重庆市开州中学2022-2023学年高二下学期期末模拟考试数学试题（一）

这是一份重庆市开州中学2022-2023学年高二下学期期末模拟考试数学试题（一），共24页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

重庆市开州中学高2024届高二下期末模拟试题（一）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．函数从1到2的平均变化率为（       ）
A． B．4 C． D．6
2．设离散型随机变量的分布列为

0
1
2
3
4

0.1
0.4

0.2
0.2
若离散型随机变量满足，则下列结论错误的是（       ）
A． B．，
C．， D．，
3．在的展开式中，含的项的系数是（       ）
A．5 B．6 C．7 D．11
4．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（允许数字重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为（   ）
A．10 B．11 C．12 D．7
5．下列各个函数图像所对应的函数解析式序号为（       ）

①   ②   ③   ④
A．④②①③ B．②④①③ C．②④③① D．④②③①
6．“双减”政策落实下倡导学生参加户外活动，增强体育锻炼，甲、乙、丙三位同学在观看北京冬奥会后，计划从冰球、短道速滑、花样滑冰三个项目中各自任意选一项进行学习，每人选择各项运动的概率均为，且每人选择相互独立，则至少有两人选择花样滑冰的前提下甲同学选择花样滑冰的概率为（       ）
A． B． C． D．
7．已知函数，若函数在上存在最小值，则a的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
8．已知实数满足，则大小关系为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.
9．下列命题中正确的是（       ）
A．在回归分析中，成对样本数据的样本相关系数r的绝对值越大，成对样本数据的线性相关程度越强
B．在回归分析中，可用决定系数的值判断模型的拟合效果，越大，模型的拟合效果越好
C．比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型拟合效果越差
D．对分类变量X与Y，统计量的值越大，则判断“X与Y有关系”的把握程度越大
10．下列结论正确的是（       ）
A．
B．多项式展开式中的系数为40
C．若，则展开式中各项的二项式系数的和为1
D．被5除所得的余数是1
11．现安排甲､乙､丙､丁､戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译､导游､礼仪､司机四项工作可以安排，则以下说法错误的是（    ）
A．若每人都安排一项工作，则不同的方法数为
B．若每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为
C．每项工作至少有1人参加，甲､乙不会开车但能从事其他三项工作，丙､丁､戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是
D．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为
12．已知函数及其导函数满足，且，则（       ）
A．在上单调递增 B．在上有极小值
C．的最小值为 D．的最小值为0
第II卷 非选择题部分（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．某地，第x年该地人均收入y的部分数据如下表：
年份
2015
2016
2017
2018
2019
年份编号x
1
2
3
4
5
年人均收入y（万元）
0.5
0.6
1
1.4
m
根据表中所数据，求得y与x的线性回归方程为：，则2019年该地区实际年人均收入为___________万元.
14．某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中正确的序号是 ．
①越小，该物理量在一次测量中在的概率越大
②该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
③该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
④该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等
15．第24届冬奥会于2022年2月4日至20日在北京和张家口举行，中国邮政陆续发行了多款纪念邮票，其图案包括“冬梦”、“冰墩墩”、“雪容融”等．小王有3张“冬梦”，2张“冰墩墩”和2张“雪容融”邮票；小李有“冬梦”、“冰墩墩”、"雪容融”邮票各1张．小王现随机取出一张邮票送给小李，分别以表示小王取出的是“冬梦”、“冰墩墩”和“雪容融”的事件；小李再随机取出一张邮票，以B表示他取出的邮票是“冰墩墩”的事件，则___________，___________．
16．已知函数，若存在，，…，，使得，则n的最大值为______.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知关于x的函数，且函数f（x）在处有极值－．
(1)求实数b，c的值；
(2)求函数f（x）在[－1，2]上的最大值和最小值．






18．为迎接党的“二十大”胜利召开，学校计划组织党史知识竞赛.某班设计一个预选方案：选手从6道题中随机抽取3道进行回答.已知甲6道题中会4道，乙每道题答对的概率都是，且每道题答对与否互不影响.
(1)分别求出甲、乙两人答对题数的概率分布列；
(2)你认为派谁参加知识竞赛更合适，请说明你的理由.







19．某研究所为了研究某种昆虫的产卵数与温度之间的关系，现将收集到的温度和一组昆虫的产卵数的6组观测数据作了初步处理，得到如图的散点图及一些统计数据．
经计算得到以下数据：，．
(1)若用线性回归模型来拟合数据的变化关系，求y关于x的回归方程（结果精确到0.1）；
(2)若用非线性回归模型来拟合数据的变化关系，求得关于的回归方程，且相关指数为．
①试与（1）中的回归模型相比，用R2说明哪种模型的拟合效果更好；
②用拟合效果好的模型预测温度为35℃时该组昆虫的产卵数（结果四舍五入取整数）．
附参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线截距和斜率的最小二乘法估计公式分别为：，相关系数：．参考数据：．



20．已知函数
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围．






21．某校设置了篮球挑战项目，现在从本校学生中随机抽取了60名男生和40名女生共100人进行调查，统计出愿意接受挑战和不愿意接受挑战的男女生比例情况，具体数据如图表：
(1)根据条件完成下列列联表：

愿意
不愿意
总计
男生



女生



总计



(2)根据列联表，依据小概率值的独立性检验，分析该校学生是否愿意接受挑战与性别有关；
(3)挑战项目共有两关，规定：挑战过程依次进行，每一关都有两次机会挑战，通过第一关后才有资格参与第二关的挑战，若甲参加第一关的每一次挑战通过的概率均为，参加第二关的每一次挑战通过的概率均为，且每轮每次挑战是否通过相互独立。记甲通过的关数为，求的分布列和数学期望.
参考公式与数据：

0.1
0.05
0.025
0.01

2.706
3.841
5.024
6.635





22．已知函数（，e为自然对数的底数）．
(1)若在x=0处的切线与直线y=ax垂直，求a的值；
(2)讨论函数的单调性；
(3)当时，求证：．




参考答案
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．函数从1到2的平均变化率为（       ）
A． B．4 C． D．6
【答案】A
【解析】函数从1到2的平均变化率为：
．
故选：A.
2．设离散型随机变量的分布列为

0
1
2
3
4

0.1
0.4

0.2
0.2
若离散型随机变量满足，则下列结论错误的是（       ）
A． B．，
C．， D．，
【答案】B
【解析】：因为，所以，故A正确；
又，，故C正确；
因为，所以，，故D正确．
故选：B．
3．在的展开式中，含的项的系数是（       ）
A．5 B．6 C．7 D．11
【答案】C
【详解】因为中只有和中含的项，
的含的项为，的含的项为，
所以的展开式中含的项的系数是.
故选：C.
4．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（允许数字重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为（   ）
A．10 B．11 C．12 D．7
【答案】B
【详解】与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类：
①与信息0110只有两个对应位置上的数字相同，有（个）；
②与信息0110只有一个对应位置上的数字相同，有（个）；
③与信息0110对应位置上的数字均不相同，有1个．
综上，与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息有（个）．
故选：B
5．下列各个函数图像所对应的函数解析式序号为（       ）

①   ②   ③   ④
A．④②①③ B．②④①③ C．②④③① D．④②③①
【答案】A
【解析】，的定义域为，，的定义域为
在定义域内恒成立，则前两个对应函数分别为④②
当时，则
，令，则
在上单调递增，在上单调递减，则
①对应的为第三个函数
故选：A．
6．“双减”政策落实下倡导学生参加户外活动，增强体育锻炼，甲、乙、丙三位同学在观看北京冬奥会后，计划从冰球、短道速滑、花样滑冰三个项目中各自任意选一项进行学习，每人选择各项运动的概率均为，且每人选择相互独立，则至少有两人选择花样滑冰的前提下甲同学选择花样滑冰的概率为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】记事件为“至少有两人选择花样滑冰”，事件为“甲同学选择花样滑冰则”，
，，
所以，．
故选：D.
7．已知函数，若函数在上存在最小值，则a的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因 ，所以 ，
当时，单调递减；当或时，单调递增，
在、处取得极值.
，
，
∴函数在处取得最小值，
∵函数在上存在最小值，
∴，解得.
故选：C.
8．已知实数满足，则大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】，
，

设，所以，
所以函数在单调递减，
设
所以，
所以，
因为函数在单调递减，所以，故选：D
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.
9．下列命题中正确的是（       ）
A．在回归分析中，成对样本数据的样本相关系数r的绝对值越大，成对样本数据的线性相关程度越强
B．在回归分析中，可用决定系数的值判断模型的拟合效果，越大，模型的拟合效果越好
C．比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型拟合效果越差
D．对分类变量X与Y，统计量的值越大，则判断“X与Y有关系”的把握程度越大
【答案】ABD
【详解】相关系数的绝对值越大，相关程度越强，A正确；
决定系数越大，拟合效果越好，故B正确；
残差平方和越小，模拟效果越好，故C错误；
统计量的值越大，分类变量X与Y相互独立的概率越小，即判断“X与Y有关系”的把握程度越大，故D正确.
故选：ABD
10．下列结论正确的是（       ）
A．
B．多项式展开式中的系数为40
C．若，则展开式中各项的二项式系数的和为1
D．被5除所得的余数是1
【答案】ABD
【解析】
【分析】
利用二项式定理及二项式展开式各项系数和，依次判断各项正误.
【详解】
解：因为，故A项正确;
多项式的展开式通项为：，要求的系数，则，
当时，有，的系数为,
当时，有，不存在，
当时，有，的系数为,
当时，有，不存在，
故展开式中的系数为,故B项正确；
,其展开式中各项的二项式系数之和为，故C项错误；
因为，其展开式的通项公式为：，只有当时，即，不能被5整除，且256被5整除的余数为1，故D项正确.
故选：ABD.
11．现安排甲､乙､丙､丁､戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译､导游､礼仪､司机四项工作可以安排，则以下说法错误的是（    ）
A．若每人都安排一项工作，则不同的方法数为
B．若每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为
C．每项工作至少有1人参加，甲､乙不会开车但能从事其他三项工作，丙､丁､戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是
D．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为
【答案】ABD
【解析】根据题意，依次分析选项：
对于，安排5人参加4项工作，若每人都安排一项工作，每人有4种安排方法，则有种安排方法，故错误；
对于，根据题意，分2步进行分析：先将5人分为4组，再将分好的4组全排列，安排4项工作，有种安排方法，故错误；
对于，根据题意，分2种情况讨论：①从丙，丁，戊中选出2人开车，②从丙，丁，戊中选出1人开车，则有种安排方法，正确；
对于，分2步分析：需要先将5人分为3组，有种分组方法，将分好的三组安排翻译、导游、礼仪三项工作，有种情况，则有种安排方法，错误；
故选：．
12．已知函数及其导函数满足，且，则（       ）
A．在上单调递增 B．在上有极小值
C．的最小值为-1 D．的最小值为0
【答案】ABD
【解析】
【分析】
构造函数，利用导数运算公式求出函数的解析式，由此可得函数的解析式，再由导数与函数的单调性，极值及最值的关系判断各选项.
【详解】
设，则，
所以（C为常数），
所以，
又，所以，
所以，，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以在处取得极小值，
因为，所以，
所以在上有极小值
可知A，B都正确．
，，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以的极小值即最小值为，故C错误．
，
当时，，，所以，
当时，，，所以，
而当时，，所以的最小值为0，
故D正确．
故选：ABD.
第II卷 非选择题部分（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．某地，第x年该地人均收入y的部分数据如下表：
年份
2015
2016
2017
2018
2019
年份编号x
1
2
3
4
5
年人均收入y（万元）
0.5
0.6
1
1.4
m
根据表中所数据，求得y与x的线性回归方程为：，则2019年该地区实际年人均收入为___________万元.
【答案】##
【详解】解：依题意，，
因为回归直线方程必过样本中心点，
所以，解得，即2019年该地区实际年人均收入为万元；
故答案为：
14．某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中正确的序号是
①越小，该物理量在一次测量中在的概率越大
②该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
③该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
④该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等
【答案】①②③
【详解】对于A，为数据的方差，所以越小，数据在附近越集中，所以测量结果落在内的概率越大，故A正确；
对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为，故B正确；
对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于的概率与小于的概率相等，故C正确；
对于D，因为该物理量一次测量结果落在的概率与落在的概率不同，所以一次测量结果落在的概率与落在的概率不同，故D错误.
故选：D.
15．第24届冬奥会于2022年2月4日至20日在北京和张家口举行，中国邮政陆续发行了多款纪念邮票，其图案包括“冬梦”、“冰墩墩”、“雪容融”等．小王有3张“冬梦”，2张“冰墩墩”和2张“雪容融”邮票；小李有“冬梦”、“冰墩墩”、"雪容融”邮票各1张．小王现随机取出一张邮票送给小李，分别以表示小王取出的是“冬梦”、“冰墩墩”和“雪容融”的事件；小李再随机取出一张邮票，以B表示他取出的邮票是“冰墩墩”的事件，则___________，___________．
【答案】      
【解析】
【分析】
表示在小王送给小李一张“冰墩墩”邮票的情况下小李取到一张“冰墩墩”的概率，可等价于求“小李有4张邮票，其中2张为冰墩墩，从中抽取一张邮票，邮票为冰墩墩”的概率.根据即可计算P(B).
【详解】由题可知，，，，
则
.
故答案为：，
16．已知函数，若存在，，…，，使得，则n的最大值为______.
【答案】4
由得，从而在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，易知，，且当时，，故可作出的大致图象，如图所示.当时，设，则，则问题转化为直线与图象的交点个数的最大值.作出直线，数形结合可知，直线与图象的交点个数最多为4，因此n的最大值为4.故答案为：4．

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知关于x的函数，且函数f（x）在处有极值－．
(1)求实数b，c的值；
(2)求函数f（x）在[－1，2]上的最大值和最小值．
【答案】(1)，
(2)最大值为，最小值为
(1)
因为，所以．
因为函数f（x）在处有极值－．
所以，解得，或．
（i）当，时，，所以f（x）在R上单调递减，不存在极值．
（ii）当时，，
当时，，f（x）单调递增；
当时，，f（x）单调递减．
所以f（x）在处存在极大值，符合题意．
综上所述，，
(2)
由（1）知．，则，
令，得，．
当x变化时，，f（x）在[－1，2]的变化情况如下表：
x
－1
（－1，1）
1
（1，2）
2


＋
0
－

f（x）

单调递增

单调递减

所以f（x）在[－1，2]上的最大值为，最小值为．

18．为迎接党的“二十大”胜利召开，学校计划组织党史知识竞赛.某班设计一个预选方案：选手从6道题中随机抽取3道进行回答.已知甲6道题中会4道，乙每道题答对的概率都是，且每道题答对与否互不影响.
(1)分别求出甲、乙两人答对题数的概率分布列；
(2)你认为派谁参加知识竞赛更合适，请说明你的理由.
【答案】(1)答案见解析；
(2)甲，理由见解析.
(1)设甲、乙答对的题数分别为、，
的可能取值为1，2，3，
∴，，
∴的分布列为

1
2
3




的可能取值为0，1，2，3，且，
∴，，
，，
∴的分布列为

0
1
2
3





(2)由（1）有，
∴，
而，所以，，
∴，
故两人平均答对的题数相等，说明实力相当；但甲答对题数的方差比乙小，说明甲发挥较为稳定，因此推荐甲参加比赛更加合适.
19．某研究所为了研究某种昆虫的产卵数与温度之间的关系，现将收集到的温度和一组昆虫的产卵数的6组观测数据作了初步处理，得到如图的散点图及一些统计数据．

经计算得到以下数据：，．
(1)若用线性回归模型来拟合数据的变化关系，求y关于x的回归方程（结果精确到0.1）；
(2)若用非线性回归模型来拟合数据的变化关系，求得关于的回归方程，且相关指数为．
①试与（1）中的回归模型相比，用R2说明哪种模型的拟合效果更好；
②用拟合效果好的模型预测温度为35℃时该组昆虫的产卵数（结果四舍五入取整数）．
附参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线截距和斜率的最小二乘法估计公式分别为：，相关系数：．参考数据：．
【答案】(1)；
(2)①用比拟合效果更好；②190个．
【解析】
【分析】
（1）利用最小二乘法即得；
（2）根据线性回归方程结合的值，即可比较拟合效果，然后将代入回归方程计算即得.
【解析】(1)由题意可知，
；
∴y关于x的线性回归方程是；
(2)
①用指数回归模型拟合y与x的关系，相关指数，
线性回归模型拟合y与x的关系，相关指数，
且，
∴用比拟合效果更好．
②中，令，
则，
故预测温度为时该昆虫产卵数约为190个．
20．已知函数
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围．
【答案】(1)递增区间是，递减区间是；
(2)或.
(1)
当时，的定义域为，求导得，
当时，，当时，，则在上单调递增，在上单调递减，
所以函数的递增区间是，递减区间是.
(2)
函数的定义域为，则，
令，，求导得：，由得 ，
当时，，当时，，因此，在上单调递增，在上单调递减，
则当时，，且，恒成立，函数的图象如图，

函数有一个零点，当且仅当直线与函数的图象只有一个公共点，
观察图象知，当或时，直线与函数的图象只有一个公共点，
所以实数的取值范围是：或.
21．某校设置了篮球挑战项目，现在从本校学生中随机抽取了60名男生和40名女生共100人进行调查，统计出愿意接受挑战和不愿意接受挑战的男女生比例情况，具体数据如图表：

(1)根据条件完成下列列联表：

愿意
不愿意
总计
男生



女生



总计



(2)根据列联表，依据小概率值的独立性检验，分析该校学生是否愿意接受挑战与性别有关；
(3)挑战项目共有两关，规定：挑战过程依次进行，每一关都有两次机会挑战，通过第一关后才有资格参与第二关的挑战，若甲参加第一关的每一次挑战通过的概率均为，参加第二关的每一次挑战通过的概率均为，且每轮每次挑战是否通过相互独立。记甲通过的关数为，求的分布列和数学期望.
参考公式与数据：

0.1
0.05
0.025
0.01

2.706
3.841
5.024
6.635
【解析】（1）根据条件列联表如下：

愿意
不愿意
总计
男生
15
45
60
女生
20
20
40
总计
35
65
100
（2）零假设：该校学生是否愿意接受挑战与性别无关，
根据列联表的数据，经计算得到，
依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此可以认为成立，即认为该校学生是否愿意接受挑战与性别无关.
（3）记甲第次通过第一关为，第次通过第二关为，
的可能取值为，，
，

，
故的分布列 为

0
1
2




数学期望.
22．已知函数（，e为自然对数的底数）．
(1)若在x=0处的切线与直线y=ax垂直，求a的值；
(2)讨论函数的单调性；
(3)当时，求证：．
【答案】(1)(2)答案见解析(3)证明见解析
【解析】
(1)
，则，
由已知，解得
(2)

（ⅰ）当时，，
所以，，
则在上单调递增，在上单调递减；
（ⅱ）当时，令，得，
①时，，
所以或，，
则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
②时，，则在上单调递增；
③时，，
所以或，，
则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
综上，时，在上单调递增，在上单调递减；
时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
时，在上单调递增；
时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
(3)
方法一：
等价于
当时，
令
令，则在区间上单调递增   
∵，
∴存在，使得，即
当时，，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递增
∴
∴，故
方法二：
当时，

令，则，
令，则
当时，；当时，
∴在区间上单调递减，上单调递增．
∴，即
∴，
【关键点点睛】
解决本题的关键：一是导数几何意义的运用，二是通过导函数等于零，比较方程的根对问题分类讨论，三是隐零点的运用及放缩法的运用.