则线段OM的长为( )
A．1B．2C．3D．π
◆变式训练
1.如图1，这是中国古建筑中的正六边形窗户设计图，图2是由其抽象而成的正六边形ABCDEF，⊙O是它的外接圆，连接OC，OD，作OG⊥CD．若劣弧CD的长为23π，则OG= ．
2.如图为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，如图2马面裙可以近似地看作扇环，其中AD长度为25π米，BC长度为1115π米，圆心角∠AOD=60°，则裙长AB为 米．
【题型四】利用弧长公式求圆心角
◇典例4：
小明陪弟弟玩积木的时候，发现放在同一水平面上的两个积木的横截面分别是以MN=20 cm为直径的半圆O和边长为4 cm的正方形ABCD，P，Q分别为半圆O上的点，如图1所示，此时半圆O与水平面恰好切于点P，AP=12 cm，延长CD与半圆O分别交于点E，F．将半圆O向右无滑动滚动，使点D落在半圆O上，此时半圆O与水平面恰好切于点Q，如图2所示．
(1)在图1中，求弦EF的长；
(2)在图2中，求PQ所对的圆心角度数；（结果保留π）
◆变式训练
1.一个扇形的弧长是65π cm，半径是6cm，则此扇形的圆心角是 度．
2.一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的直径是8cm，当重物上升2π cm时，滑轮的一条半径OA绕轴心O按逆时针方向旋转的角度为（ ）
A．60°B．90°C．120°D．180°
【题型五】求某点的弧形运动路径长度
◇典例5：
如下图，等边△ABC的边长为2，△ABC在直线l上绕其右下角的顶点C顺时针旋转120°至图①位置，再绕右下角的顶点继续顺时针旋转120°至图②位置，…，以此类推，这样连续旋转9次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是 ．
◆变式训练
1.如图，将等边△ABC的边AC逐渐变成以B为圆心、BA为半径的AC，长度不变，AB、BC的长度也不变，则∠ABC的度数大小由60°变为（ ）

A．（60π）°B．（90π）°C．（120π）°D．（180π）°
2.如图①，是一底面为正方形的石凳，其底面边长为30cm，图②是其底面示意图，工人在没有滑动的情况下，将石凳绕着点A在地面顺时针旋转，当旋转60°时，点C在地面划出的痕迹长为（ ）
A．10πcmB．102πcmC．103πcmD．20πcm
【题型六】利用扇形面积公式求面积
◇典例6：
图1为人行通道扇形闸门，图2为其上半部分的平面示意图．闸门关闭状态时，扇形AMC与扇形BNC相交于点C，且两扇形的半径分别是矩形AMNB的两对边AM和BN．已知MN=60cm，圆心角∠AMC=∠BNC=30°，则扇形AMC的面积等于 cm2．（结果保留π）
◆变式训练
1.如图，AB为⊙O的直径，⊙O的切线CE交BA的延长线于点E，点D在BC上，AC=BD，连接AC，BC，AD．
(1)如图1，求证：∠CEA=∠CAD；
(2)如图2，若∠CEB=2∠CBE，OE=52，求扇形BOD的面积．
2.如图，正五边形和正六边形有公共边AB=5cm．以点A为圆心，AB为半径画圆．则扇形ACD的面积为 ．
【题型七】求弓形面积
◇典例7：
如图，矩形ABCD中，AB=42，AD=2，以AB为直径作半圆O，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．4π−8B．2π−4C．43π−83D．23π−43
◆变式训练
1.如图，分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以三角形边长为半径画弧，得到的封闭图形是“勒洛三角形”，若等边三角形的边长AB=2，则“勒洛三角形”与等边△ABC围成阴影部分的面积等于 （结果保留π）．
2.家庭折叠型餐桌两边翻开后成圆形桌面（如图①），餐桌两边AB和CD平行且相等（如图②），小华用皮尺量出BD=1米，BC=0.5米，则阴影部分的面积为（ ）

A．π12−38平方米B．π6−38平方米C．π12−34平方米D．π6−34平方米
【题型八】求图形旋转后扫过的面积
◇典例8：
如图，在平面直角坐标系中，ΔABC的顶点坐标分别是A0,4，B0,2，C3,2．
(1)将ΔABC以O为旋转中心旋转270°，画出旋转后对应的ΔA1B1C1；并求出AC边旋转扫过的面积．
(2)将ΔABC平移后得到ΔA2B2C2，若点A的对应点A2的坐标为2,2，求ΔA1C1C2的面积．
◆变式训练
1.如图，在等腰直角三角形ABC中，直角边长是2，若将此三角形绕直角顶点C顺时针旋转90°，那么斜边AB扫过的面积为（ ）
A．πB．32π−2C．2πD．2π−2
2.当汽车在雨天行驶时，为了看清道路，司机要启动前方挡风玻璃上的雨刷器．如图所示是某汽车的一个雨刷器示意图，雨刷器杆OM与雨刷AB在M处固定连接（不能转动），若测得AO=80cm，BO=20cm，当杆OM绕点O转动90°时，雨刷AB扫过的面积是（ ）
A．1600πcm2B．1500πcm2C．900πcm2D．800πcm2
【题型九】不规则图形的面积计算
◇典例9：
如图，AB是⊙O的直径，C，E是⊙O上两点，AC平分∠BAE，CD⊥AE交AE的延长线于点D．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若AE=BC=2，求图中阴影部分的面积．
◆变式训练
1.如图，在扇形AOB中，∠AOB=30°，OA=23，点C在OB上，且OC=AC．延长CB到D，使CD=CA．以CA，CD为邻边作平行四边形ACDE，则图中阴影部分的面积为 （结果保留π）．
2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点O在边AB上，OA=22，以O为圆心，OA长为半径作半圆，恰好与BC相切于点D，交AB于点E，则阴影部分的 ．
【题型十】求圆锥的侧面积
◇典例10：
如图所示，矩形纸片ABCD中，AD=12cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的底面和侧面，则圆锥的侧面积为 ．
◆变式训练
1.如图，BC为圆锥底面直径，AD为圆锥的高，若AD=5cm，∠BAC=60°，则这个圆锥的侧面积为 cm2（结果保留π）．
2.如图，物体由两个圆锥组成，其主视图中，∠C=60°，∠ABC=105°，若上面圆锥的侧面积为5，则下面圆锥的侧面积为（ ）
A．10B．53C．152D．52
【题型十一】不求圆锥底圆的半径
◇典例11：
如图所示的扇形中，半径R=10，圆心角θ=144°，用这个扇形围成一个圆锥的侧面．
（1）则这个圆锥的底面半径r= ．
（2）这个圆锥的高ℎ= ．
◆变式训练
1.将母线为4 cm的扇形围成一个圆锥的侧面，若扇形的圆心角是120°，则该圆锥底面圆的半径为 cm．
2.如图，正方形ABCD的边长为6，以点B为圆心，BC的长为半径画圆，则正方形ABCD的中心在⊙B （填“内”“上”或“外”）；若将图中阴影部分剪下来围成圆锥，则圆锥的底面直径为 ．
【题型十二】求圆锥的高
◇典例12：
如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为72°的扇形，若扇形的半径R是5，则该圆锥的高是（ ）
A．43B．21C．33D．26
◆变式训练
1.将一个圆锥的侧面沿一条母线剪开，其展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的高为 ．
2.在一个边长为4cm正方形里作一个扇形（如图所示），再将这个扇形剪下卷成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为（ ）cm

A．532B．15C．7D．13
【题型十三】求圆锥母线长
◇典例13：
如图，点C为扇形AOB的半径OB上一点，将△OAC沿AC折叠，点O恰好落在AB上的点D处，且lBD:lAD=1:3，若将此扇形OAB围成一个圆锥，则圆锥的底面半径与母线长的比为（ ）
A．1:3B．1:πC．1:4D．2:9
◆变式训练
1.已知圆锥的侧面展开图的弧长为6πcm，圆心角为216°，则此圆锥的母线长为_______cm．（ ）
A．5B．6C．8D．10
2.某兴趣小组制作了一个圆锥模型，若此圆锥模型的侧面积是底面积的3倍，底面半径为20cm，则母线长为 cm．
【题型十四】圆锥与最短距离
◇典例14：
如图圆锥的横截面△ABC，BC=4cm，AB=AC=6cm，一只蚂蚁从B点沿圆锥表面到母线AC去，则蚂蚁行走的最短路线长为（ ）cm
A．3B．23C．3D．33
◆变式训练
1.如图1，等腰三角形ABC中，当顶角∠A的大小确定时，它的对边（即底边BC）与邻边（即腰AB或AC）的比值他就确定了，我们把这个比值记作T(A)，即T(A)=∠A的对边(底边)∠A的邻边(腰)=BCAC，当∠A=60°时，如T60°=1．
(1)T90°=__________，T120°=__________，T(A)的取值范围是__________；
(2)如图2，圆锥的母线长为18，底面直径PQ=14，一只蚂蚁从点P沿着圆锥的侧面爬行到点Q，求蚂蚁爬行的最短路径长．（精确到0.1，参考数据：T140°≈1.88，T70°≈1.15，T35°≈0.60）
2.如图，AB是圆锥底面的直径，AB=6cm，母线PB=9cm．点C为PB的中点，若一只蚂蚁从A点处出发，沿圆锥的侧面爬行到C点处，则蚂蚁爬行的最短路程为 ．
【题型十五】求圆锥的全面积
◇典例15：
如图，有一张半径为18cm的圆形制片，打算从这张纸片上裁剪出一个扇形，用它制作圆锥的侧面，再用剩下的部分剪出一个最大的圆，作为这个圆锥的底面，则制作出的圆锥的表面积为 cm2（结果保留π）．
◆变式训练
1.圆锥的底面直径是60cm，母线长80cm，则圆锥的全面积为
2.如图，已知扇形AOB的半径为6cm，圆心角的度数为120°，若将此扇形围成一个圆锥，求：
(1)围成的圆锥的侧面积．
(2)围成的圆锥的全面积．
真题在线
一、单选题
1．（2025·四川广安·中考真题）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若圆锥的母线长为5，则该圆锥的底面圆的半径为（ ）
A．B．C．D．5
2．（2025·云南·中考真题）若一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为，母线长为，则该圆锥的底面圆的半径为（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·黑龙江大庆·中考真题）一个圆锥的底面半径为3，高为2，则它的体积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·江苏无锡·中考真题）已知圆弧所在圆的半径为6，该弧所对的圆心角为，则这条弧的长为（ ）
A．B．C．D．
5．（2025·山东·中考真题）在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征．下图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成．已知内切圆的半径是2，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．B．C．D．
6．（2025·山东东营·中考真题）小华用铁皮制作一个烟囱帽，烟囱帽的三视图如图所示，已知主视图和左视图均为边长是的等边三角形，则所需铁皮面积（接缝面积忽略不计）为（ ）
A．B． C．D．
7．（2025·山西·中考真题）如图，在中，，分别以点为圆心、的长为半径画弧，与的延长线分别交于点．若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
8．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，直线，直线分别交于点A、B，以为圆心，长为半径画弧，分别交于直线同侧的点，，，则的长等于（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
9．（2025·江苏盐城·中考真题）已知圆锥的侧面积为，母线长为5，则圆锥的底面半径是 ．
10．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）一个扇形的弧长是，半径是，则此扇形的圆心角是 ．
11．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，圆锥的底面圆心为，顶点为，母线长为，母线与高的夹角为，那么圆锥侧面展开图的面积为 ．
12．（2025·山东青岛·中考真题）如图，在扇形中，，，点在上，且．延长到，使．以，为邻边作平行四边形，则图中阴影部分的面积为 （结果保留）．
三、解答题
13．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，扇形为某运动场内的投掷区，所在圆的圆心为O、A、B、N、O在同一直线上．直线与所在相切于点．此时测得；从点处沿方向前进8.0米到达B处．直线与所在相切于点，此时测得．（参考数据：）
(1)求圆心角的度数；
(2)求的弧长（结果精确到米）．
14．（2025·山东潍坊·中考真题）图是某摩天轮的实景图．摩天轮可视作半径为米的，其上的某个座舱可视作上的点，座舱距离地面的最低高度为米，地面上的观察点到点的距离为米，平面示意图如图所示．
(1)当视线与相切时，求点处的座舱到地面的距离；
(2)已知摩天轮匀速转动一周需要分钟，当座舱距离地面不低于米时，在座舱中观赏风景的体验最佳，点处的座舱随摩天轮匀速转动一周的过程中，求该座舱中乘客最佳观赏风景的时长，并求这段时间内该座舱经过的圆弧的长．
（以上结果均保留小数点后一位数字，参考数据：，，，，）
15．（2025·江苏南京·中考真题）某纸杯的尺寸（单位：）如图（1）所示，展开它的侧面得到扇环纸片（可以看作扇形纸片剪去扇形纸片后剩余的部分）．
(1)的长为____________，____________；
(2)记表示两边长分别为，（，单位：）的矩形纸片的大小．
①图（2）是可以剪出扇环纸片的一张矩形纸片，它的一边与相切，点，在对边上，点，分别在另外两边上，直接写出，的值；
②用一张的矩形纸片可以剪出扇环纸片吗？说明理由；
③若一张的矩形纸片可以剪出扇环纸片，写出求的范围的思路（无需算出最终结果）．
专项练习
一、单选题
1．如图，是的内接三角形，．若的半径为3，则劣弧的长为（ ）
A．B．C．D．2π
2．物理课上，同学们观察了小球的摆动，如图所示，小球的运动路线为（小球的大小不计），若绳长，则的长是（ ）
A．B．C．D．
3．若一个圆锥的母线长为，它的底面半径为，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为（ ）
A．B．C．D．
4．“云南十八怪”有一怪“斗笠当锅盖”，是指云南竹林较多，许多用具以竹子为原料，而锅盖就形似于内地的斗笠，而且用此做锅盖，透气保温，做出来的饭菜更加清香．已知斗笠锅盖可以近似看作一个圆锥，若一个斗笠锅盖的底面直径为，高度为，则该斗笠锅盖的侧面积大约为（ ）．
A．B．C．D．
5．“云南十八怪，草帽当锅盖”，如图草帽锅盖下宽上窄，呈圆锥状．已知圆锥的底面直径为，母线长为，则此草帽锅盖的侧面积约是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，扇子上的精美图案是兴仁市某校学生在社团课上利用蜡染制作的，扇形完全打开后，扇面（即扇形）的面积为，竹条，的长均为，、分别为、的中点，则的长为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，圆内接正三角形的边长为，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分面积为（ ）
A．B．C．D．
8．中国邮政集团公司曾发行《二十四节气》特殊版式小全张（图1），其中的24枚邮票大小相同，绘制了代表二十四节气风貌的图案，这24枚邮票组成了一个圆环，传达了四季周而复始、气韵流动的理念和中国传统文化中圆满、圆融的概念，以“大雪”节气单枚邮票为例（图2），记该邮票的“上圆弧”的长为，“直边长”为，“下圆弧”的长为，则可用含l，d的式子表示为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，是边长为的等边三角形的外接圆，点D是弧的中点，连接，，以点D为圆心，的长为半径在内画弧，则阴影部分的面积为（ ）．
A．B．C．D．
10．如图，在中，，．将绕点逆时针旋转一定角度后得到，其中点的对应点落在边上，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．如图化学实验课上，化学教师要用扇形纸片制作一个漏斗滤纸（圆锥的侧面），已知滤纸底面半径为，母线长为，则需要的扇形纸片的面积为 ．
12．在东方传统建筑中，瓦片（如图1）是屋顶的必备用材，其横截面是一段如图2所示的弧（），点O是这段弧所在圆的圆心，若，，则的长是 ．（结果保留π）
13．如图，扇形是圆锥的侧面展开图，且扇形半径，圆心角，则此圆锥的高 ．
14．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有关屋内墙角处放谷堆的数学问题：墙角处所放谷堆为一个圆锥的四分之一（如图），谷堆底部的半径为4尺，谷堆的高为5尺，需要用布盖住谷堆，那么所需的布的面积至少是 平方尺．（结果用含的式子表示）
15．如图，在中，，，，是中线，点、同时从点出发，以相同的速度分别沿、方向移动，当点到达点时，运动停止，直线分别与、相交于、，则在点、移动过程中，点移动路线的长度为 ．
三、解答题
16．如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点都在格点上．
(1)作出关于原点对称的图形；
(2)将绕点C顺时针旋转，得到，画出，并求旋转过程中线段扫过的面积．
17．如图是某款可折叠台灯的平面示意图，台灯罩为一个半圆，直径．，交半圆于点，底座放在水平面上，是支架，，灯泡初始位置时．将灯罩绕点顺时针旋转，使得半圆与相切，点的对应点分别为．
(1)求灯罩顺时针旋转的角度；
(2)求点到的距离；
(3)求点经过的路径的长．
18．如图，四边形内接于，是的直径，点E在的延长线上，连接．且，连接，，与相交于点F．
(1)求证：是的切线．
(2)已知的半径为3．
①若，则阴影部分的面积为_______；（结果保留）
②若，．求的长．
19．如图，为的直径，弦于E，连接，过A作，交于点F，连接，过B作的切线，交的延长线于点G．已知．
(1)求证：；
(2)求的长；
(3)直接写出图中劣弧的长和阴影部分的面积．
20．如图，的半径为，和是的两条弦，且．
(1)若，的长度为，求的度数；
(2)如图，若是的直径，是上一点，连接和，于点，若，，求的长．
21．【必备知识】如图1，在光的反射现象中，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，反射角入射角，这就是光的反射定律．
【问题解决】如图2，某景区在半圆形观景台（半圆）旁设置镜面栈道，镜面与半圆相切于点C，与为观景台上两条笔直的小路，延长直径与交于点，彩灯发射源点在上，为入射光线，为法线，反射光线与半圆交于点．
(1)的度数为___________；的度数为___________；
(2)当反射光线与平行时，求的长度；
(3)在点从（2）中位置开始沿向右运动到点的过程中（如图3），直接写出点的运动路径长．