陕西蒲城县第三高级中学等校2025-2026学年高一下学期第一阶段测试数学试题含答案

这是一份陕西蒲城县第三高级中学等校2025-2026学年高一下学期第一阶段测试数学试题含答案，共12页。试卷主要包含了 测试范围， 下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
1. 本试题共 4 页, 满分 150 分, 时间 120 分钟.
2. 答卷前, 考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡上.
3. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑, 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其它答案标号.回答非选择题时, 将答案写在答题卡上, 写在本试卷上无效.
4. 测试范围: 北师大版数学必修第二册第一四章
第I卷(选择题 共 58 分)
一、单项选择题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.每小题只有一个选项符 合题目要求)
1. 中国扇子文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一部分. 某传统折扇可视作如图所示简化的平面扇形,该扇形的面积为 150πcm2 ,半径为 20 cm ,则该扇形的圆心角为( )

A. 120° B. 125° C. 130∘ D. 135°
2. 已知下列函数中，最小正周期为 π2 的是( )
A. y=cs2x
B. y=sinx+π3
C. y=sin2x
D. y=cs2x
3. 已知 α 为第三象限角,若 tan2α=4tanα ，则 tanα= ( )
A. 12 B. 22 C. 2 D. 2
4. 对于两个不共线向量 e1,e2 ,已知 a=4e1+3e2,b=me1−2e2 ,若 2a−b 与 b 共线,则 m 的值为( )
A. −53 B. 83 C. −83 D. 53
5. 设 α 为锐角,若 csα−π6=23 ,则 sin2α+π6= ( )
A. 49 B. −49 C. −19 D. 19
6. 在 △ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c . 若 a=4,A=π3 , sinB+sinC=334 ,则 bc= ( )
A. 803 B. 20 C. 16 D. 203
7. 已知圆 M 与圆 N 的半径分别为 3 和 1,圆 M 与圆 N 外切沿着圆周滚动如图所示, AB 是圆 N 的任意直径,则 MA⋅MB= ( )

A. 1 B. 4 C. 9 D. 15
8. 记 △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,满足 2a−bcsC=csinB,BC 边上的高为 2,且 b=3 ,则 △ABC 的周长为( )
A. 4+45 B. 5+22+5 C. 62+2 D. 4+25
二、多项选择题(本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.每小题有多个选项符合 题目要求, 全部选对得 6 分, 选对但不全得部分分, 有选错的得 0 分)
9. 下列说法正确的是( )
A. 若 a=1,2,b=1,−1 ,且 a 与 a+λb 的夹角为锐角,则 λ 的取值范围是 −∞,5
B. 已知向量 a=2,m ，向量 b=m+1,1 ，且 a 与 b 方向相反，若向量 c=2,1 ，则 a 在 c 上的投影向量为 45,25
C. 已知向量 a=1,3,b=csθ,sinθ ，若 0≤θ≤π ，则 a⋅b 的取值范围为 −1,2
D. 若 O 是 △ABC 的外心， AB=3,AC=5,OA⋅BC 的值为 -8
10. 如图所示,函数 fx=2sinωx+φ00 ,则 csAcsB>0 ,
又三角形中至多 1 个钝角,则 csA,csB>0,A,B,π2−B 均为锐角.
又 A+B>π2⇒A>π2−B ,正弦函数在 0,π2 上单调递增,
则 sinA>sinπ2−B=csB>0,sin2A>cs2B .
从而 sinC=sin2A+sin2B>cs2B+sin2B=1 ,这与 sinC≤1 矛盾.
故 C=π2 . 从而 A+B=π2,sinA=csB,sinB=csA,sinC=1 ,
csAcsBsinC=csAsinA=csBsinB=14 .
则 sin2A=sin2B=12 ,易得 A≠B ,不妨设 A>B ,则 A=5π12,B=π12 .
从而 sinA+sinB=2sinA+B2csA−B2=2sinπ4csπ6=62 ,故 C 错误.
对于 BD ,因 C=π2 ,则 tanA=BCAC=tan5π12=tanπ6+π4=2+3 ,
从而 BC=2+3AC ,则 S△ABC=12BC⋅ACsinC=122+3AC2=14 ,
则 AC2=14+23=11+32⇒AC=11+3=3−12,BC=2+3AC=3+12 .
从而 AB2=AC2+BC2=2⇒AB=2 ,故 B 错误, D 正确.
故选: AD
12. π4
设 ∠PCB=α,∠QCD=β ，则 PB=2tanα,DQ=2tanβ,AP=2−2tanα ， AQ=2−2tanβ,
PQ=2−2tanα2+2−2tanβ2 ,所以
4=2−2tanα+2−2tanβ+2−2tanα2+2−2tanβ2,
即 2tanα+2tanβ=2−2tanα2+2−2tanβ2 ,两边平方整理得
tanα+tanβ=1−tanαtanβ,
即 tanα+β=1 ,因为 α+β∈0,π2 ,所以 α+β=π4 ,所以 ∠PCQ=π2−π4=π4 .
故答案为: π4
13. 34BC
因为 2AO=AB+AC ,所以 AO−AC=AB−AO ,即 CO=OB .
所以圆心 O 为 BC 的中点,即 BC 是圆 O 的直径,所以 BC=2 ,且 ∠BAC=90∘ .
因为 AC=1 ,即 AC=1 ,所以 sin∠ABC=ACBC=12 ,所以 cs∠ABC=32 .
又向量 BC 方向上的单位向量为 BC2 ,
所以向量 BA 在向量 BC 上的投影向量为 BA⋅BCBC⋅BC2=BA⋅BCcs∠ABCBC⋅BC2=34BC .
故答案为: 34BC .

14. 23 .
设 ∠BAD=θ ，则 0