天津市河北工业大学附属红桥学校2025-2026学年下学期高一第一次月考数学试卷含答案

这是一份天津市河北工业大学附属红桥学校2025-2026学年下学期高一第一次月考数学试卷含答案，共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题: 本题共 15 小题, 每小题 3 分, 共 45 分.
1. sin120∘=
A. −32 B. −12 C. 12 D. 32
2. cs275∘−sin275∘ 的值为( )
A. −32 B. −12 C. 12 D. 32
3. 已知 tanπ4+α=2 ,则 sinα−csαsinα+csα= ( )
A. -2 B. −12 C. 12 D. 2
4. 已知 α∈0,π ,且 3cs2α−8csα=5 ,则 sinα= ( )
A. 53 B. 23
C. 13 D. 59
5. 下列命题中正确的是( )
A. 单位向量都相等 B. 相等向量一定是共线向量
C. 若 a//b,b//c ,则 a//c D. 任意向量的模都是正数
6. 已知向量 a,b ，则 “ a=b ”是 “ a=±b ”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 已知非零空间向量 a,b ，且 AB=a+2b,BC=−5a+6b,CD=7a−2b ，则一定共线的三点是( )
A. A,B,C B. B,C,D C. A,B,D D. A,C,D
8. 已知 a=1,−1,b=−1,2 ,则 2a+b⋅a= ( )
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
9. 已知向量 a=3,1,b=1,1,c=a+kb . 若 a//c ，则 k= ( )
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
10. 已知非零向量 a,b 满足 a=2b ，且 a−b⊥b ，则 a 与 b 的夹角为( )
A. π6 B. π3
C. 2π3 D. 5π6
11. 已知向量 a,b 满足 a=1,a+2b=2 ，且 b−2a⊥b ，则 b= ( )
A. 12 B. 22 C. 32 D. 1
12. 已知点 A1,3 ， B4,−1 ，则与向量 AB 的方向相反的单位向量是( )
A. −35,45 B. −45,35 C. 35,−45 D. 45,35
13. 如图,已知 △ABC 中, D 为 AB 的中点, AE=13AC ,若 DE=λAB+μBC ,则 λ+μ=

A. −56 B. −16 C. 16 D. 56
14. 如图,在矩形 ABCD 中, AB=a,AD=b,M 为 CD 的中点, BD 与 AM 交于点 N , 则 MN= ( )

A. −16a−13b B. 16a−13b C. 16a+13b D. −16a+13b
15. 如图,在平面四边形 ABCD 中, AB⊥BC,AD⊥CD,∠BAD=120∘,AB=AD=1 , 若点 E 为边 CD 上的动点,则 AE⋅BE 的最小值为

A. 2116 B. 32 C. 2516 D. 3
二、填空题: 本题共 6 小题, 每小题 3 分, 共 18 分.
16. cs26∘cs34∘−sin26∘sin34∘= _____.
17. 若 sinα=23 ,则 sinπ−α= _____.
18. 化简: AB−CD−AC−BD= _____.
19. 若 M3,−2,N−5,−1 且 MP=12MN ，则 P 点的坐标为_____.
20. 已知向量 AB 与 AC 的夹角为 120∘ ,且 AB=3,AC=2 ,若 AP=λAB+AC ,且 AP⊥BC 则实数 λ 的值为_____.
21. 在 △ABC 中, AB=4,BC=6,∠ABC=π2,D 是 AC 的中点, E 在 BC 上,且 AE⊥BD ，则 AE⋅BC= _____.
三、解答题:本题共 4 小题, 共 37 分, 解答应写出文字说明, 证明过程或演算 步骤.
22. 已知 csα=−13,α∈π2,π .
(1)求 sinα,tanα 的值；
(2)求 cs2α+π3 的值
23. 已知 a=4,b=3,2a−3b⋅2a+b=61 .
(1)求 a 与 b 的夹角；
(2)求 2a+b .
24. 已知向量 a=1,2,b=−3,k .
(1)若 a//b ，求 b 的值；
( 2 )若 a⊥a+2b ，求实数 k 的值；
(3)若 a 与 b 的夹角是钝角，求实数 k 的取值范围.
25. 如图,在菱形 ABCD 中, BE=12BC,CF=2FD .

(1)若 EF=xAB+yAD ,求 3x+2y 的值;
(2)若 AB=6,∠BAD=60∘ ,求 AC⋅EF .
1. D
利用诱导公式化简求解.
因为 sin120∘=sin180∘−60∘=sin60∘=32 .
故选: D.
2. A
利用余弦的二倍角公式可得答案.
cs275∘−sin275∘=cs2×75∘=cs150∘=−32 .
故选: A.
3. B
由两角和的正切公式可得 1+tanα1−tanα=2 ,再将所求式子弦化切得解.
因为 tanπ4+α=2 ,所以 tanπ4+tanα1−tanπ4⋅tanα=2 ,即 1+tanα1−tanα=2 ,
∴1−tanα1+tanα=12 ,
∴sinα−csαsinα+csα=tanα−1tanα+1=−1−tanα1+tanα=−12 .
故选: B.
4. A
用二倍角的余弦公式,将已知方程转化为关于 csα 的一元二次方程,求解得出 csα , 再用同角间的三角函数关系, 即可得出结论.
3cs2α−8csα=5 ,得 6cs2α−8csα−8=0 ,
即 3cs2α−4csα−4=0 ,解得 csα=−23 或 csα=2 (舍去),
又 ∵α∈0,π,∴sinα=1−cs2α=53 .
故选: A.
【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值, 熟记公式是解题的关键, 考查计算求解能力, 属于基础题.
5. B
根据单位向量, 共线向量及向量的基本概念逐项分析即得.
对于 A，单位向量的模长相等，方向不一定相同，故 A 错误；
对于 B ,相等向量一定是共线向量,故 B 正确;
对于 C ,若 b=0,a//b,b//c ,而 a 与 c 不一定平行,故 C 错误;
对于 D ,零向量的模长是 0,故 D 错误.
故选: B.
6. B
根据向量的模、充分、必要条件的知识确定正确选项.
a=b 时, a,b 不一定是相等或相反向量,
a=±b 时, a=b ,
所以 “ a=b ” 是 “ a=±b ” 的必要不充分条件.
故选: B
7. C
证明三点共线, 借助向量共线证明即可, 故解题目标是验证由三点组成的两个向量共线即可得到共线的三点.
对于 A,AB=a+2b,BC=−5a+6b ,
∵1−5≠26,∴AB,BC 不共线,即 A,B,C 三点不共线,故 A 错误;
对于 B,BC=−5a+6b,CD=7a−2b ,
∵−57≠6−2,∴BC,CD 不共线,即 B,C,D 三点不共线,故 B 错误;
对于 C,AB=a+2b,BD=BC+CD=−5a+6b+7a−2b=2a+4b ,
∴AB=12BD ,则 AB,BD 共线,即 A,B,D 三点共线,故 C 正确;
对于 D,AC=AB+BC=a+2b−5a+6b=−4a+8b,CD=7a−2b , ∵−47≠8−2,∴AC,CD 不共线,即 A,C,D 三点不共线,故 D 错误; 故选: C.
8. C
根据平面向量的坐标运算计算即可.
因为 a=1,−1,b=−1,2 ,
所以 2a+b=2,−2+−1,2=1,0 ,
所以 2a+b⋅a=1 .
故选: C.
9. B
由向量线性运算的坐标表示及平行的坐标表示列出等式, 求解即可.
因为 c=a+kb=3,1+k,k=k+3,k+1 ,
而 a//c ,所以 3×k+1−1×k+3=0 ,解得 k=0 .
故选: B
10. B
根据给定条件, 利用数量积的运算律及垂直关系的向量表示, 进而求出向量夹角.
由 a−b⊥b ,得 a−b⋅b=a⋅b−b2=0 ,则 a⋅b=b2,cs⟨a,b⟩=a⋅bab=b22b2=12 , 而 0≤⟨a,b⟩≤π ,则 ⟨a,b⟩=π3 ,所以 a 与 b 的夹角为 π3 .
故选: B
11. B
由 b−2a⊥b 得 b2=2a⋅b ,结合 a=1,a+2b=2 ,得 1+4a⋅b+4b2=1+6b2=4 , 由此即可得解.
因为 b−2a⊥b ,所以 b−2a⋅b=0 ,即 b2=2a⋅b ,
又因为 a=1,a+2b=2 ,
所以 1+4a⋅b+4b2=1+6b2=4 ,
从而 b=22 .
故选: B.
12. A
利用向量坐标运算可得 AB 和 AB ,由此可知所求向量为 −ABAB .
∵AB=3,−4,∴AB=5 ,
∴ 与向量 AB 的方向相反的单位向量为 −ABAB=−35,45 .
故选: A.
13. C
【解析】利用向量的线性运算将 DE 用 AB,AC 表示,由此即可得到 λ,μ 的值,从而可求 λ+μ 的值.
因为 DE=DA+AE=12BA+13AC
=12BA+13BC−BA=16BA+13BC=−16AB+13BC ,
所以 λ=−16,μ=13 . 故 λ+μ=16 .
故选: C.
【点睛】本题考查向量的线性运算以及数乘运算在几何中的应用, 难度一般.向量在几何中的应用可通过基底的表示形式进行分析.
14. A
结合平面图形的几何性质以及平面向量的线性运算即可求出结果.
因为矩形 ABCD ,所以 AB//CD ,所以 △MND∼△ANB ,所以 DNNB=DMAB ,又因为 M 为 CD 的中点,所以 DM=12DC=12AB ，即 DNNB=DMAB=12 ，因此 DN=12NB ，从而 MN=MD+DN=−12AB+13DB=−12AB+13DA+AB=−16AB−13AD ,又因为 AB=a , AD=b ,所以 MN=−16a−13b ,
故选: A.
15. A
分析: 由题意可得 △ABD 为等腰三角形, △BCD 为等边三角形,把数量积 AE⋅BE 分拆,设 DE=tDC0≤t≤1 ,数量积转化为关于 t 的函数,用函数可求得最小值。
详解: 连接 BD ,取 AD 中点为 O ,可知 △ABD 为等腰三角形,而 AB⊥BC,AD⊥CD ,所以 △BCD 为等边三角形, BD=3 。设 DE=tDC0≤t≤1
AE⋅BE=AD+DE⋅BD+DE=AD⋅BD+DE⋅AD+BD+DE2=32+BD⋅DE+DE2
=3t2−32t+320≤t≤1
所以当 t=14 时,上式取最小值 2116 ,选 A.
点睛:本题考查的是平面向量基本定理与向量的拆分，需要选择合适的基底，再把其它向量都用基底表示。同时利用向量共线转化为函数求最值。
16. 12##0.5
根据两角和的余弦公式即可求得.
根据两角和的余弦公式可知
cs26∘cs34∘−sin26∘sin34∘=cs26∘+34∘=cs60∘=12 .
故答案为: 12 .
17. 23
由诱导公式 sinπ−α=sinα 可得: sinπ−α=sinα=23 .
18. 0
根据向量的加减法则计算即可.
AB−CD−AC−BD=AB−CD−AC+BD=AB−AC+BD−CD=AB−AC+BD+DC =CB+BC=0 .
19. −1,−32
分析: 设点 Px,y ,表示出 MP,MN ,代入 MP=12MN ,即可求出点 P 的坐标. 详解: 设点 Px,y ,
则 MP=x−3,y+2,MN=−8,1 ,
又 MP=12MN ,
∴x−3=−4y+2=12,∴x=−1,y=−32,
∴P−1,−32 ,故答案为 P−1,−32 .
点睛:本题主要考查了平面向量的坐标运算问题，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于简单题.
20. 712
∵AP⊥BC,∴AP⋅BC=λAB+AC⋅AC−AB=−λAB​2+AC​2+λ−1AC⋅AB=0 ，即 −λ×9+ 4+λ−1×3×2×−12=0 ,解得 λ=712 .
点睛: 平面向量数量积的类型及求法
(1)求平面向量数量积有三种方法:一是夹角公式 a⋅b=abcsθ ；二是坐标公式 a⋅b=xIx2+ y1y2 ; 三是利用数量积的几何意义.
(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.
21. 16
由题意建立平面直角坐标系,利用坐标表示向量 AE、BD 和 BC ,计算即可.
解: 建立平面直角坐标系, 如图所示;

则 A0,4,B0,0,C6,0,D3,2 ,
设 Ex,0 ,则 AE=x,−4,BD=3,2 ,
由 AE⊥BD ,得 AE⋅BD=3x−8=0 ,解得 x=83 ,
∴AE=83,−4 ；
又 BC=6,0 ,
∴AE⋅BC=83×6−4×0=16 .
故答案为 16 .
22. (1) sinα=223,tanα=−22
(2) 46−718
(1) 已知 csα 与 α 的范围,先由同角三角函数平方关系求出 sinα ,再由商数关系求出 tanα ;
(2)先由二倍角公式求出 sin2α 与 cs2α ,再代入两角和的余弦公式展开计算 cs2α+π3 .
(1) ∵csα=−13,α∈π2,π,∴sinα>0,sinα=1−cs2α=223 , tanα=sinαcsα=−22
(2) sin2α=2sinαcsα=−429,cs2α=cs2α−sin2α=−79 ,
∴cs2α+π3=cs2αcsπ3−sin2αsinπ3=−79×12−−429×32=46−718 .
23. 12π3 ;
(2)7.
( 1 )根据题意先求出 a⋅b ，进而根据平面向量的夹角公式求出答案；
( 2 )将 2a+b 变形为 2a+b2 ，然后展开，进而结合( 1 )求出答案.
(1)因为 a=4,b=3,2a−3b⋅2a+b=61
所以 4a2+2a⋅b−6a⋅b−3b2=61 ,
即 4×16−4a⋅b−3×9=61 ,所以 a⋅b=−6 ,
设 a,b 的夹角为 θ ,则 csθ=a⋅bab=−64×3=−12 ,
因为 θ∈0,π ,所以 θ=2π3 .
(2)由(1)知 a⋅b=−6 ，
所以 2a+b=2a+b2
=4a2+4a⋅b+b2
=64−24+9=49=7 .
24. 135
(2) k=14
(3) k