上海市格致中学2025-2026学年高一下学期3月练习数学试卷含答案

这是一份上海市格致中学2025-2026学年高一下学期3月练习数学试卷含答案，共12页。试卷主要包含了03等内容，欢迎下载使用。
一、填空题
1. 由单词“deepseek”中的字母作为集合 A 中的元素，则集合 A 中的元素共有_____个.
2. 不等式 x2x+2x−3≥0 的解集为_____.
3. 已知 2a=5b=m ，且 1a+1b=10 ，则 m 的值为_____.
4. 若一个扇形的圆心角为 π3 ，面积为 6π ，则该扇形的弧长为_____.
5. 将函数 fx=cs2x−π3 图象上的所有点的横坐标伸长到原来的 4 倍 (纵坐标不变), 再向右平移 π3 个单位长度,得到函数 gx 的图象,则 gπ2=
6. 在 △ABC 中，若 tanA ， tanB 是 x 的方程 x2+px+1+p=0 的两个实根，则 C= _____.
7. 已知函数 y=lga5−2ax 在区间 0,1 上是减函数，则实数 a 的取值范围是_____.
8. △ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ,若 sinAcsA=2sinBcsB ,则 bca2 的最大值为_____.
9. 某校足球社团计划举办校内足球比赛. 如图为五人制足球场地, 其球门 AB 长 3 米, 宽 1.2 米,假设一球员在沿平行于边线 GC 的 EF 上跑向底线 CD ,在距底线 CD 为 3 米的 P 处获得进球机会,已知点 B 到 FE 的距离为 3 m ,则其有效射门角 ∠APB 的正切值为_____

10. 数列 an 满足 a1=π4,csan=1tanan+1n∈N∗,an∈0,π2 ,若不等式 sina1⋅sina2⋯sinam≥13 恒成立，则正整数 m 的最大值为_____.
11. 已知定义在 R 上的函数 fx 满足 fx+f−x=x2, ∀x1,x2∈[0,+∞) 均有 fx1−fx2x1−x2>x1+x22x1≠x2 ，则不等式 fx−f1−x>x−12 的解集为_____.
12. 若函数 y=fx 的定义域存在 x1,x2x1≠x2 ,使 fx1+fx22=1 成立,则称该函数为 “互补函数”. 若函数 fx=32csωx−π3−12sinωx+2π3ω>0 在 π,2π 上为“互补函数”, 则 ω 的取值范围为_____.
二、选择题
13. 设 x,y∈R ,则 “ x0 ,所以 a=lg2m,b=lg5m ,
由 10=1a+1b=1lg2m+1lg5m=lgm2+lgm5=lgm10 ,
所以 m10=10 ,解得: m=1010 ,
故答案为: 1010 .
4. 2π
根据扇形的面积公式及弧长公式即可求解.
由扇形的面积公式 S=12αR2 得, 6π=12×π3×R2 ,解得 R=6 ,
所以扇形的弧长 l=αR=π3×6=2π .
故答案为: 2π .
5. 22##122
根据三角函数的图象的周期变换和平移变换可得 gx ,进而可得函数值.
因函数 fx=cs2x−π3 图象上的所有点的横坐标伸长到原来的 4 倍 (纵坐标不变),
再向右平移 π3 个单位长度,得到函数 gx 的图象,
所以 gx=cs12x−π3−π3=cs12x−π2=sin12x ,得 gπ2=sinπ4=22 .
故答案为: 22 .
6. 3π4
利用韦达定理结合两角和的正切公式求出 tanA+B 的值,可得 tanC 的值,即可求得角 C 的值.
若 tanA,tanB 是 x 的方程 x2+px+1+p=0 的两个实根,
则 Δ=p2−41+p=p2−4p−4≥0 ,解得 p≤2−22 或 p≥2+22 ,
且 tanA+tanB=−p,tanAtanB=1+p ,
可得 tanC=−tanA+B=−tanA+tanB1−tanAtanB=−−p1−1+p=−1 ,
因为 0fx2−x222 ,
所以 gx1>gx2 ,
所以 gx 在 0,+∞ 上单调递增,
当 x1g1−x ,
所以 x>1−x ,解得: x>12 .
故答案为: 12,+∞
12. 94,52∪134,+∞
【解析】先化简得 fx=sinωx ,再根据 “互补函数”存在 x1,x2∈π,2πx1≠x2 , fx1+fx2=2 ,进而将问题转化为函数 y=sint 在区间 ωπ,2ωπ 上存在两个极大值点求解,易知 ω≥2 ,进而分 2T=2×2πω≤π,ωπ≤5π2,4π>ωπ>5π2 三类情况讨论求解.
解: fx=32csωx−π3+12sinωx−π3=csωx−π3−π6=sinωx ,
由 “互补函数” 的定义得: 存在 x1,x2∈π,2πx1≠x2,fx1+fx2=2 ,
所以令 t=ωx ,则函数 y=sint 在区间 ωπ,2ωπ 上存在至少两个极大值点,
则 2πω≤π ,得 ω≥2 .
当 2T=2×2πω≤π 时,即 ω≥4 ,显然符合题意;
当 2≤ωωπ>5π2 ,即 ω>52 时, 2ωπ≥13π2 ,即 ω≥134 ,所以 134≤ω