【名师导航】2026年中考数学一轮复习专题6.5 三角形的内切圆与外接圆（全国通用版）练习（原卷版）

这是一份【名师导航】2026年中考数学一轮复习专题6.5 三角形的内切圆与外接圆（全国通用版）练习（原卷版）
知识梳理
【考点一】 三角形内切圆与外接圆
【注意】一个圆可以有无数个外切三角形，但是一个三角形只有一个内切圆.
【考点二】 三角形内心与外心
【考点三】常见结论
1）三角形内切圆半径公式：r=2SC，其中S为三角形的面积；C为三角形的周长.
2）特殊的直角三角形内切圆半径公式：r=a+b−c2或r=aba+b+c，其中a，b为直角三角形的直角边长，c为斜边长.
【解题思路】解三角形的内切圆问题，通常分别连接．内切圆的圆心与切点、圆心与三角形的顶点来构造直角三角形，以便利用直角三角形的知识进行求解．
例题讲解
【题型一】判断三角形外接圆圆心位置
◇典例1：
如图，已知△ABC．
(1)用直尺和圆规作△ABC的外接圆⊙O；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)若AB=2，∠ACB=45°，求⊙O的半径．
◆变式训练
1.用圆规和直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
为美化校园，学校准备建造一个圆形的养鱼池（如图），使得△ABC的三个顶点都落在圆形养鱼池的边上，请在图中画出这个圆形鱼池．
【题型二】求外心坐标
◇典例2：
如图，△ABC的顶点坐标分别为：A1,0，B3,0，C0,1．
(1)△ABC的外接圆圆心M的坐标为 ．
(2)以点M为位似中心，画出△A′B′C′，使它与△ABC位似，且位似比为2:1．
◆变式训练
1.如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系．
(1)过A，B，C三点的圆的圆心M坐标为______；
(2)请通过计算判断点D(−3,−2)与⊙M的位置关系．
【题型三】已知外心的位置判断三角形形状
◇典例3：
如图，O是△ABC的外心，则∠1+∠2+∠3=( )
A．60∘B．75∘C．90∘D．105∘
◆变式训练
1.已知△ABC和△ABD有相同的外心，∠D=70°，则∠C的度数是（ ）
A．70°B．110°C．70°或110°D．不能确定
2.如图，在正六边形ABCDEF中，连接BF，BE，则关于△ABF外心的位置，下列说法正确的是（ ）
A．在△ABF内B．在△BFE内
C．在线段BF上D．在线段BE上
【题型四】求特殊三角形外接圆的半径
◇典例4：
如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，若AB=3，则⊙O的半径是（ ）
A．32B．32C．3D．52
◆变式训练
1.如图，四边形ABCD是矩形，E为AB上一点，F为CD上一点．AB=8，且ABBC=BECF=2，过点D作DG⊥EF，垂足为G，连接BG，则BG的最小值为 ．
2.在梯形ABCD中，AD∥BC，点E在边AB上，且AE=13AB．
(1)如图1所示，点F在边CD上，且DF=13CD，联结EF，求证：EF∥BC；
(2)已知AD=AE=1；
①如图2所示，联结DE，如果△ADE外接圆的心恰好落在∠B的平分线上，求△ADE的外接圆的半径长；
②如图3所示，如果点M在边BC上，联结EM、DM、EC，DM与EC交于N，如果BC=4，且CD2=DM⋅DN，∠DMC=∠CEM，求边CD的长．
【题型五】由三角形的内切圆求解
◇典例5：
如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，过△ABD的内心I作IE⊥BD于点E．若BD＝10，CD＝4，则BE的长为（ ）
A．6B．7C．8D．9
◆变式训练
1.如图，△ABC的内切圆圆O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，若∠DEF=53°，则∠A的度数是（ ）
A．36°B．53°C．74°D．128°
2.如图，⊙O是△ABC的内切圆，∠C=40°，则∠AOB的大小是 ．
【题型六】求三角形的内切圆半径
◇典例6：
如图，△ABC中，∠C=90°，点O为△ABC的外心，BC=6，AC=8，⊙P是△ABC的内切圆．则OP的长为（ ）
A．2B．3C．5D．125
◆变式训练
1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，⊙O是Rt△ABC的内切圆，则⊙O的半径为（ ）
A．1B．3C．2D．23
2.如图，⊙O是△ABC的内切圆，若△ABC的周长为18，面积为9，则⊙O的半径是（ ）

A．1B．2C．1.5D．2
【题型七】直角三角形周长、面积和内切圆半径的关系
◇典例7：
如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD为中线，若AB=5，AC=12，设△ABD与△ACD的内切圆半径分别为r1，r2，则r1r2的值为（ ）
A．3723B．125C．2518D．3733
◆变式训练
1.如图，一块四边形材料ABCD，AD∥BC，∠A=90°，AD=9cm，AB=20cm，BC=24cm．现用此材料截出一个面积最大的圆形模板，则此圆的半径是（ ）

A．6cmB．8cmC．62cmD．10cm
2.如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，△ABC，△ADC，△DBC的内切圆半径分别记为r，r1，r2，若r1=1，r2=43，则r= ．
【题型八】三角形内心有关的应用
◇典例8：
如图，△ABC的内切圆⊙I与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，若⊙I的半径为r，∠A=α，则BF+CE−BC的值和∠FDE的大小分别为（ ）
A．2r，90°−αB．0，90°−αC．2r，90°−α2D．0，90°−α2
◆变式训练
1.如图，在△ABC中，∠ABC=60°，BC=8，E是BC边上一点，且BE=2，点I是△ABC的内心，BI的延长线交AC于点D，P是BD上一动点，连接PE、PC，则PE+PC的最小值为 ．

2.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，点D是△ABC的内心，连接AD并延长交⊙O于点E，过点E作⊙O的切线交AB的延长线于点F．
(1)求证：BC∥EF；
(2)连接CE，若⊙O的半径为2，sin∠AEC=12，求阴影部分的面积（结果用含π的式子表示）．
【题型九】三角形外接圆与内切圆综合
◇典例9：
如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA．若∠CAI=35°，则∠OBC的度数为（ ）

A．15°B．17.5°C．20°D．25°
◆变式训练
1.如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的⊙O交斜边AC于点D，过点D作⊙O的切线与BC交于点E，弦DM与AB垂直，垂足为H．
(1)求证：E为BC的中点；
(2)若⊙O的面积为12π，两个△AHD和△BMH的外接圆面积之比为3，求△DEC的内切圆面积S1和四边形OBED的外接圆面积S2的比．
2.如图，O是△ABC的外心，I是△ABC的内心，连接AI并延长交BC和⊙O于D，E．
(1)求证：EB=EI；
(2)若AB=8，AC=6，BE=4，求AI的长．
真题在线
一、单选题
1．（2025·江苏南京·中考真题）下列图形中，一定有外接圆的是（ ）
A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形
2．（2024·贵州毕节·中考真题）三角形的外心就是三角形外接圆圆心，是三角形（ ）
A．三边上的高线的交点B．三边中线的交点
C．三边垂直平分线的交点D．三个内角平分线的交点
3．（2024·山东·中考真题）在中，，下列说法错误的是（ ）
A．B．
C．内切圆的半径D．当时，是直角三角形
4．（2024·四川攀枝花·中考真题）已知的周长为，其内切圆的面积为，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·山东泰安·中考真题）如图，是的外接圆，半径为4，连接OB，OC，OA，若，，则阴影部分的面积是（ ）

A．B．C．D．
6．（2024·山东聊城·中考真题）如图，点O是外接圆的圆心，点I是的内心，连接，．若，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
7．（2024·内蒙古·中考真题）如图，是锐角三角形的外接圆，，垂足分别为，连接．若的周长为21，则的长为（ ）

A．8B．4C．3.5D．3
8．（2025·山东滨州·中考真题）如图，E、F、G、H四点分别在正方形的四条边上，．若，，则的内切圆半径为（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题
9．（2024·江苏镇江·中考真题）《九章算术》中记载：“今有勾八步，股一十五步．问勾中容圆，径几何？”译文：现在有一个直角三角形，短直角边的长为8步，长直角边的长为15步．问这个直角三角形内切圆的直径是多少？书中给出的算法译文如下：如图，根据短直角边的长和长直角边的长，求得斜边的长．用直角三角形三条边的长相加作为除数，用两条直角边相乘的积再乘2作为被除数，计算所得的商就是这个直角三角形内切圆的直径．根据以上方法，求得该直径等于 步．（注：“步”为长度单位）

10．（2025·宁夏·中考真题）如图，⊙是的内切圆，，则 ．
11．（2024·江苏常州·中考真题）如图，是的内接三角形．若，，则的半径是 ．
12．（2024·湖南湘西·中考真题）如图，是等边三角形的外接圆，其半径为4．过点B作于点E，点P为线段上一动点（点P不与B，E重合），则的最小值为 ．

三、解答题
13．（2024·宁夏·中考真题）如图，是的外接圆，为直径，点是的内心，连接并延长交于点，过点作的切线交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)连接，若的半径为2，，求阴影部分的面积（结果用含的式子表示）．
14．（2024·山东烟台·中考真题）如图，是的直径，内接于，点I为的内心，连接并延长交O于点D，E是上任意一点，连接，，，．
(1)若，求的度数；
(2)找出图中所有与相等的线段，并证明；
(3)若，，求的周长．
15．（2024·陕西·中考真题）问题提出
（1）如图①，在中，，，垂足为．若，，则的长为______；
问题解决
（2）如图②所示，某工厂剩余一块型板材，其中，，．为了充分利用材料，工人师傅想用这块板材裁出一个尽可能大的圆型部件．你认为可以吗？若可以，请在图中确定可裁出的最大圆型部件的圆心的位置，并求出的半径；若不可以，请说明理由．
专项练习
一、单选题
1．如图，在4×4的网格中，点，，，，，，均在格点上，则的外心是（ ）
A．点B．点C．点D．点
2．在中，，，，则它的外心与顶点的距离为（ ）．
A．B．C．D．
3．如图，已知点是的外心，，连接，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
4．下列说法中，正确的是（ ）
A．相等的圆心角所对的弧相等
B．三角形的外心是三角形各边垂直平分线的交点
C．三点确定一个圆
D．三角形的内心到三角形各顶点的距离都相等
5．《孙子算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著．书中有这样一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）为15步，如图，则该直角三角形能容纳的圆（内切圆）的半径是（ ）
A．3步B．4步C．5步D．6步
6．如图，在中，，，，是它的内切圆，用剪刀沿的切线剪一个，则的周长为（ ）
A．4B．6C．8D．10
7．如图，点是的内心，过点作、、，垂足分别为点、、，下列结论一定成立的是（ ）
A．点是三条高的交点
B．点是三条中线的交点
C．点是三条角平分线的交点
D．点是三边垂直平分线的交点
8．如图，是的外接圆，且为的直径，点为的内心，的延长线交于点，连接．若，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，顶点都在网格格点上，外接圆的圆心的是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，在中，，为中线，若，，设与的内切圆半径分别为，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．已知等腰三角形的一边长等于它的外接圆的半径，则它的顶角度数是 ．
12．如图，已知的周长是20，点为三角形内心，连接、，于点，且，则的面积是 ．
13．如图，在等腰中，，则此三角形的重心与外心之间的距离为 ．
14．如图，是等边三角形的内切圆，分别与、、切于点D、E、F．若，则求阴影部分的面积 ．
15．如图，是的内接三角形，是的直径，弦，垂足为．设，，则图中阴影部分的面积为 ．
16．如图，在中，，是的内切圆，三个切点分别为D，E，F，若，，则的面积是 ．
三、解答题
17．如图，是的外接圆，点是它的内心，射线、各交对边于点、，射线、各交于点、．求证：．
18．如图，是四边形的外接圆，是的直径，平分，．
(1)求的度数；
(2)若点E是弦上一点，且点E是的内心，，求的长．
19．如图，设是一个锐角三角形，且，圆为其外接圆，O、H分别为其外心和垂心，为圆直径，M为线段上一动点且满足．
(1)证明：M为的中点；
(2)过O作的平行线交于点E，若F为的中点，证明：．
20．如图，为等边三角形，，图中大圆为的外接圆，小圆为的内切圆．
(1)请分别求出的外接圆和内切圆的半径；
(2)求阴影部分面积．
21．如图，是的直径，内接于，点为的内心，连接并延长交于点，是上任意一点，连接，，，．
(1)若，求的度数；
(2)求证：；
(3)若，，求的周长．
三角形外接圆
经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形.
三角形内切圆
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形.
名称
三角形的外心
三角形的内心
形成
三角形的外接圆圆心，即三角形三边垂直平分线的交点。
三角形的内切圆圆心，即三角形三条角平分线的交点。
图形
性质
外心到三角形三个顶点的距离相等，即 OA=OB=OC。
内心到三角形三条边的距离相等，即 ID=IE=IF。内心与顶点连线平分三角形的内角。
位置
外心不一定在三角形的内部。
内心一定在三角形的内部。
角度关系
∠BOC=2∠BAC。
∠BIC=90∘+12∠A。